數(shù)學(xué)八年級-軸對稱：最短路徑問題.docx

三角形第3節(jié) 多邊形及其內(nèi)角和【知識梳理】路徑最短問題：運(yùn)用軸對稱，將分散的線段集中到兩點(diǎn)之間，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，來實(shí)現(xiàn)最短路徑的求解。所以最短路徑問題，需要考慮軸對稱。典故：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”這個問題提煉出數(shù)學(xué)問題為：設(shè)C 為直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小(如圖) 作法：(1)作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)B；(2)連接AB，與直線l 交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C 即為所求證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C 不重合)，連接AC，BC，BC.由軸對稱的性質(zhì)知，BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB， ACBC ACBC. 在ABC中，ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 預(yù)備知識：在直角三角形中，三邊具有的關(guān)系如下：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即RtABC中，C90，則有【診斷自測】1、如圖，直線l是一條河，A、B兩地相距5km，A、B兩地到l的距離分別為3km、6km，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個水泵站，向A、B兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）ABCD2、如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為3，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為（1，0），P是OB上的一動點(diǎn)，則“求PD+PA和的最小值”要用到的數(shù)理依據(jù)是（）A“兩點(diǎn)之間，線段最短”B“軸對稱的性質(zhì)”C“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及“軸對稱的性質(zhì)”D以上答案都不正確3如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）ABCD【考點(diǎn)突破】例1、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，要使AEF的周長最小時，確定點(diǎn)F的位置的方法為答案：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F解析：根據(jù)題意可知AE的長度不變，AEF的周長最小也就是AF+EF有最小值作點(diǎn)E關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F故答案為：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F例2、如圖所示，點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)，線段MN交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）若MN=20 cm，求PEF的周長；（2） 若AOB=35，求EPF的度數(shù).答案：見解析解析：（1）M與P關(guān)于OA對稱 OA垂直平分MP. EM=EP. 又N與P關(guān)于OB對稱 OB垂直平分PN. FP=FN. PEF的周長=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）連接OM，ON，OP，OA垂直平分MP，OM=OP.又OB垂直平分PN，ON=OP.MOEPOE(SSS)，POFNOF(SSS).MOE=POE，OME=OPE，POF=NOF，OPF=ONF.MON=2AOB=70EPF=OPE+OPF=OME+ONF=180-MON=110.例3、如圖，AOB=30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=2，ON=6，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）A2BC20D2答案：A解析：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M，作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N，如圖所示：連接MN，即為MP+PQ+QN的最小值根據(jù)軸對稱的定義可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，ONN為等邊三角形，OMM為等邊三角形，NOM=90，在RtMON中，MN=2故選：A例4、如圖，四邊形ABCD中，C=50，B=D=90，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)AEF的周長最小時，EAF的度數(shù)為（）A50B60C70D80答案：D解析：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A，A，連接AA，交BC于E，交CD于F，則AA即為AEF的周長最小值作DA延長線AH，C=50，DAB=130，HAA=50，AAE+A=HAA=50，EAA=EAA，F(xiàn)AD=A，EAA+AAF=50，EAF=13050=80，故選：D例5、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A2B2C4D4答案：B解析：由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點(diǎn)即為F點(diǎn)此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果連接BD，與AC交于點(diǎn)F點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面積為12，AB=2又ABE是等邊三角形，BE=AB=2故所求最小值為2故選B例6、如圖，荊州古城河在CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD，EE（橋?qū)挷挥嫞O(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰當(dāng)?shù)丶軜蚩墒笰DDEEB的路程最短，這個最短路程是多少米？答案：見解析。解析：作AFCD，且AF=河寬，作BGCE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E、D作DD、EE即為橋證明：由作圖法可知，AFDD，AF=DD，則四邊形AFDD為平行四邊形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最??；即當(dāng)橋建于如圖所示位置時，ADDEEB最短距離為+52=110米【易錯精選】1如圖，已知銳角ABC的面積為6，AC=4，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D、M、N分別是AD和BC上的動點(diǎn)，求BM+MN的最小值及畫出圖形2、作圖：（1）在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（2）在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB最大【精華提煉】下列給出?？冀忸}作圖方法：最大值對稱軸為線段時，在兩個端點(diǎn)處取到最大值對稱，然后連線，與對稱軸交點(diǎn)即為最小值時的情況最大值最大值取線段的中垂線與對稱軸的交點(diǎn)，即為最小的情況，最小值為0最大值線段連線的延長線與對稱軸的交點(diǎn)，即為最大的情況，最大值為的周長最小值 若一個動點(diǎn)，則對稱一次若兩個動點(diǎn)，則對稱兩次 四邊形的周長最小值 情況一、兩固定點(diǎn)兩動點(diǎn)，對稱兩次，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短 情況二、兩固定點(diǎn)，定長度動線段，利用平移，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短修橋問題：兩條動線段加平行線距離之和最短問題，利用平移，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短 多條折線之和最短： 將其中的兩個點(diǎn)對稱過去，把折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短問題之和最短 【本節(jié)訓(xùn)練】訓(xùn)練【1】如圖，正ABC的邊長為2，過點(diǎn)B的直線lAB，且ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，D為線段BC上一動點(diǎn)，則AD+CD的最小值是（）A4B3C2D2+訓(xùn)練【2】如圖，MBN=60，在MBN的內(nèi)部有一點(diǎn)C，且BC=10，點(diǎn)D、E分別在BM、BN上，則CDE周長的最小值為訓(xùn)練【3】如圖，AOB=，P在AOB內(nèi)，OP=2，M和N分別為OA，OB上一動點(diǎn)，當(dāng)PMN的周長為最小值2時，=訓(xùn)練【4】如圖，在等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC邊上的中點(diǎn)，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)則BM+MN的最小值是基礎(chǔ)鞏固1、（1）如圖1，在l上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?）