淺談數(shù)值分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.docVIP

淺談數(shù)值分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要：摘要為了滿足科技發(fā)展對科學(xué)研究和工程技術(shù)人員用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際的能力的要求，討論了數(shù)值分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。數(shù)值分析不僅應(yīng)用模型求解的過程中，它對模型的 .關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué),工程類別：專題技術(shù)來源：牛檔搜索（Niudown.COM）本文系牛檔搜索（Niudown.COM）根據(jù)用戶的指令自動搜索的結(jié)果，文中內(nèi)涉及到的資料均來自互聯(lián)網(wǎng)，用于學(xué)習(xí)交流經(jīng)驗(yàn)，作品其著作權(quán)歸原作者所有。不代表牛檔搜索（Niudown.COM）贊成本文的內(nèi)容或立場，牛檔搜索（Niudown.COM）不對其付相應(yīng)的法律責(zé)任！6淺談數(shù)值分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用韓玉桃 白洋 田露 劉徳錚(1天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300134 2天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津，300134)摘要 為了滿足科技發(fā)展對科學(xué)研究和工程技術(shù)人員用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際的能力的要求，討論了數(shù)值分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。數(shù)值分析不僅應(yīng)用模型求解的過程中，它對模型的建立也具有較強(qiáng)的指導(dǎo)性。研究數(shù)值分析中插值擬合，解線性方程組，數(shù)值積分等方法在模型建立、求解以及誤差分析中的應(yīng)用，使數(shù)值分析作為一種工具更好的解決實(shí)際問題。關(guān)鍵詞 數(shù)值分析；數(shù)學(xué)建模；線性方程組；微分方程1. 引言數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法及其基本原理，研究并解決數(shù)值問題的近似解，是數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)和實(shí)際問題的有機(jī)結(jié)合1。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域中的實(shí)際問題，已經(jīng)得到普遍重視。數(shù)學(xué)建模是數(shù)值分析聯(lián)系實(shí)際的橋梁。在數(shù)學(xué)建模過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、擬合法等，那么如何在數(shù)學(xué)建模中正確的應(yīng)用數(shù)值分析內(nèi)容，就成了解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。2. 數(shù)值分析在模型建立中的應(yīng)用在實(shí)際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的模型也是離散的。例如，對經(jīng)濟(jì)進(jìn)行動態(tài)的分析時，一般總是根據(jù)一些計(jì)劃的周期期末的指標(biāo)值判斷某經(jīng)濟(jì)計(jì)劃執(zhí)行的如何。有些實(shí)際問題即可建立連續(xù)模型，也可建立離散模型，但在研究中，并不能時時刻刻統(tǒng)計(jì)它，而是在某些特定時刻獲得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。例如，人口普查統(tǒng)計(jì)是一個時段的人口增長量，通過這個時段人口數(shù)量變化規(guī)律建立離散模型來預(yù)測未來人口。另一方面，對常見的微分方程、積分方程為了求解，往往需要將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型。將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型，最常用的方法就是建立差分方程。以非負(fù)整數(shù)表示時間，記為變量在時刻的取值，則稱為的一階差分，稱為的二階差分。類似課求出的階差分。由，及的差分給出的方程稱為差分方程2。