機器人正逆運動學.ppt

1.4 機器人正向運動學,工業(yè)機器人的正向運動學是指已知各關節(jié)的類型、相鄰關節(jié)之間的尺寸和相鄰關節(jié)相對運動量的大小時，如何確定工業(yè)機器人末端操作器在固定坐標系中的位姿。,主要包括以下內(nèi)容： 1) 相對桿件的坐標系的確定； 2) 建立各連桿的模型矩陣A； 3) 正運動學算法；,D-H表示法,學習目標：1. 理解D-H法原理 2. 學會用D-H法對機器人建模,學習重點：1. 給關節(jié)指定參考坐標系 2. 制定D-H參數(shù)表 3. 利用參數(shù)表計算轉移矩陣,背景簡介： 1955年，Denavit和Hartenberg(迪納維特和哈坦伯格)提出了這一方法，后成為表示機器人以及對機器人建模的標準方法，應用廣泛。,總體思想： 首先給每個關節(jié)指定坐標系，然后確定從一個關節(jié)到下一個關節(jié)進行變化的步驟，這體現(xiàn)在兩個相鄰參考坐標系之間的變化，將所有變化結合起來，就確定了末端關節(jié)與基座之間的總變化，從而建立運動學方程，進一步對其求解。,1.第一個關節(jié)指定為關節(jié)n,第二個關節(jié)為n+1,其余關節(jié)以此類推。,坐標系的確定,2.Z軸確定規(guī)則：如果關節(jié)是旋轉的，Z軸位于按右手規(guī)則旋轉的方向，轉角 為關節(jié)變量。如果關節(jié)是滑動的，Z軸為沿直線運動的方向，連桿長度d為關節(jié)變量。關節(jié)n處Z軸下標為n-1。,3.X軸確定規(guī)則 情況1：兩關節(jié)Z軸既不平行也不相交 取兩Z軸公垂線方向作為X軸方向，命名規(guī)則同Z軸。,情況2：兩關節(jié)Z軸平行 此時，兩Z軸之間有無數(shù)條公垂線，可挑選與前一關節(jié)的公垂線共線的一條公垂線。,情況3：兩關節(jié)Z軸相交 取兩條Z軸的叉積方向作為X軸。,4.Y軸確定原則 取X軸、Z軸叉積方向作為Y軸方向。（右手） 5.變量選擇原則 用n+1角表示Xn到Xn+1繞Zn軸的旋轉角;dn+1表示從Xn到Xn+1沿Zn測量的距離;an+1表示關節(jié)偏移，an+1是從Zn到Zn+1沿Xn+1測量的距離;角表示關節(jié)扭轉, n+1是從Zn到Zn+1繞Xn+1旋轉的角度。 通常情況下，只有和d是關節(jié)變量。,斯坦福機器人,斯坦福機器人開始的兩個關節(jié)是旋轉的，第三個關節(jié)是滑動的，最后三個腕關節(jié)全是旋轉關節(jié),例1：Stanford機器人運動學方程,A1,A2,A3,A4,A5,A6,z1,x1,y1,O1,z2,x2,y2,O2,z3,y3,x3,O3,y4,z4,x4,O4,z5,y5,x5,O5,z6,x6,y6,O6,z0,y0,x0,O0,為右手坐標系 原點Oi： Ai與Ai+1關節(jié)軸線的交點 zi軸：與Ai+1關節(jié)軸重合，指向任意 xi軸： Zi和Zi-1構成的面的法線 yi軸：按右手定則,ai沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點到Oi 的距離 i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉向zi di 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點至Oi 1 坐標 系原點的距離 i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉向 xi,關節(jié)1 坐標系0,關節(jié)2 坐標系1,關節(jié)3 坐標系2,連桿0,連桿1,連桿2,連桿3,連桿4,連桿5,關節(jié)4 坐標系3,關節(jié)5 坐標系4,關節(jié)6 