2017年全國高考數(shù)學考前復習大串講專題1.2函數(shù)概念與基本初等函數(shù)( 含答案)

【知識網(wǎng)絡】 【考點聚焦】 內(nèi) 容 要 求 A B C 2函數(shù)概念 與基本初 等函數(shù) 函數(shù)的概念 函數(shù)的基本性質(zhì) 指數(shù)與對數(shù) 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 冪函數(shù) 函數(shù)與方程 函數(shù)模型及其應用 一、 函數(shù)的概念 1.【原題】 （必修 1第二十四頁習題 畫出下列函數(shù)的圖象： （ 1） 0 , 0 ,()1, 0 ;= 【解析】所給函數(shù)為分段函數(shù)，則可利用列表，描點，連線的方法可得函數(shù)圖像 76543211234512 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12【原題解讀】本題為分段函數(shù)，即 對于自變量 x 的不同的取值范圍，有著不同的對應法則。它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集。 【 變式 】（ 2015湖北高考 ） 已知符號函數(shù)1, 0, 0,1, ()上的增函數(shù)， ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a ，則（ ） A( ) x xB( ) x xC( ) ( )g x f xD( ) ( )g x f x【答案】 B. 2.【原題】 （必修 1第二十五頁習題 函數(shù) xf(x) 的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如， 4 ； 2 ；當 x 時，寫出函數(shù) f(x) 的解析式，并作出函數(shù)的圖象 【解析】由取整函數(shù)的定義，函數(shù)解析式可化為分段函數(shù)，得；3 , 2 . 5 22 , 2 11 , 1 0( ) 0 , 0 11 , 1 22 , 2 33 , 3x 圖象為；32112346 4 2 2 4 6【原題解讀】本題為取整函數(shù)；是指不超過實數(shù) 作 x或 x)。 可先由取整函數(shù)的定義，利用分段函數(shù)表示出該函數(shù)的函數(shù)解析式，再畫出函數(shù)圖象，圖象為一些線段。 【 變式 】 （ 2016北京模擬） 對于任意實數(shù)，符號 x 表示的整數(shù)部分，即 x 是不超過的最大整數(shù)，例如 22 ； 2 ； 3 函數(shù) xy 叫做 “ 取整函數(shù) ” ，它在數(shù)學本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用，則 26 lo g3 lo g2 lo g1 lo 的值為 _. 【答案】 42. 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.【原題】 （必修 1第 四十四 頁復習參考題 題） 已知函數(shù) 2( ) 4 8f x x k x 在 5,20上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍 . 【解析】 2( ) 4 8f x x k x 的對稱軸8要使函數(shù) 2( ) 4 8f x x k x 在 5,20 上具有單調(diào)性，則 58k或 208k，解得的取值范圍 40k 或 160k . 【原題解讀】本題而二次函數(shù)含參問題，即為軸動區(qū)間定問題。可先求出二次函數(shù)含有參數(shù)的對稱軸方程，再根據(jù)題中條件所給的區(qū)間建立方程或不等式求出參數(shù)的范圍。 【 變式 】 （ 2016 蘭州模擬） 已知函數(shù) f(x) 24(a 3)x 5 在區(qū)間 ( ， 3)上是減函數(shù)，則 ) A. 0， 34 B. 0， 34 C. 0， 34 D. 0， 34 【 答案 】 D 2.【原題】 （必修 1第四十五頁復習參考題 題） 中華人民共和國個人所得稅 法 規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過 3500元的部分不必納稅，超過 3500元的部分為全月應納稅所得額此項稅款按下表分段累計計算： 全月應納稅所得額 稅率 不超過 1500元的部分 3% 超過 1500元至 4500元的部分 10% 超過 4500元至 9000元的部分 20% 某人一月份應交納此項稅款為 303元，那么他當月的工資、薪金所得是多少？ 【解析】由題意可建立函數(shù)關系式為； x 為當月 工資、薪金所得 ， () 0 , 0 3 5 0 0( 3 5 0 0 ) 0 . 0 3 , 3 5 0 0 5 0 0 0()1 5 0 0 0 . 0 3 ( 5 0 0 0 ) 0 . 1 , 5 0 0 0 8 0 0 01 5 0 0 0 . 0 3 3 0 0 0 0 . 