例如在研究節(jié)食與運(yùn)動模型時，發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運(yùn)動方式消耗體內(nèi)存儲的脂肪，引起體重下降，達(dá)到減肥目的。通常制定減肥計(jì)劃以周為時間單位比較方便，所以采用差分方程模型進(jìn)行討論。記第周末體重為，第周吸收熱量為，熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)，代謝消耗系數(shù)，在不考慮運(yùn)動情況下體重變化的模型為2，增加運(yùn)動時只需將改為，由運(yùn)動的形式和時間決定。 此外，在研究經(jīng)濟(jì)變化趨勢，人口增長等問題時，都要按照一定的周期建立差分模型。這樣，連續(xù)模型就通過數(shù)值分析中研究的對象差分方程，轉(zhuǎn)化成離散模型，簡化了求解過程。3.數(shù)值分析在模型求解中的應(yīng)用3.1插值法和擬合法在模型求解中的應(yīng)用3.1.1擬合法求解在數(shù)學(xué)建模中，我們常常建立了模型，也測量了（或收集了）一些已知數(shù)據(jù)，但是模型中的某些參數(shù)是未知的，此時需要利用已知數(shù)據(jù)去確定有關(guān)參數(shù)，這個過程通常通過數(shù)據(jù)擬合來完成。最小二乘法是數(shù)據(jù)擬合的基本方法。其基本思想就是：尋找最適合的模型參數(shù)，使得由模型給出的計(jì)算數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)的整體誤差最小。假設(shè)已建立了數(shù)學(xué)模型，其中，是模型參數(shù)。已有一組已知數(shù)據(jù)，用最小二乘確定參數(shù)，使最小。函數(shù)稱為數(shù)據(jù)的最小二乘擬合函數(shù)。如果模型函數(shù)具有足夠的可微性，則可用微分方程法解出。最合適的應(yīng)滿足必要條件。3.1.2插值法求解在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常會遇到求經(jīng)驗(yàn)公式的問題，即不知道某函數(shù)的具體表達(dá)式，只能通過實(shí)驗(yàn)測量得到該函數(shù)在一些點(diǎn)的函數(shù)值，即已知一部分精確的函數(shù)值數(shù)據(jù)，。要求一個函數(shù) ， （2）這就是插值問題。函數(shù)稱為的插值函數(shù)。稱為插值節(jié)點(diǎn)，式（2）稱為插值條件2。多項(xiàng)式插值是最常用的插值方法，在工程計(jì)算中樣條插值是非常重要的方法。3.2模型求解中的解線性方程組問題在線性規(guī)劃模型的求解過程中，常遇到線性方程組求解問題。線性方程組求解是科學(xué)計(jì)算中用的最多的，很多計(jì)算問題都?xì)w結(jié)為解線性方程組，利用計(jì)算機(jī)求解線性方程組的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于求解的三角線性方程組，再求三角線性方程組，理論上直接在有限步內(nèi)求得方程的精確解，但由于數(shù)值運(yùn)算有舍入誤差，因此實(shí)際計(jì)算求出的解仍然是近似解，仍需對解進(jìn)行誤差分析。直接法不適用求解的線性方程組，因此當(dāng)時，可以采用迭代法進(jìn)行求解。迭代法先要構(gòu)造迭代公式，它與方程求根迭代法相似，可將線性方程組改寫成便于迭代的形式。迭代計(jì)算公式簡單，易于編制計(jì)算程序，通常都用于解大型稀疏線性方程組。求解線性方程組的一般設(shè)計(jì)思想如下，假設(shè)建立一個線性規(guī)劃模型其中，即，可將改寫為迭代的形式并由此構(gòu)造迭代法其中,稱為迭代矩陣。將按不同方式分解，就得到不同的迭代矩陣,也就的帶不同的迭代法，例如Jacobi迭代法 5、高斯-賽德爾迭代法5、超松弛迭代法等。 由于計(jì)算過程中有舍入誤差，為防止誤差增大，就要求所使用的迭代法具有穩(wěn)定性，即迭代收斂，收斂速度越快，誤差越小。若中，1，則認(rèn)為此迭代法收斂。超松弛迭代法是利用松弛技術(shù)加快收斂的典型，它有重要的實(shí)際價(jià)值，但必須選擇較佳的松弛因子，雖有求最佳松弛因子的理論公式，但通常還要依賴于實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。3.3數(shù)值積分在模型求解中的應(yīng)用模型求解過程中可能遇到積分求解問題，用求積公式，使定積分計(jì)算變得簡單，但在實(shí)際應(yīng)用中很多被積函數(shù)找不到用解析時表示的原函數(shù)，例如，或者即使找到表達(dá)式也極其復(fù)雜。另外，當(dāng)被積函數(shù)是列函數(shù)，其原函數(shù)沒有意義，因此又將計(jì)算積分歸結(jié)為積函數(shù)值的加權(quán)平均值。假設(shè)，則積分的計(jì)算公式5為，稱其為機(jī)械求積公式，其中（）稱為求積節(jié)點(diǎn)，與無關(guān)，稱為求積系數(shù)或權(quán)數(shù)，機(jī)械求積公式是將計(jì)算積分歸結(jié)為計(jì)算節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的加權(quán)平均，即取得到的。