坐標系5,解：,例2、PUMA560運動學方程（六個自由度，全部是旋轉關節(jié)）,PUMA560機器人的連桿及關節(jié)編號,為右手坐標系，Yi軸：按右手定則 Zi軸：與Ai+1關節(jié)軸重合，指向任意 Xi軸： Zi和Zi-1構成的面的法線， 或連桿i兩端軸線Ai 與Ai+1的公垂線(即： Zi和Zi-1的公垂線) 原點Oi： Ai與Ai+1關節(jié)軸線的交點，或Zi與Xi的交點,ai沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點到Oi 的距離 i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉向zi di 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點至Oi 1 坐標 系原點的距離 i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉向 xi,A1,A2,A3,A4,A5,A6,O1,O0,對下圖所示簡單機器人，根據(jù)D-H法，建立必要坐標系及參數(shù)表。,例 3,第一步：根據(jù)D-H法建立坐標系的規(guī)則建立坐標系,第二步：將做好的坐標系簡化為我們熟悉的線圖形式,第三步：根據(jù)建立好的坐標系，確定各參數(shù)，并寫入D-H參數(shù)表,第四步：將參數(shù)代入A矩陣，可得到,第5步 求出總變化矩陣,依次寫出從基坐標系到手爪坐標系之間相鄰兩坐標系的齊次變換矩陣，它們依次連乘的結果就是末端執(zhí)行器（手爪）在基坐標系中的空間描述，即,已知q1,q2,qn，求 ，稱為運動學正解；,已知 ，求q1,q2,qn，稱為運動學反解。,上式稱為運動方程。,綜上：,正解,反解,1.5 機器人的逆運動學解,給定機器人終端位姿，求各關節(jié)變量，稱求機器人運動學逆解。讓我們通過下面這道例題來了解一下機器人逆運動學求解的一般步驟。前面例子最后方程為：,求逆運動學方程的解,根據(jù)第3行第4列元素對應相等可得到,依次用 左乘上面兩個矩陣，得到：,根據(jù)1，4元素和2，4元素，可得到：,將上面兩個方程兩邊平方相加，并利用和差化積公式得到,已知,于是可得到：,依次類推，分別在方程2.19兩邊左乘A1A4的逆，可得到,接下來再一次利用式 由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：,最后用A5的逆左乘式2.67，再利用2,1元素和2,2元素，得到：,2.10 機器人的運動學編程,在實際應用中，對運動學的求解是相當繁瑣和耗時的，因此需要用計算機編程來實現(xiàn)。并且應盡量避免使用矩陣求逆或高斯消去法等相對繁瑣的算法。正確的算法是：,2.11 設計項目,利用本書中所介紹的四自由度機器人，結合本章所學的知識進行四自由度機器人的正逆運動學分析。 SCARA型機器人的運動學模型的建立，包括機器人運動學方程的表示，以及運動學正解、逆解等，這些是研究機器人控制的重要基礎，也是開放式機器人系統(tǒng)軌跡規(guī)劃的重要基礎。為了描述SCARA型機器人各連桿之間的數(shù)學關系，采用D-H法。SCARA型機器人操作臂可以看作是一個開式運動鏈。它是由一系列連桿通過轉動或移動關節(jié)串聯(lián)而成的。為了研究操作臂各連桿之間的位移關系，可在每個連桿上固接一個坐標系，然后描述這些坐標系之間的關系。,SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm 裝配機器人臂）機器人坐標系的建立,1.SCARA機器人坐標系建立原則根據(jù)D-H坐標系建立方法，SCARA機器人的每個關節(jié)坐標系的建立可參照以下的三原則 (1) 軸沿著第n個關節(jié)的運動軸;基坐標系的選擇為:當?shù)谝魂P節(jié)變量為零時，零坐標系與一坐標系重合。 (2) 軸垂直于 軸并指向離開 軸的方向。 (3) 軸的方向按右手定則確定。 2.構件參數(shù)的確定根據(jù)D-H構件坐標系表示法，構件本身的結構參數(shù) 、 和相對位置參數(shù) 、 可由以下的方法確定: (1) 為繞 軸(按右手定則)由 軸到 軸的關節(jié)角。 (2) 為沿 軸，將 軸平移至 軸的距離。 (3) 為沿 軸從 量至 軸的距離。 (4) 為繞 軸(按右手定則)由 軸到 軸的偏轉角。,3.變換矩陣的建立全部的連桿規(guī)定坐標系之后，就可以按照下列的順序來建立相鄰兩連桿n-1和n之間的相對關系: (1)繞 軸轉 角。 (2)沿 軸移動 。 (3)繞 軸轉 角。 (4)沿 軸移動 。 這種關系可由表示連桿n對連桿n-1相對位置齊次變換 來表征。即： 展開上式得,由于 描述第n個連桿相對于第n-1連桿的位姿，對于SCARA教學機器人(四個自由度)，機器人的末端裝置即為連桿4的坐標系，它與基座的關系為:,如上圖坐標系，可寫出連桿n相對于n-1變換矩陣 : 其中： 以下相同。 相應連桿初始位置及參數(shù)列于表2.4，表中 、 為關節(jié)變量。,各連桿變換矩陣相乘，可得到SCARA機器人末端執(zhí)行器的位姿方程(正運動學方程)為下 式它表示了SCARA手臂變換矩陣 ，它描述了末端連桿坐標系4相對基坐標系0的位姿 。,SCARA機器人的正運動學分析,SCARA機器人的逆運動學分析,1.求關節(jié)變量 為了分離變量，對方程的兩邊同時左乘 , 得: 即：,左右矩陣中的第一行第四個元素(1.4)，第二行第四個元素(2.4)分別相等。即: 由以上兩式聯(lián)立可得: 式中：,2 求關節(jié)變量 由式(2.87)可得: 式中：,至此，機器人的所有運動學逆解都已求出。在逆解的求解過程中只進行了一次矩陣逆乘，從而使計算過程大為簡化，從 的表達式中可以看出它有兩個解，所以SCARA機器人應該存在兩組解。運動學分析提供了機器人運動規(guī)劃和軌跡控制的理論基礎。,對機器人相關概念的補充,退化：當機器人失去一個自由度，并因此不按所期望的狀態(tài)運動時即稱為退化。 退化發(fā)生條件： 1.機器人達到物理極限，不能進一步運動 2.兩個相似關節(jié)共線,不靈巧區(qū)域：能對機器人定位不定姿的區(qū)域稱為不靈巧區(qū)域。,D-H法的局限性：無法表示關于y軸的運動。,退化狀態(tài)下的機器人,總 結,1 用矩陣表示點，向量，坐標系及變換的方法 2 正逆運動學方程的建立 3 用D-H法建立坐標系及變化方程 4 正逆運動學方程的求解,9.2 機器人桿件，關節(jié)和它們的參數(shù),9.2.1 桿件與關節(jié) 操作機由一串用轉動或平移（棱柱形）關節(jié)連接的剛體（桿件）組成 每一對關節(jié)桿件構成一個自由度，因此N個自由度的操作機就有N對關節(jié)桿件。 0號桿件（一般不把它當作機器人的一部分）固聯(lián)在機座上，通常在這里建立一個固定參考坐標系，最后一個桿件與工具相連 關節(jié)和桿件均由底座向外順序排列，每個桿件最多和另外兩個桿件相聯(lián)，不構成閉環(huán)。,關節(jié),桿件,末端操作手,機座,兩自由度關節(jié),關節(jié)： 一般說來，兩個桿件間是用低副相聯(lián)的 只可能有6種低副關節(jié)：旋轉（轉動）、棱柱（移動）、圓柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋轉和棱柱形關節(jié)是串聯(lián)機器人操作機常見的，各種低副形狀如下圖所示：,旋轉,棱柱形,柱形,球形,螺旋形,平面,9.2.2 桿件參數(shù)的設定,條件 關節(jié)串聯(lián) 每個桿件最多與2個桿件相連，如Ai與Ai-1和 Ai+1相連。