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文檔簡介
行政職業(yè)能力測試知識框架之-數(shù)量關(guān)系努力了的才叫夢想,不努力的就是空想!如果你一直空想的話,無論看多少正能量語錄,也趕不走滿滿的負(fù)能量!你還是原地踏步的你,一直在看別人進步。目錄目錄I1 行測數(shù)學(xué)運算知識框架31.1 計算問題之?dāng)?shù)的性質(zhì)31.1.1整除問題41.1.2公約數(shù)與公倍數(shù)問題51.1.3余數(shù)問題71.1.4奇偶性與質(zhì)合性問題101.1.5數(shù)字問題111.2 計算問題之算式計算121.2.1比較大小問題121.2.2定義新運算問題141.2.3平均值問題151.2.4不定方程問題151.2.5不等式問題171.2.6算式等式問題181.2.7最值問題191.2.8數(shù)列問題201.2.9速算與技巧231.3行程問題261.3.1初等行程問題261.3.2相遇問題271.3.3追及問題281.3.4行船問題291.4排列組合問題301.4.1常規(guī)排列組合問題301.4.2比賽問題321.5 幾何問題331.5.1平面幾何問題331.5.2立體幾何問題361.6 特殊情境問題371.6.1雞兔同籠問題371.6.2牛兒吃草問題381.6.3日期星期問題391.6.4鐘表問題401.6.5年齡問題421.6.6植樹問題421.6.7方陣問題431.6.8分段計算問題451.7 概率問題461.8 容斥原理問題471.9 統(tǒng)籌問題482.0 工程問題502.1 濃度問題512.2 利潤利率問題532.3 和差倍比問題552.4 抽屜原理問題572.5 盈虧問題58611 行測數(shù)學(xué)運算知識框架公務(wù)員行政能力測試一共分為五大模塊,其中一塊是數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)運算是數(shù)量關(guān)系中的一種。數(shù)學(xué)運算主要考查考生對基本數(shù)量關(guān)系的分析能力和理解能力,以及對數(shù)學(xué)運算方法和策略的運用能力,內(nèi)容包括了小學(xué)奧數(shù),初高中代數(shù)、幾何,甚至大學(xué)的統(tǒng)計學(xué)等眾多方面的知識,是歷年考試中的難點和熱點。數(shù)學(xué)運算一共分為十四個模塊,每個模塊已經(jīng)公務(wù)員考試資料網(wǎng)解構(gòu)與提煉,希望同學(xué)們可以輕松搞定數(shù)學(xué)運算問題。1.1 計算問題之?dāng)?shù)的性質(zhì) 數(shù)的性質(zhì)一般只有五個方面,考生只需牢牢掌握這五個方面,便可輕松搞定這類問題。從近幾年的行測考試來看,這部分試題難度基本保持在中等程度,考試的重點主要集中在整除問題和數(shù)字問題。同時,數(shù)的性質(zhì)是構(gòu)成數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ),尤其是數(shù)字的基本性質(zhì)更是構(gòu)成“秒殺”的基本理論,復(fù)習(xí)時需要引起考生足夠的重視。備注:該篇只是簡要介紹了“數(shù)的性質(zhì)”模塊的知識框架。而對于其框架下各知識點具體內(nèi)容,我們將在下屬知識點中進行精講。1.1.1整除問題在公務(wù)員考試中,數(shù)的整除性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在運算里,同時在行程、工程等問題中,很多時候都需要用到整除性質(zhì)。整除問題一般只考兩個方面,考生只需牢牢掌握這兩個方面,便可輕松搞定這類問題。1、題型簡介數(shù)的整除性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)運算里。一般情況下題目會給出某個N位數(shù)能被M個數(shù)整除的已知條件,求解這個N位數(shù)。2、核心知識如果a、b、c為整數(shù),b0,且ab=c,稱a能被b整除(或者說b能整除a)。數(shù)a除以數(shù)b(b0),商是整數(shù)或者有限小數(shù)而沒有余數(shù),稱a能被b除盡(或者說b能除盡a)。整除是除盡的一種。(1)整除的性質(zhì)A、如果數(shù)a和數(shù)b能同時被數(shù)c整除,那么ab也能被數(shù)c整除。如:36,54能同時被9整除,則它們的和90、差18也能被9整除。B、如果數(shù)a能同時被數(shù)b和數(shù)c整除,那么數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的最小公倍數(shù)整除。