數(shù)學(xué)建模作業(yè)1

班組：1班13組姓名：王文淑（200806410118） 李晶晶（200806410156） 王春玲（200806410143）題目：藥物在體內(nèi)的分布模型摘要：本文針對(duì)藥物在體內(nèi)的分布情況，以藥物在體內(nèi)均勻分布，被吸收，分解,排泄為假設(shè)基礎(chǔ)，利用藥物動(dòng)力學(xué)理論，通過(guò)對(duì)房室的分析，針對(duì)單房室系統(tǒng)，建立起藥物變化所滿(mǎn)足的關(guān)系式(微分方程 )，并以三種常見(jiàn)給藥方式：快速靜脈注射模型，恒速靜脈點(diǎn)滴模型，口服和肌肉注射模型做了具體分析。該模型對(duì)于藥物的使用時(shí)間、使用劑量及給藥方式具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義，但該模型假設(shè)條件太多，建立的模型相對(duì)簡(jiǎn)單，因此提出應(yīng)用多變量多因素的改進(jìn)方案。關(guān)鍵詞：廣義指數(shù)分布 單房室系統(tǒng) 均勻分布 常微分方程正文 一、模型假設(shè)為了考查藥物在機(jī)體內(nèi)的分布情況, 將機(jī)體看作一個(gè)單房室系統(tǒng), 藥物在其中均勻分布, 被吸收、分解與排泄.根據(jù)以上假設(shè)給出一室模型的藥物轉(zhuǎn)移流程圖。 機(jī)體二、模型建立通過(guò)對(duì)房室的分析, 建立藥物變化所滿(mǎn)足的關(guān)系式(微分方程) , 測(cè)定它所包含的關(guān)鍵參數(shù), 從而求出藥物濃度在機(jī)體內(nèi)的分布變化規(guī)律.將機(jī)體看作一個(gè)單房室系統(tǒng), 假設(shè)機(jī)體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的, t 時(shí)刻機(jī)體內(nèi)藥物總量為 x(t), 系統(tǒng)處于一種平衡中, 也就是有關(guān)系式（1）其中 和分別表示藥物輸入 ( 進(jìn)入) 和輸出機(jī)體內(nèi)的速率.藥物的輸出 ( 分解與排泄) 速率, 在同一個(gè)機(jī)體內(nèi)通?？梢哉J(rèn)為與藥物當(dāng)前的濃度成正比.則=kx（2）藥物的輸入規(guī)律與給藥方式有關(guān).三、模型求解下面研究三種常見(jiàn)的給藥方式下機(jī)體內(nèi)藥物的變化規(guī)律.1 快速靜脈注射快速靜脈注射時(shí), 假設(shè)總量為 D 的藥物在瞬間注入機(jī)體內(nèi), 記機(jī)體的總體積為V.可以將系統(tǒng)近似地看作初始總量D, 濃度為D/V , 只輸出, 不輸入的房室, 則可以列出微分方程: （3）這是簡(jiǎn)單的微分方程, 其解為 （4）機(jī)體內(nèi)藥物的濃度為 （5）在醫(yī)學(xué)上, c(t)叫做血漿藥物濃度.2 恒速靜脈點(diǎn)滴在恒速靜脈點(diǎn)滴時(shí), 藥物以恒速進(jìn)入機(jī)體內(nèi),也就是=（6）由房室系統(tǒng)的假設(shè), 機(jī)體內(nèi)藥物總量滿(mǎn)足微分方程:（7）這是一階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程, 其解為（8）從而（9）可以看出 （10）叫做穩(wěn)態(tài)血藥濃度.雖然點(diǎn)滴不可能無(wú)限期進(jìn)行下去, 但由于點(diǎn)滴的時(shí)間一般都比較長(zhǎng), 當(dāng)點(diǎn)滴結(jié)束時(shí), 血液中藥物的濃度已經(jīng)非常接近此值.在現(xiàn)實(shí)生活中, 點(diǎn)滴一般都要反復(fù)幾次, 設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為 T1, 兩次點(diǎn)滴的時(shí)間間隔為 T2, 則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)機(jī)體內(nèi)藥物的濃度為（11）然后在停止點(diǎn)滴的時(shí)間段內(nèi), 患者體內(nèi)藥物只輸出, 不輸入.在這一時(shí)間段內(nèi), 血液濃度(3) 式,區(qū)別在于初值不同,也就是 （12）則在點(diǎn)滴的情況下,血藥濃度: 當(dāng)0t ( 第一次)時(shí),為t時(shí), （13） 可以類(lèi)似地討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況,區(qū)別只在于初值上的不同.