二數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法與應(yīng)用舉例.ppt

二 數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法與應(yīng)用舉例,2019年6月25日星期二,1 數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法(一),公式法：即直接利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和。 注意： (加法結(jié)合律) 例1 (1)求和： (2)求和：,(1)求和： 分析： (1)中每一項(xiàng)是兩項(xiàng)的差，被減數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，減數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列 解： (1)原式,(2)求和： 分析：(2)中每一項(xiàng)不是兩項(xiàng)和(或差)的形式，這怎么求和呢?能不能把每一項(xiàng)(即通項(xiàng))變換形式，“拆一下”呢? 解：,通項(xiàng),原式,2 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法(二),倒序相加法： 先求 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 利用了倒序相 加法在公式的推導(dǎo)過(guò)程中，利用了等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即,例2 求分母為3，包含在正整數(shù)2 004與2 008之間的所有不可約分?jǐn)?shù)的和 解：滿足題意的數(shù)構(gòu)成以下數(shù)列： 共8項(xiàng)，它既非等差也非等比數(shù)列但與首末兩端等距離的項(xiàng)的和都是(2 004+2 008)，所以可以用等差數(shù)列的求和方法倒序相加法設(shè)和為S，則,3 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法(三),裂項(xiàng)相消法 在求非等差、非等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，將每一項(xiàng)(即通項(xiàng))拆成若干項(xiàng)，在做加法時(shí)，中間的項(xiàng)“全部抵消”，只剩下首、末的有限項(xiàng)，從而得到和(此法叫做裂項(xiàng)相消法) 例3 求和： 分析： 利用裂項(xiàng)法，使得裂項(xiàng)后有諸多項(xiàng)能相互抵消,解： (1) 原式,解： 原式,例4 已知各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列an，求證： 證明：,左邊,得證,4 數(shù)列前n項(xiàng)的求法(四),錯(cuò)位相減法 錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列 例5 求和 解：當(dāng)a=1時(shí)，,當(dāng)a1時(shí)，在上式兩邊同乘以 得 與 兩式相減，,得,即,綜上得,應(yīng) 用 舉 例,例6 由甲地發(fā)往乙地的一列火車(chē)，沿途?？縩個(gè)站(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)，車(chē)上有一節(jié)郵政車(chē)廂，每停靠一站要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)再裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋一個(gè)，設(shè)從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車(chē)廂內(nèi)共有郵袋ak個(gè)(k=1，2，n)試求： (1)數(shù)列ak的通項(xiàng)公式； (2)k為何值時(shí)，ak最大?求出ak的最大值,解：(1)由題意第l站應(yīng)裝上郵袋(n-l)個(gè)，卸下郵袋0個(gè)；第2站應(yīng)裝上郵袋(n-2)個(gè)，卸下郵袋l個(gè)第k站應(yīng)裝上郵袋(n-k)個(gè)，卸下郵袋(k-1)個(gè)因此從第l站到第k站，裝上的郵袋總數(shù)為 而卸下的郵袋總數(shù)為,若n為偶數(shù)；當(dāng) 時(shí)，ak的最大值為 若n為奇數(shù),當(dāng) 或 時(shí), ak的最大值為,評(píng)析： 建立數(shù)列模型時(shí)，應(yīng)明確是等差數(shù)列模型還是等比 模型，還是遞推數(shù)列模型?是求an還是求Sn，n是多少?,小 結(jié),非等差(比)的特殊數(shù)列求和，其規(guī)律性很強(qiáng): (1)設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一思考方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解法或錯(cuò)位相減法來(lái)完成； (2)不能轉(zhuǎn)化為等差(比)的特殊數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法求和； (3)錯(cuò)位相減法和倒序相加法是課本中推導(dǎo)等比(