如:63能同時被3、7整除,則63也能被3和7的最小公倍數(shù)21整除。C、如果數(shù)a能被數(shù)b整除,c是任意整數(shù),那么積ac也能被數(shù)b整除。如:58能被29整除,則58乘以任意整數(shù)的積,例如585,也能被29整除。D、平方數(shù)的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9。E、若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除,那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。F、若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積,那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。(2)整除特征表1 常見數(shù)字整除的數(shù)字的特性表3、核心知識使用詳解(1)三個連續(xù)的自然數(shù)之和(積)能被3整除。(2)實際生活中很多事物的數(shù)量是以整數(shù)為基礎(chǔ)來計量的,這一點在解題的過程中需要考生自己來發(fā)掘。(3)1能整除任何整數(shù),0能被任何非零整數(shù)整除1.1.2公約數(shù)與公倍數(shù)問題在公務(wù)員的考試中,公約數(shù)與公倍數(shù)問題考查點只有兩種類型。無論生活場景如何改變,同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型,就能輕松搞定公約數(shù)與公倍數(shù)問題。1.題型簡介(1)約數(shù)與倍數(shù)若數(shù)a能被b整除,則稱數(shù)a為數(shù)b的倍數(shù),數(shù)b為數(shù)a的約數(shù)。其中,一個數(shù)的最小約數(shù)是1,最大約數(shù)是它本身。(2)公約數(shù)與最大公約數(shù)幾個自然數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個,稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。(3)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)幾個自然數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個,稱為這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)??荚囶}型一般是已知兩個數(shù),求它們的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)。2.核心知識(1)兩個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一般采用短除法,即用共同的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,直到所得的商互質(zhì)為止。A、把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來,就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。B、把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來,就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。如:求24、36的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。24、36的最大公約數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)的乘積,即223=12;24、36的最小公倍數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)及獨有質(zhì)因數(shù)的乘積,即(223)(23) =72。(2)三個數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)A、求取三個數(shù)的最大公約數(shù)時,短除至三個數(shù)沒有共同的因數(shù)(除1外),然后把所有共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來。B、求取三個數(shù)的最小公倍數(shù)時,短除到三個數(shù)兩兩互質(zhì),然后把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)連乘起來。