由于這類公式計(jì)算極其便捷，是計(jì)算機(jī)計(jì)算積分的主要方法，構(gòu)造機(jī)械求積公式就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)及的代數(shù)問題。3.4數(shù)值分析在求解微分方程中的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)建模中，所建立的模型很多時候是常微分方程或者偏微分方程，這些方程求解析解是很困難的，而且即使能夠求得解析解，由于所用數(shù)據(jù)的誤差得到的解也是近似值，所以大部分情況下會采取數(shù)值的方法進(jìn)行求解。例如在常微分方程求解中，將原方程離散后，用迭代的方法求解；在偏微分方程的求解中，常常利用有限差分方法和有限元方法對方程進(jìn)行離散，進(jìn)而求得方程的數(shù)值解。4.誤差分析誤差分析使數(shù)學(xué)建模的結(jié)果更加準(zhǔn)確。數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間出現(xiàn)的誤差稱為模型誤差。在數(shù)學(xué)模型中往往包含了若干參變量，這些量往往是通過觀察得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差稱為觀察誤差4。這些誤差是不可避免的，所以我們只能在模型建立和模型求解中避免誤差擴(kuò)大。目前已經(jīng)提出的誤差分析方法有向前誤差分析法與向后誤差分析，區(qū)間分析法，及概率分析，但在實(shí)際誤差估計(jì)中均不可行。不能定量的估計(jì)誤差，因此在建模過程中更著重誤差的定性分析，也就是算法的穩(wěn)定性分析。一個算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差，而計(jì)算過程舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則，若誤差增長，則稱算法是不穩(wěn)定的。在誤差分析中，首先要分清問題是否病態(tài)和算法是否穩(wěn)定，計(jì)算時還要盡量避免誤差危害。為了防止有效數(shù)字的損失，應(yīng)該注意下面若干原則：一是避免用絕對值小的數(shù)作除數(shù)；二是避免數(shù)值接近相等的兩個近似值相減，這樣會導(dǎo)致有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失；三是注意運(yùn)算次序，防止“大數(shù)”吃“小數(shù)”，如多個數(shù)相加減，應(yīng)按照絕對值由小到大的次序運(yùn)算；四是簡化步驟，減少算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)。5.結(jié)論 隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展、普及以及新型數(shù)值軟件的不斷開發(fā),數(shù)值分析的理論和方法無論是在高科技領(lǐng)域還是在傳統(tǒng)學(xué)科領(lǐng)域，其作用和影響都越來越大，實(shí)際上它已成為科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員必備的知識和工具，所以把數(shù)值分析的知識正確的應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模中去不僅是一種趨勢，更是用數(shù)學(xué)的理論解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。參考文獻(xiàn)：1鄭慧嬈,陳紹林,莫忠息,等.數(shù)值計(jì)算方法M.武漢:武漢大學(xué)出版社,2002.2陳東彥,李冬梅,王樹忠.數(shù)學(xué)建模M.北京:科學(xué)出版社,2007.3姜啟源,等.數(shù)學(xué)模型M.北京:高等教育出版社,2003.4李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析M.4版.北京:清華大學(xué)出版社, 2001.5李慶揚(yáng).科學(xué)計(jì)算方法基礎(chǔ)M.4版.北京:清華大學(xué)出版社, 2005.the Application of Numerical Analysis in Methmetical ModelingHan Yu-tao Bai Yang Tian Lu Liu De-zheng（1 College of Science，Tianjin University of Commerce，Tianjin，3001342 College of Science，Tianjin University of Commerce，Tianjin，300134)Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in nu