第 i 關節(jié)的關節(jié)軸 Ai 位于2個桿件相連接處，如圖所示， i -1關節(jié)和 i +1關節(jié)也各有一個關節(jié)軸 Ai-1 和 Ai+1。,桿件參數(shù)的定義 、 、 和, li 和 li-1 在 Ai 軸 線上的交點之間 的距離。, li 和 li-1 之間的夾 角，按右手定則 由li-1 轉向 li。,由運動學的觀點來看，桿件保持其兩端關節(jié)間的形態(tài)不變，這種形態(tài)由兩個參數(shù)決定：桿件長度 li 和桿件扭轉角 。桿件的相對位置關系，由另外兩個參數(shù)決定：桿件的距離 di 和桿件的回轉角 。,li 關節(jié) Ai 軸和 Ai+1 軸線公法線的長度。,關節(jié)i 軸線與i+1軸線在垂直于li 平面內(nèi)的夾角。,上述4個參數(shù)，就確定了桿件的結構形態(tài)和相鄰桿件相對位置關系。在轉動關節(jié)中，li, i, di是固定值，i是變量。在移動關節(jié)中，li, i , i是固定值， d i 是變量。,9.3 機器人關節(jié)坐標系的建立,對于每個桿件都可以在關節(jié)軸處建立一個正規(guī)的笛卡兒坐標系（xi, yi, zi），（i=1, 2, , n），n是自由度數(shù)，再加上基座坐標系，一共有（n+1）個坐標系。 基座坐標系 O0定義為0號坐標系（x0, y0, z0）,它也是機器人的慣性坐標系，0號坐標系在基座上的位置和方向可任選，但z0軸線必須與關節(jié)1的軸線重合，位置和方向可任選； 最后一個坐標系（n關節(jié)），可以設在手的任意部位，但必須保證 zn與zn-1 垂直。,機器人關節(jié)坐標系的建立主要是為了描述機器人各桿件和終端之間的相對運動，對建立運動方程和動力學研究是基礎性的工作。 為了描述機器人各桿件和終端之間轉動或移動關系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一種為運動鏈中每個桿件建立附體坐標系的矩陣方法（D-H方法） ，建立原則如下：,9.3.1 D-H關節(jié)坐標系建立原則,右手坐標系 原點Oi：設在li與Ai+1軸線的交點上 Zi軸： 與Ai+1關節(jié)軸重合，指向任意 Xi軸： 與公法線Li重合，指向沿Li由Ai軸線指向Ai+1軸線 Yi軸： 按右手定則,9.3.2 關節(jié)坐標系的建立方法,Ai,Ai+1,Ai-1,原點Oi：設在li與Ai+1軸線的交點上 zi軸：與Ai+1關節(jié)軸重合，指向任意 xi軸：與公法線li重合，指向沿li由Ai軸線指向Ai+1軸線 yi軸：按右手定則,桿件長度li 沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點到 0i 的距離 桿件扭轉角i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉向zi 桿件偏移量 di 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點至0i 1 坐標系原點的距離 桿件回轉角i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉向 xi,兩種特殊情況,兩軸相交，怎么建立坐標系？ Oi Ai與Ai+1關節(jié)軸線的 交點； zi Ai+1軸線； xi zi和zi-1構成的平面的 法線 ； yi 右手定則；,Ai,Ai+1,zi-1,zi,xi,yi,Oi,兩軸平行，怎么建立坐標系(Ai與Ai+1平行)？ 先建立 Oi-1 然后建立Oi+1 最后建立 Oi,注意： 由于Ai和Ai+1平行，所以公法線 任意