如:求24、36、90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。3.核心知識使用詳解(1)兩個數(shù)如果存在著倍數(shù)關(guān)系,那么較小的數(shù)就是其最大公約數(shù),較大的數(shù)就是其最小公倍數(shù)。(2)互質(zhì)的兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,最小公倍數(shù)是它們的乘積。(3)利用短除法求取三個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時要注意二者的區(qū)別:求取三個數(shù)的最大公約數(shù)時,只需短除到三個數(shù)沒有共同的因數(shù)(除l外)即可;而求取三個數(shù)的最小公倍數(shù)時,需要短除到三個數(shù)兩兩互質(zhì)為止。(4)多于三個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法與三個數(shù)的求法相似。1.1.3余數(shù)問題公務(wù)員考試中余數(shù)問題一般只有兩種類型,只要理解題目,掌握解題的基本方法,便能輕松搞定這類問題。1、題型簡介公務(wù)員考試中常見的題型是給出相關(guān)的已知條件,計算出余數(shù)。2、核心知識被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)(都是正整數(shù))(1)一個被除數(shù),多個除數(shù)A、基本形式中國剩余定理原型:孫子算經(jīng)記載:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”基本解法層層推進法:以上題為例,滿足除以3余2的最小數(shù)為2;在2的基礎(chǔ)上每次加3,直到滿足除以5余3,這個最小的數(shù)為8;在8的基礎(chǔ)上每次加3、5的最小公倍數(shù)15,直到滿足除以7余2,這個最小的數(shù)為23。所以滿足條件的最小自然數(shù)為23,而3、5、7的最小公倍數(shù)為105,故滿足條件的數(shù)可表示為105n+ 23(n=0,1,2,)。B、特殊形式余同、和同、差同特殊形式的口訣:余同取余,和同加和,差同減差,最小公倍數(shù)為最小周期。(2)多個被除數(shù),一個除數(shù)A、同余兩個整數(shù)a、b除以自然數(shù)m(m1),所得余數(shù)相同,則稱整數(shù)a、b對自然數(shù)m同余,記做( cmod m)。例如:23除以5的余數(shù)是3,18除以5的余數(shù)也是3,則稱23與18對于5同余。同余的特殊性質(zhì):在同余的情況下(a-b)必能被m整除,所得的商為兩數(shù)商之差。例如:那么:B、不同余兩個整數(shù)a、b除以自然數(shù)m(m1),所得余數(shù)不相同,則稱整數(shù)a、b對自然數(shù)m不同余。同余和不同余的三個重要的性質(zhì)可加性,可減性,可乘性。對于同一個除數(shù)m,兩個數(shù)和的余數(shù)等于余數(shù)的和,兩個數(shù)差的余數(shù)等于余數(shù)的差,兩個數(shù)積的余數(shù)等于余數(shù)的積。3、核心知識使用詳解(1)一個數(shù)被2(或5)除得到的余數(shù),就是其末一位數(shù)字被2(或5)除得到的余數(shù)。(2)一個數(shù)被4(或25)除得到的余數(shù),就是其末兩位數(shù)字被4(或25)除得到的余數(shù)。(3)一個數(shù)被8(或125)除得到的余數(shù),就是其末三位數(shù)字被8(或125)除得到的余數(shù)。(4)一個數(shù)被3(或9)除得到的余數(shù),就是其各位數(shù)字之和被3(或9)除得到的余數(shù)。1.1.4奇偶性與質(zhì)合性問題奇偶性和質(zhì)合性問題在公務(wù)員的考試中,一般只考兩種類型。無論生活場景如何改變,同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型的性質(zhì),就能輕松搞定奇偶性和質(zhì)合性問題。1、題型簡介公務(wù)員考試中,利用奇偶性與質(zhì)合性解決問題,一般都是在具體情境中結(jié)合其他知識一起考查的,很少單獨考查,但對于單獨考查的這類問題,考生也不能掉以輕心。2、核心知識(1)奇偶性奇數(shù):不能被2整除的整數(shù)。偶數(shù):能被2整除的整數(shù)(需特別注意的是:0是偶數(shù))奇數(shù)和偶數(shù)的運算規(guī)律:奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù);偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù);奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)。