從第二次點(diǎn)滴起,患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零.3 口服或肌肉注射口服或肌肉注射時(shí),雖然藥物進(jìn)入機(jī)體內(nèi)可以看作瞬時(shí)完成的, 但是它集中于體內(nèi)的某一部分,靠其表面與肌體的接觸而逐步被吸收.假設(shè):藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比 ,記比例常數(shù)為,t時(shí)刻藥物的殘留量為y(t),D為一次用藥總量,則 (14)因而y(t)=D (15)從而 (16)這是一階線(xiàn)性常微分方程,它的解是 (17)從而血藥濃度 (18)一般來(lái)說(shuō), , 也就是藥物未吸收完時(shí),輸入速度大于分解與排泄速度.但也有例外,與藥物的性質(zhì)及機(jī)體對(duì)該藥物的吸收、分解能力有關(guān).當(dāng)時(shí),將（18) 看作t固定, k時(shí)型未定式, 應(yīng)用羅比達(dá)法則, 可算出這種情況下血藥濃度為: （19）口服單劑SPLX 400mg 后的藥- 時(shí)曲線(xiàn)圖表1及口服單劑SPLX 400mg 尿藥排泄時(shí)間曲線(xiàn)圖表2圖表1 圖表2 四、 模型分析對(duì)于快速靜脈注射模型 (3),就是負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型.與放射性物質(zhì)類(lèi)似,容易算出藥物的血漿半衰期: (20)對(duì)于恒速靜脈點(diǎn)滴模型, 第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí),體內(nèi)藥物的濃度為(11).到體內(nèi)藥物濃度達(dá)到點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)濃度的一半所需時(shí)間,姑且也叫半期，則由于，解得 （21）在這兩種情形中,當(dāng)注射和點(diǎn)滴結(jié)束時(shí),體內(nèi)藥物濃度達(dá)到最大值( 峰值),然后濃度單調(diào)遞減.對(duì)于口服和肌肉注射模型,考慮到藥物在生物體內(nèi),各藥物分子在機(jī)體內(nèi)滯留時(shí)間的長(zhǎng)短,受個(gè)體差異,藥物的生化、藥理等各種隨機(jī)因素的影響,可假設(shè)為隨機(jī)變量.它反映藥物在機(jī)體內(nèi)吸收、分解和消除所相應(yīng)的總體效應(yīng).為了將藥物隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)轉(zhuǎn)化為概率密度曲線(xiàn),定義藥物在體內(nèi)滯留時(shí)間的概率密度函數(shù)為: （22） 由(18)式: （23） 則 （24） 這正是文1中討論的廣義指數(shù)分布的概率密度函數(shù),由文1可以得到如下結(jié)論:a.藥物濃度的極大指點(diǎn)為,也就是兩個(gè)速率常數(shù)和的倒對(duì)數(shù)平均值.b.藥物在體內(nèi)的平均滯留時(shí)間為其數(shù)學(xué)期望,也就是藥物平均吸收時(shí)間與平均消除時(shí)間之和.c.藥物在體內(nèi)滯留時(shí)間的方差為,標(biāo)準(zhǔn)差為.由此也可以看到廣義指數(shù)分布的應(yīng)用及參數(shù)的實(shí)際意義。五、 模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 將模型應(yīng)用到常見(jiàn)的給藥方式中，具有一定的實(shí)際意義，模型建立過(guò)程中用到用到常微分方程，廣義指數(shù)分布的概率密度函數(shù)，使模型直觀易懂。缺點(diǎn) 沒(méi)能夠?qū)C(jī)體較復(fù)雜的運(yùn)行機(jī)制考慮進(jìn)去，使模型相對(duì)簡(jiǎn)單。六、 參考文獻(xiàn)1 劉國(guó)祥. 廣義指數(shù)分布. 赤峰學(xué)院學(xué)報(bào), 2007,( 3) : 1- 8.2 姜啟源, 等.數(shù)學(xué)模型.北京: 高等教育出版社,2003.3 胡鵬. 新喹諾酮類(lèi)抗菌藥司帕沙星. 國(guó)外醫(yī)藥抗生素分冊(cè),1998; 19( 1) : 654 Johnson J H, Cooper M A, Andrew s J M, et a