如圖2，在l上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?）如圖3，在l上找一點(diǎn)Q，使AQBQ最大（4）如圖4，在l上找一點(diǎn)Q，使AQBQ最大（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并簡要說明理由以及得到的結(jié)論）2、如圖，已知A、B兩村莊的坐標(biāo)分別為（2，2）、（7，4），一輛汽車從原點(diǎn)O出發(fā)，在x軸和y軸上行駛汽車在y軸上行駛到離A村最近的位置的坐標(biāo)是；在x軸上行駛到離B村最近時的位置的坐標(biāo)是 3、如圖，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點(diǎn)A處有一個馬廄，點(diǎn)B處是他的家l1是草地的邊沿，l2是一條筆直的河流每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處請?jiān)趫D上畫出牧民行走的最短路線（保留作圖痕跡）4、如圖，四邊形ABCD中，BAD=130，B=D=90，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN周長最小時，則AMN+ANM的度數(shù)為巔峰突破1、如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，點(diǎn)M在AC邊上，且AM=2，MC=6，動點(diǎn)P在AB邊上，連接PC，PM，則PC+PM的最小值是（）A2B8C2D102、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，4），B（4，2），在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A（2，0）B（4，0）C（2，0）D（0，0）3、如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的最短路程是（）A15 kmB16 kmC17 kmD18 km4、請閱讀下列材料：問題：如圖1，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP+BP的值最小小明的思路是：如圖2所示，先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，使點(diǎn)A，B分別位于直線l的兩側(cè)，再連接AB，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知AB與直線l的交點(diǎn)P即為所求請你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)AA與直線l的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BDl，垂足為D若CP=1，AC=1，PD=2，直接寫出AP+BP的值；（2）將（1）中的條件“AC=1”去掉，換成“BD=4AC”，其它條件不變，直接寫出此時AP+BP的值；（3）請結(jié)合圖形，求的最小值參考答案【診斷自測】1、答案：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，再把對稱點(diǎn)與點(diǎn)B連接，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M解：根據(jù)最短路線問題，B選項(xiàng)圖形方案符合故選B2、解：四邊形OABC為正方形，A、C兩點(diǎn)關(guān)于直線OB對稱（軸對稱的性質(zhì)），連接CD，則CD即為PD+PA和的最小值（兩點(diǎn)之間，線段最短），用到的數(shù)理依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及“軸對稱的性質(zhì)”故選C3、解：根據(jù)垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN直線a（或直線b），只要AM+BN最短就行，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在AH上取點(diǎn)I，使AI等于河寬連結(jié)IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點(diǎn)，所得MN即為所求故選D【易錯精選】1、解：設(shè)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為R，由于為銳角三角形，則R必在AC上，作AC邊上的高BE，E在線段AC上，連接BR交AD于M，MN=MR，BM+MN=BM+MR=BRBE，面積為6，AC=4，6=ACBE，BE=3，BM+MN的最小值為32、解：如圖所示：（1）此時：PA+PB最??；（2）此時：PAPB最大3、【本節(jié)訓(xùn)練】訓(xùn)練【1】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A1，連接A1C交直線BC與點(diǎn)D，如圖所示由圖象可知當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時，AD+CD最小，而點(diǎn)D為線段BC上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時AD+CD值最小，此時AD+CD=AB+CB=2+2=4故選A訓(xùn)練【2】解：分別作點(diǎn)C關(guān)于BM、BN的對稱點(diǎn)C、C，連接CC，分別交BM、BN于點(diǎn)D、E，連接BC、BC點(diǎn)C關(guān)于BM的對稱點(diǎn)C，DC=DC，BC=BC，CBM=CBM；點(diǎn)C關(guān)于BN的對稱點(diǎn)為C，EC=EC，BC=BC，NBC=NBC，BC=BC=OC=10，CBC=120，CBC是等腰三角形，CC=10CDE的周長的最小值=CD+MDE+CE=DC+DE+DECCC=10故答案為10訓(xùn)練【3】 解：作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時，PMN的周長最短，最短的值是CD的長PC關(guān)于OA對稱，COP=2AOP，OC=OP，同理，DOP=2BOP，OP=OD，COD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB，OC=OD=OP=2CD=2，COD是等邊三角形COD=2AOB=60，AOB=30，=30，故答案為30訓(xùn)練【4】解：如圖，作BHAC，垂足為H，交AD于M點(diǎn)，過M點(diǎn)作MNAB，垂足為N，則BM+MN為所求的最小值A(chǔ)B=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，AD是BAC的平分線，MH=MN，BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離（垂線段最短），AB=AC=13，BC=10，D是BC邊上的中點(diǎn)，ADBC，AD=12，SABC=ACBH=BCAD，13BH=1012，解得：BH=，故答案為：基礎(chǔ)鞏固1、解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示；（3）如圖3所示；（4）如圖4所示2、解：（1）汽車行駛到點(diǎn)A與y軸的垂線段的垂足處時，離A村最近，此點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；（2）汽車行駛到點(diǎn)B與x軸的垂線段的垂足處時離B村最近，此點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0）故答案為：（0，2）、（7，0）3、解：如圖所示：4、解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A，關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A，連接AA與BC、CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M、N，BAD=130，B=D=90，A+A=180130=50，由軸對稱的性質(zhì)得：A=AAM，A=AAN，AMN+ANM=2（A+A）=250=100故答案為：100巔峰突破1、解：如圖，過點(diǎn)作COAB于O，延長BO到C，使OC=OC，連接MC，交AB于P，此時MC=PM+PC=PM+PC的值最小，連接AC，COAB，AC=BC，ACB=90，ACO=90=45，CO=OC，COAB，AC=CA=AM+MC=8，OCA=