(2)質(zhì)合性質(zhì)數(shù):如果一個大于1的正整數(shù),只能被1和它本身整除,那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)),如2、3、5、7、11、13合數(shù):一個正整數(shù)除了能被l和它本身整除外,還能被其他的正整數(shù)整除,這樣的正整數(shù)叫做合數(shù),如4、6、8、9、101既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3、核心知識使用詳解(1)兩個連續(xù)自然數(shù)之和(或差)必為奇數(shù)。(2)兩個連續(xù)自然數(shù)之積必為偶數(shù)。(3)乘方運算后,數(shù)字的奇偶性保持不變。如:a為奇數(shù)(偶數(shù)),則an (n為正整數(shù))為奇數(shù)(偶數(shù))。(4)2是唯一一個為偶數(shù)的質(zhì)數(shù)。如果兩個質(zhì)數(shù)的和(或差)是奇數(shù),那么其中必有一個數(shù)是2;如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù),那么其中也必有一個數(shù)是2。1.1.5數(shù)字問題公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)問題一般只有兩種類型,無論情景如何變,同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型,就能輕松搞定數(shù)字問題。1、題型介紹數(shù)字問題是研究有關(guān)數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關(guān)系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題,相對來說,難度較大。通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關(guān)系,求這個數(shù)為多少。2、核心知識(1)數(shù)字的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式,經(jīng)常需要綜合應(yīng)用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、因式分解、同余理論等。(2)數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系解答數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系時,經(jīng)常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷,同時可以利用列方程法、代入法、假設(shè)法等一些方法,進行快速求解。1.2 計算問題之算式計算算式計算一般有九個方面,考生只需牢牢掌握這九個方面,便可輕松搞定這類問題。算式計算能力是數(shù)量關(guān)系部分的基本能力,它不僅考查考生的計算水平,更多考查的是考生對計算方法的掌握和對計算技巧的運用能力,是準(zhǔn)確、快速解決具體問題的方法和手段,因此,希望考生在平時解題過程中不斷積累,做到靈活運用。備注:該篇只是簡要介紹了“算式計算”模塊的知識框架。而對于其框架下各知識點具體內(nèi)容,我們將在下屬知識點中進行精講。1.2.1比較大小問題在公務(wù)員考試中,比較大小問題的解決方法有六種,但從歷年真題來看,中間值法、倒數(shù)法、不等式法這三種方法考查較多。所以無論比較大小問題怎么變化,同學(xué)只要牢牢把握這三種主要類型,就能輕松搞定比較大小問題。1、 題型簡介比較大小問題在近年來各類公務(wù)員考試中出現(xiàn)較少。下面給出了比較幾個數(shù)大小的常用方法及其原理,從真題來看,中間值法、倒數(shù)法、不等式法這三種方法考查較多,同學(xué)們可以重點學(xué)習(xí)。2、核心知識(1)作差法對于任意兩個數(shù)a、b,若a-b0,則ab;若a-b0,則ab。(2)作商法當(dāng)a、b為任意兩個正數(shù)時,若1,則ab;若1,則ab。當(dāng)a、b為任意兩個負(fù)數(shù)時,若1,則ab;若1,則ab。(3)中間值法對任意兩個數(shù)a、b,若能找到一個中間值c,滿足ac且cb,則可以推出ab。(4)倒數(shù)法當(dāng)a、b同號時,若,則ab;若,則ab。