多元函數的基本概念.ppt

7.2 多元函數的基本概念,1. n 維空間,n 元有序數組,的全體所構成的集合記作,中的每一個元素用單個粗體字母 x 表示, 即,定義:,線性運算,其元素稱為點或,n 維向量.,xi 稱為 x 的第 i 個坐標 或 第 i 個分量.,稱為 n 維空間,的距離定義為,與零元 0 的距離為,2. 區(qū)域,(1). 鄰域,點集,稱為點 P0 的 鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強調鄰域半徑 ,也可寫成,點 P0 的去心鄰域記為,(2). 內點、外點、邊界點,設有點集 E 及一點 P :, 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內點也含 E,則稱 P 為 E 的內點；,則稱 P 為 E 的外點 ;,則稱 P 為 E 的邊界點 .,的外點 ,顯然, E 的內點必屬于 E ,E 的外點必不屬于 E ,E 的,邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,(3) . 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點集 E 的點都是內點，則稱 E 為開集；, 若點集 E E , 則稱 E 為閉集；, 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,。 。, E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域, 整個平面, 點集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域 ;,但非區(qū)域 ., 對區(qū)域 D , 若存在正數 K , 使一切點 PD 與某定點,A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無,7.2.3多元函數的概念,引例:, 圓柱體的體積, 三角形面積的海倫公式,定義1. 設非空點集,點集 D 稱為函數的定義域 ;,數集,稱為函數的值域 .,特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數,當 n = 3 時, 有三元函數,映射,稱為定義,在 D 上的 n 元函數 , 記作,例如, 二元函數,定義域為,圓域,說明:,二元函數 z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 .,三、二元函數的極限,定義2. 設 n 元函數,點 ,則稱 A 為函數,(也稱為 n 重極限),當 n =2 時, 記,二元函數的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數 A ,對一,記作,都有,對任意正數 , 總存在正數 ,切,7.2.3 多元函數的極限與連續(xù),例1. 設,求證:,證:,故,總有,要證,例2. 設,求證：,證：,故,總有,要證, 若當點,趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設 P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,在點 (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數,函數,例4. 求,解: 因,而,此函數定義域 不包括 x , y 軸,則,故,2. 多元函數的連續(xù)性,定義7.3,例如, 函數,在點(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數,上間斷，稱為間斷線.,故 ( 0, 0 )為其間斷點.,在圓周,結論: 一切多元初等函數在定義區(qū)域內連續(xù).,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),閉域上二元連續(xù)函數有與一元函數類似的如下性質:,解: 原式,例5.求,例6. 求函數,的連續(xù)域.,解:,備用題,1. 設,求,解法1 令,1 .,設,求,解