1 ( 8 0 0 0 ) 0 . 2 , 8 0 0 0 1 2 5 0 0 則； ( 3 5 0 0 ) 0 . 1 3 0 3 , 6 5 3 0 答：他 當月的工資、薪金所得是 ； 6503元 【原題解讀】本題涉及分段函數(shù)的應用，需要學生具有較強的數(shù)學閱讀能力和建模能力。從而將所學的知識應用于實際生活之中。 【 變式 】（ 2015北京高考 ） 某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況 加油時間 加油量（升） 加油時的累計里程（千米） 2015年月日 12 35000年月15日 4835600注： “ 累計里程 “ 指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（ ） A升 B升 C10升 D 12升 【答案】 B 二、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1.【原題】 （必修 1第五十九頁習題 題） 已知下列不等式，比較 m ， n 的大小 （ 1） 22 (2) 【原題解讀】本題的解決需要學生具備一定的函數(shù)思想，及能根據(jù)需要構(gòu)造相應的函數(shù)，并應用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性），來解決問題。 變式 【 2015銀川一中模擬】 已知1 1 12 2 2l o g l o g l o ，則（ ） A 2 2 2 2a b c 2c b a 2c a b 【答案】 A. 2.【原題】 （必修 1 第七十五頁習題 第 2 題） 若 3lo g 1( 04a a，且 1)a ，求實數(shù) a 的取值范圍 . 【解析】 1a 時 y 則； a 34， 得； 1a ， 01a時 y 調(diào)遞減得 ； 304a 綜上可得； 3( 0 , ) (1, )4a 【原題解讀】本題需考慮對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)， 再利用單調(diào)性比較真數(shù)，解出對數(shù)不等式。體現(xiàn)了分類思想。 變式 【 2013天津高考】 已知函數(shù) ()定義在 R 上的偶函數(shù) ,且在區(qū)間 0, ) 單調(diào)遞增 2( l o g ) ( l o g ) 2 ( 1 )f a f ,則 A 1,2 B 10,2 C 1,22D (0,2 【答案】 C. 3.【原題】 （必修 1第七十五頁習題 組第 4題） 已知函數(shù) ( ) l o g ( 1 )af x x，( ) l o g (1 ) ( 0ag x x a ，且 1)a （ 1）求函數(shù) ( ) ( )f x g x 定義域； （ 2）判斷函數(shù) ( ) ( )f x g x 的奇偶性，并說明理由 . 【解析】（ 1）由 10x ， 10x 得 11x ，函數(shù) ( ) ( )f x g x 的定義域為 ( 1,1) （ 2）根據(jù)（ 1）知：函數(shù) ( ) ( )f x g x 的定義域為 ( 1,1) 函數(shù) ( ) ( )f x g x 的定義域關于原點對稱 又 ( ) ( ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )x g x x x ( ) ( )f x g x ， ( ) ( )f x g x 是 ( 1,1) 上的偶函數(shù) . 【原題解讀】本題以對數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域與奇偶性求含有對數(shù)的函數(shù)的定義域時，除考慮前面所知曉的分母、根式要求外，須考慮對數(shù)的真數(shù)必須大于 0判斷對數(shù)型函數(shù)的奇偶性時首先必須確定函數(shù)的定義域是否對稱，對稱的情況下判斷 ()的關系，進而判定達到考查運算能力以及代數(shù)恒等變換能力 變式 【 2015高考新課標】 若函數(shù) ()2 )x x a x為偶函數(shù)，則 a _ 【答案】 1 【解析】 由題知 2 )y x a x 是奇函數(shù)，所以 22l n ( ) l n ( )x a x x a x 22l n ( ) l n 0a x x a ，解得 1a 4.【原題】 （必修 1第八十二頁復習參考題 已知 3， 求證：（ 1） f x f y f x y，（ 2） ( ) ( )f x f y f x y . 【原題解讀】本題已指數(shù)函數(shù)為載體，通過指數(shù)冪的運算性質(zhì)，完成函數(shù)關系的證明。容易 聯(lián)想到其它函數(shù)的性質(zhì)，從而演化為抽象函數(shù)問題?？疾檫\算能力和抽象概括能力。 變式 【 2014 高考陜西】 下列函數(shù)中，滿足 “ f x y f x f y ” 的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ） A. 12f x x B. 3f x x C. 12D. 3 【答案】 D 5.