(5)不等式法(根據(jù)不等式的性質(zhì)進行判斷)a、 若ab,則acbc;若ab,cd,則a+cb+d,a-db-c;b、 若ab,c0,則acbc,;若ab,c0,則acbc,;若ab0,cd0,則acbd,;c、 若ab0,則anbn(n1);若ab0,則(n1)。d、當(dāng)anbn,n0且n為偶數(shù)時,若a0,b0,則ab0;若a0,b0,則ab0。當(dāng)anbn,n0且n為奇數(shù)時,則ab。(6)差值比較法通常情況下,比較幾個分?jǐn)?shù)的大小時,如果其值與“1”或某一個整數(shù)比較接近,則可通過比較這幾個分?jǐn)?shù)與“1”的差值來比較它們的大小。1.2.2定義新運算問題在公務(wù)員考試中,定義新運算問題并不難。解決這類問題要充分理解新定義,嚴(yán)格按照新定義的公式帶入數(shù)值,便可輕松搞定這類問題。1、題型簡介定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義,實質(zhì)是給出一種新的運算規(guī)則,并賦予該運算方法新的運算符號,如*、等,計算其式子。2、核心知識定義新運算:新的運算符號,對這些符號規(guī)定了新的運算規(guī)則,按照新的運算規(guī)則進行運算。(1)公式法根據(jù)題目提供的新定義的公式,將數(shù)值帶入。(2)分步法對于一些復(fù)雜的定義新運算問題,需要分步完成,根據(jù)已知公式多次代入和計算。(3)歸納法根據(jù)已知條件歸納新運算規(guī)則。1.2.3平均值問題公務(wù)員考試中平均值問題一般只有兩種類型(幾何平均值因計算不便,故基本沒有涉及)。無論情景如何改變,同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型,就能輕松搞定平均值問題。1、題型簡介平均值有分為算術(shù)平均值、加權(quán)平均值、幾何平均值等等。其中以算術(shù)平均值最常見,在公務(wù)員考試中由于不允許使用計算器,所以幾何平均值的問題出現(xiàn)的概率十分的低,掌握各種平均值解法就能很容易的解決問題。2.核心知識(1)算術(shù)平均值所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得的商,用公式表示:M=(2)加權(quán)平均值如果在N個數(shù)中,分別出現(xiàn)了那么,或叫做的加權(quán)平均值。1.2.4不定方程問題公務(wù)員考試中不定方程應(yīng)用題一般只有三種類型。解答不定方程時,一定要找出題中明顯或隱含的限制條件,從而利用數(shù)的奇偶性、數(shù)的質(zhì)合性、數(shù)的整除特性、尾數(shù)法、特殊值法、代入排除法等技巧去解,理清解題思路,掌握解題方法,就能輕松搞定不定方程問題。1、題型簡介未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的方程(組),叫做不定方程(組)。通常只討論它的整數(shù)解或正整數(shù)解。在各類公務(wù)員考試中,最常出現(xiàn)的是二元一次方程,其通用形式為ax+by=c,其中a、b、c為已知整數(shù),x、y為所求自然數(shù)。在解不定方程問題時,我們需要利用整數(shù)的奇偶性、自然數(shù)的質(zhì)合性、數(shù)的整除特性、尾數(shù)法、特殊值法、代入排除法等多種數(shù)學(xué)知識來得到答案。2、核心知識形如,的方程叫做不定方程,其中前兩個方程又叫做一次不定方程。這些方程的解是不確定的,我們通常研究:a.不定方程是否有解?b.不定方程有多少個解?c.求不定方程的整數(shù)解或正整數(shù)解。(1)二元一次不定方程對于二元一次不定方程問題,我們有以下兩個定理:定理1:二元一次不定方程,A.若其中,則原方程無整數(shù)解;B.若,則原方程有整數(shù)解;C.若,則可以在方程兩邊同時除以,從而使原方程的一次項系數(shù)互質(zhì),從而轉(zhuǎn)化為B的情形。如:方程2x+4y=5沒有整數(shù)解;2x+3y=5有整數(shù)解。定理2:若不定方程有整數(shù)解,則方程有整數(shù)解,此解稱為特解。方程的所有解(即通解)為(k為整數(shù))。(2)多元一次不定方程(組)多元一次不定方程(組)可轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求解。例:消去x得y+2z=11 的通解為,k為整數(shù)。所以x=10yz=4k,當(dāng)k=0時,x最大,此時y=1,z=5。(3)其他不定方程3、核心知識使用詳解解不定方程問題常用的解法:(1)代數(shù)恒等變形:如因式分解、配方、換元等; (2)不等式估算法:利用不等式等方法,確定出方程中某些變量的范圍,進而求解; (3)同余法:對等式兩邊取特殊的模(如奇偶分析),縮小變量的范圍或性質(zhì),得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解; (4)構(gòu)造法:構(gòu)造出符合要求的特解,或構(gòu)造一個求解的遞推式,證明方程有無窮多解; (5)無窮遞推法。(6)特殊值法:已知不定方程(組),在求解含有未知數(shù)的等式的值時,在該等式是定值的情況下,可以采用特殊值法,且可以設(shè)為特殊值的未知數(shù)的個數(shù)=未知數(shù)的總個數(shù)-方程的個數(shù)。1.2.5不等式問題不等式是用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子,公務(wù)員考試中不等式問題一般只有兩種類型,掌握這兩個方面,就輕松掌握不等式問題。1、題型簡介不等式是用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子,在公務(wù)員考試中,對不等式的考查主要有兩個方面:(1)由不等式確定未知量取值范圍,(2)均值不等式。2.核心知識均值不等式:任意n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)總是不小于其幾何平均數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立。公務(wù)員考試中,多考查兩個數(shù)或三個數(shù)的均值不等式。(1) 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。(2) 當(dāng)且僅當(dāng)=0時等號成立。1.2.6算式等式問題公務(wù)員考試中的算式等式問題,主要是指由已知等式(關(guān)系式)求取相關(guān)的特定關(guān)系式的值。這類型的題目的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題干中的關(guān)系式,然后按照核心公式拆解,從而得到解題需要的關(guān)系式,這樣就輕松搞定算式等式問題。1、題型簡介公務(wù)員考試中的算式等式問題,主要是指由已知等式(關(guān)系式)求取相關(guān)的特定關(guān)系式的值。這類型的題目的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題干中的關(guān)系式,然后按照核心公式拆解,從而得到解題需要的關(guān)系式。2、核心知識(1)完全平方和(差)公式:變形:;(2)立方和(差)公式:(3)拋物線的對稱軸為(4)已知f(a+x)=f(b-x),則f(x)的對稱軸為:1.2.7最值問題在近幾年的公務(wù)員考試中,最值問題主要考查的是最大值和最小值,通常只有不等式法、求導(dǎo)法、二次函數(shù)法三種方法,其中以不等式法為主。只要掌握其規(guī)律及其解題技巧,便能輕松搞定該類問題(不等式法和求導(dǎo)法重點掌握)。1、題型簡介最值問題一般為題目中出現(xiàn)“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字樣,通常采用不等式法、求導(dǎo)法等求最大值,最小值。2、核心知識(1)不等式法正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均數(shù),即:,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立;(,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立);(,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)。(2)求導(dǎo)法對于未知數(shù)的指數(shù)在二次以上的函數(shù)經(jīng)常使用求導(dǎo)法求最值:當(dāng)時,求得的x值代人原式可以得到y(tǒng)的最值。常見的是對二次方函數(shù)和三次方函數(shù)求導(dǎo)求最值,即,(3)二次函數(shù)法(了解)二次函數(shù):當(dāng)時,為最小值;當(dāng)時,為最大值。1.2.8數(shù)列問題公務(wù)員考試中,通常情況下考察數(shù)列問題只有兩種形式:(1)求數(shù)列的第n項,以求等差數(shù)列的第n項為主;(2)求數(shù)列和,分式數(shù)列求和以裂項相消的題型為主。無論考察哪種,只要牢牢掌握其公式及其解題技巧,就能輕松搞定數(shù)列問題。1、題型簡介按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項,排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的首項。