【原題】 （必修 1第八十三頁復習參考題 對于函數(shù) 221() xf x a （ （ 1）探索函數(shù) () 2）是否存在實數(shù)使 () 【解析】 （ 1） 221() xf x a 在 ( , )x 上是增函數(shù) 證明 ： 任取12, ( , ) ， 且12 12( ) ( )f x f x12222 1 2 1 12 22 x12 21 x)12)(12()22(21221 因為12, ( , ) ，所以 212 1 0 , 2 1 0 又因為12所以 21 22 ，即 122 2 0，所以12( ) ( ) 0f x f x ， 即12( ) ( )f x f x，所以函數(shù) 221() xf x a 在 ( , ) 上是增函數(shù) （ 2）假設存在實數(shù)使 ()則 () ()0， 即 22 02 1 2 1 ，所以 112 1 2 1 2112 1 2 1， 即存在實數(shù) 1a 使 1(1) 2 為奇函數(shù) 【原題解讀】 本題為指數(shù)型函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性一是利用定義來解決；二是利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性間的關系來解決已知性質(zhì)求相關的參數(shù)問題通常要建立方程來解決問題考查學生運算能力、分析與探究問題的能力、逆向思維能力的目的 變式【 2015山東高考】 若函數(shù) 21()2a 是奇函數(shù)，則使 ( ) 3成立的的取值范圍為（ ） A ( , 1) B ( 1,0) C (0,1) D (1, ) 【答案】 C 冪函數(shù) 1.【原題】 （必修 1第八十 二 頁復習參考題 0題） 已知冪函數(shù) )(的圖象過點 2(2, )2，試求出此函數(shù)的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調(diào)性 . 【解析】 設 )( 則 ，解得21m， 所以 )( 21x ，定義域為 ),0( ，是非奇非偶函數(shù)， 021- ， )( ),0( 是減函數(shù)，圖像如下： 【解讀】由題為根據(jù)條件求冪函數(shù)的解析式并進一步研究函數(shù)的性質(zhì)?？蛇\用待定系數(shù)法，先求出函數(shù) 解析式，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)確定該函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)。注意充分利用函數(shù)圖象進行直觀觀察和分 變式 1. 【 2016屆寧夏銀川二中】 已知冪函數(shù) ()y f x 的圖象過點 2(2, )2，則（ ） A (1) (2) B (1) (2) C (1) (2) D (1)f 與 (2)f 大小無法判定 【答案】 A 【解析】設 () af x x ，則 222a ， 12a，即 12()f x x ，在 (0, ) 上是減函數(shù)， 所以 (1) (2)故選 A 變式 2.【 2016屆浙江省余姚中學】 已知冪函數(shù) ()2, 2) ，則滿足 ( 2 ) ( 1 )f a f a 的實數(shù)的取值范圍是 【答案】 31, )2變式 3. 【 2014上海高考】 若 2132)( ，則滿足 0)( 取值范圍是 . 【答案】 (0,1) 三、 函數(shù)與方程 1.【原題】 （必修 1第八十八頁例 1） 求函數(shù) ( ) 6f x x x 的零點的個數(shù) . 【解析】用計算器或計算機作出 x,f(x)的對應值表與圖像如下 : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 4 由上表和圖可知， f(2)0,則 f(2) f(3)0， f(3)0， f(5)0，所以在區(qū)間 2,3， 3,4， 4,5內(nèi)有零點 變式 2. 【 2013天津高考】 函數(shù) f(x) 2x 2在區(qū)間 (0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【答案】 B 變式 3. 【 2016蘭州模擬】 設函數(shù) y y (12)x 2的圖象的交點為 ( 則 端點值為連續(xù)整數(shù)的開區(qū)間 )是 _ 【答案】 (1,2) 變式 4. 【 2014山東高考】 已知函數(shù) ( ) 2 1 , ( ) .f x x g x k x 若方程 ( ) ( )f x g x 有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. 1(0, )2B. 1( ,1)2C.(1,2) D.(2, ) 【答案】 B 【解析】由已知，函數(shù) ( ) | 2 | 1 , ( )f x x g x k x 的圖象有兩個公共點， 畫圖可知當直線介于121: , :2l y x l y x之間時， 符合題意，故選 B . 