如果一個數(shù)列的第n項與其項數(shù)n之間的關(guān)系可用式子來表示,這個式子就稱為該數(shù)列的通項。在公務(wù)員考試中會以求數(shù)列第N項,數(shù)列求和這兩種考察較多。2、核心知識(1) 求第N項(2)數(shù)列求和A單一數(shù)列求和B多個數(shù)列求和:分組求和法(重要):將原數(shù)列拆分成若干個基本數(shù)列,利用基本數(shù)列求和公式進行求和。錯位相減法:對于滿足的數(shù)列,其中是等差數(shù)列,是公比q1的等比數(shù)列,可以采用錯位相減法,即:的前N項和為,的前n項和為,求前n項和,通常在和式的兩邊都乘以該等比數(shù)列的公比q,然后再將得到的新和式與原和式相減,轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。倒敘相加法:如果一個數(shù)列,與首末項等距的兩項之和滿足一定的規(guī)律,則可以將正反兩種順序的原數(shù)列對應(yīng)項相加,同時借助于基本數(shù)列求和公式進行求解。3.核心知識使用詳解公式推理:(1)1+2+3+4+5+n=;(2)1+3+5+7+(2n-1)=;(3)+=;(4)+=;(5)+=;(6)+=;(7)+=。1.2.9速算與技巧在公務(wù)員考試中,計算能力是數(shù)量關(guān)系部分的基本能力,幾乎所有題目最后都會轉(zhuǎn)化成對計算規(guī)律的考查。這一節(jié),將向大家詳細(xì)介紹計算的規(guī)律及技巧,一般來說,速算的方法只有五種,只要掌握這五種方法,就可以讓你輕松掌握計算問題。1、題型簡介速算與技巧,它不僅考查考生的計算水平,更多考查的是考生對計算方法的掌握和對計算技巧的運用能力,是數(shù)量關(guān)系部分的基礎(chǔ),是準(zhǔn)確、快速解決具體問題的方法和手段。2.核心知識(1)湊整法湊整法:是根據(jù)數(shù)的特點,借助于數(shù)的組合、分解以及四則運算等規(guī)律,將幾個數(shù)字湊成整十、整百、整千、整萬的數(shù),也可以把較大的數(shù)字估算為與其相近的整數(shù),從而達(dá)到簡化計算的目的,是最常用、最簡便的方法。常用公式:加法交換律:a+b=b+a;加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c);乘法交換律:ab=ba;乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc);乘法分配律:(a+b)c=ac+bc。(2)因式分解法因式分解法是把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個因式乘積的形式。常用的方法有提取公因式法、公式法、分組分解法等。A提取公因式法:通過提取相同的因數(shù)或因式進行“湊整”的方法,如am+bm+cm=m(a+b+c),這是因式分解中最基本的方法。該方法一般以求取公約數(shù)或公因式作為基礎(chǔ)。B公式法:是利用乘法公式來分解因式的方法。公式法在后面的消去法、換元法、算式等式等部分中應(yīng)用也非常廣泛。常用的乘法公式有:平方差公式:;立方和(差)公式:;完全平方和(差)公式:;完全立方和(差)公式:;冪的乘方法則:;同底數(shù)冪的乘法:;同底數(shù)冪的除法:;積的乘方:。C分組分解法:將多項式中的某兩項或多項作為一組,使該組內(nèi)的幾項適合于利用提取公因式法或公式法等進行因式分解,或者是將該多項式轉(zhuǎn)化為已知條件的某種形式。D拆補法:在保證多項式數(shù)值不變的基礎(chǔ)上,將式子中的某一項等值拆分成幾項、或者同時加減上相等的兩項或幾項,使之適合于利用提取公因式法、公式法或分組分解法等進行分解,或者是將多項式中的各項轉(zhuǎn)化為已知條件的某種形式。(3)消去法“消去法”思想來源于解方程組時的消元思想,它是通過消去一個復(fù)雜式子中的重復(fù)部分來達(dá)到簡化計算的目的。對于加減運算中項數(shù)較多的式子,優(yōu)先考慮使用該方法。一般在乘除運算較多和分式較多的式子中要先利用“約分”來消去相同的項。(4)換元法換元法是把式子的某個部分看成一個整體,并用一個新的變量去替換它,從而使式子簡化的方法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識體系中去研究。在數(shù)學(xué)運算中,一般采用的是局部換元法,是指在已知或未知的代數(shù)式中,用一個字母代替重復(fù)出現(xiàn)的復(fù)雜式子,進而把復(fù)雜的計算和推證簡化。(5)首尾數(shù)法首尾數(shù)法:是根據(jù)原式的運算將首位或者末位數(shù)字(一位或者兩位)運算后得到的結(jié)果來確定答案的。