四、 函數(shù)模型及其應用 1.【原題】 （必修 1 第九十五頁例 1） 假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報 40 元；方案二：第一天回報 10 元，以后每天比前一天多回報 10 元；方案三：第一天回報 后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？ 投資方案選擇原則：投入資金相同，回報量多者為優(yōu)；（ 1）比較三種方案每天回報量， (2) 比較三種方案一段時間內(nèi)的總回報量。哪個方案在某段時間內(nèi)的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。 如下表：運用計算機可做出函數(shù)圖像 答：從每天的回報量來看：第 1案一最多： 每 5案二最多： 第 9天以后，方案三最多； 投資 1，應選擇第一種投資方案；投資 7 天，應選擇第一或二種投資方案；投資 8，應選擇第二種投資方案；投資 11 天（含 11 天）以上，應選擇第三種投資方案。 【原題解 讀】題中給出了一個現(xiàn)實情境，需要根據(jù)題意建立對應的函數(shù)模型，并通過對三種函數(shù)增長情況的比較（比較采用了表格，函數(shù)圖象），從而做出合理的決定。同時讓我們感受到三種函數(shù)，常函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)增長快慢差異明顯。體會到數(shù)學的應用價值。 變式 【 2016 蘭州模擬 】 某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比已知投資 1 萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為 (1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系； (2)若該家庭有 20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收 益是多少萬元？ 【答案】（ 1） 11( ) , ( ) , 082f x x g x x x ；（ 2） 2t 即時，收益最大 3 萬元 2.【原題】 （必修 1第一百一十三頁復習參考習 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時間的市場供應，若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始 x 月后，公司的存貨量大致滿足模型 33 1 2 8f x x x ，那么下次生產(chǎn)應在多長時間后開始？ 【解析】由題 存貨量大致滿足模型 33 1 2 8f x x x ，則因在庫存量不足之前進行生產(chǎn)。即 ;由 1 1 7 0 , ( 2 ) 8 0 , ( 3 ) 3 7 0f f f ，所以應該在兩個月后進行生產(chǎn)。 【原題解讀】本題給出了一個現(xiàn)實背景的數(shù)學問題，需要充分理解如何運用所給的函數(shù)模型來決定生產(chǎn)時間。 本質(zhì)上是一個函數(shù)零點的判斷問題，即再函數(shù)值為負（庫存不足）前進行生產(chǎn)。 考查了我們數(shù)學應用意識及對函數(shù)零點定義的理解和靈活運用。 變式【 2016 衡水一中】 研究表明：使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使 據(jù)測， 2010年、 2011年、 2012年大氣中的 009年增加了 1個可比單位、 3個可比單位、 6個可比單位 若用一個函數(shù)模擬每年 擬函數(shù)可選用二次函數(shù) f(x)r(其中 p， q， 或函數(shù) g(x) a c(其中 a， b， ，且又知 2014年大氣中的 009年增加了 16個可比單位，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？ 【答案】選 f(x) 1212 3.【原題】 （必修 1第一百一十三頁復習參考習 般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？ 【解析】 根據(jù)函數(shù)的圖象和實際的意義即可判斷圖 為產(chǎn)品的數(shù)量隨在單價的增加而增加，產(chǎn)值就有很大的增加，圖 為產(chǎn)品的數(shù)量隨在單價的降低而增加，可以降低購買成本 【 原題解讀 】本題考查了函數(shù)圖象的識別和實際問題的應用 。需要我們既要能夠準確的讀出函數(shù)圖象的含義，同時又要習慣與函數(shù)圖象的表達方式。 變式 【 2015 北京高考 】 汽車的 “ 燃油效率 ” 是指汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（ ） A消耗 1升汽油，乙車最多可行駛 5千米 B以相同速度行駛相同路程，三輛車