通常在所給題干的數(shù)值比較大、計算復(fù)雜,而四個選項的首位數(shù)字或末位數(shù)字不相同的情況下使用,可以達(dá)到“秒殺”的效果。大部分的計算題都可以用首數(shù)法或者尾數(shù)法,其中尾數(shù)法在數(shù)學(xué)運算和數(shù)字推理中應(yīng)用的尤其普遍。1.3行程問題 行程問題是研究物體運動的,它研究的是物體速度、時間、行程三者之間的關(guān)系。此類問題是公務(wù)員考試中常見的題型之一。行程問題一般只有四種類型,考生只需牢牢掌握這四種類型,便可輕松搞定這類問題。1.3.1初等行程問題行程問題只有三個變量,每個變量有N種變化,但萬變不離其宗。只要把握這三個變量,就能輕松搞定初等行程問題。1、題型簡介初等行程問題就是研究一個物體的運動,即研究單個物體的速度、時間、路程三者之間的關(guān)系。2、核心知識路程=速度時間;路程時間=速度;路程速度=時間。3、核心知識使用詳解雖然是考核心公式的應(yīng)用,但公務(wù)員考題中基本不是直接代入核心公式就可以解題,出題者往往都會在各個變量上面設(shè)“彎道”。1、路程“彎道”:單向直路、往返路、上坡路、下坡路、環(huán)型路、“回頭”路、速度不同的一段路、隊伍(火車)過橋(隧道、電線桿)、動物爬樹(井)、 “樹”路2、時間“彎道”:具體時刻、時間提前、時間延后、休息時間3、速度“彎道”:平均速度、速度變大、速度變小1.3.2相遇問題在公務(wù)員考試中,相遇問題雖然是考核心公式的應(yīng)用,但基本不是直接代入核心公式就可以解題,但總的來說其只有以下兩種情況,每種情況有2種變化。同學(xué)只要牢牢把握這兩種情況,就能輕松搞定相遇問題。1、題型簡介相遇問題是行程問題的典型應(yīng)用題,研究“相向運動”的問題,反映的是兩個量或者多個物體所走的路程、速度和時間的關(guān)系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等變量,求相遇時間或者已知時間,速度,求路程等這類題型。2、核心知識速度和相遇時間=相遇路程;相遇路程相遇時間=速度和;相遇路程速度和=相遇時間。(1)直線相遇問題當(dāng)相遇問題發(fā)生在直線路程上時,甲的路程+乙的路程=總路程;(2)環(huán)線相遇問題當(dāng)相遇問題發(fā)生在環(huán)形路程上時,甲的路程+乙的路程=環(huán)形周長。3.核心知識使用詳解解答相遇問題時,一般需要借助于列方程法進行求解。對于復(fù)雜的相遇問題,正確畫出行程圖、找準(zhǔn)突破口往往是解題的關(guān)鍵。一般而言,單個量的往返問題,一般以時間關(guān)系為突破口;兩個量的往返問題,一般以路程為突破口。1.3.3追及問題公務(wù)員考試中,追及問題雖然是考核心公式的應(yīng)用,但基本不是直接代入核心公式就可以解題,但總的來說追及問題只有以下兩種情況,每種情況有2種變化。同學(xué)只要牢牢把握這兩種情況,就能輕松搞定追及問題。1、題型簡介追及問題是行程問題的??嫉湫蛻?yīng)用題,是研究“同向運動”的問題,追及問題反映的是兩個量或者多個量所走的路程、速度和時間的關(guān)系。核心就是速度差。2、核心知識追及時間=路程差速度差;路程差=追及時間速度差;速度差=路程差追擊時間。小紅和小明的家相距300米,兩人同時從家里出發(fā)去學(xué)校,小明在小紅后面,小明每分鐘走160米,小紅每分鐘走100米,問小明幾分鐘追上小紅?追及時間=路程差速度差=300 (160-100)=5分鐘3、核心知識使用詳解當(dāng)追及問題發(fā)生在直線路程上時:路程差=追者路程一被追者路程=速度差追及時間;當(dāng)發(fā)生在環(huán)形路程上時:快的路程-慢的路程=曲線的周長;1.3.4行船問題在公務(wù)員的考試中,行船問題的考查點只有以下兩種類型,無論情景如何改變,同學(xué)們只要記住由于流水具有一定的速度,行船問題就是弄懂物體在有相對速度情況下的路程、時間和速度的關(guān)系,一般采用列方程法求解。這樣就能輕松搞定行船問題。1、題型簡介行船問題是行程問題的一種,有基本行船問題和變形行船問題(扶梯問題)兩種類型。在公務(wù)員考試中,解決行船問題的關(guān)鍵是確定“船”的運動速度。一般情況下可采用列方程法求解。2、核心知識(1)基本行船問題順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速由上述兩個公式進行相加相減得以下兩公式:船速=(順?biāo)俣?逆水速度)2水速=(順?biāo)俣?逆水速度)2(2)變形行船問題扶梯問題A.沿電梯運動能看到的電梯級數(shù)=人實際走過的級數(shù)+電梯本身移動的級數(shù);由于人實際走過的時間與電梯本身移動的時間相等,那么,上式變形為:能看到的電梯級數(shù) = 順行速度 沿電梯運動方向運動所需時間 = (人速+電梯速度) 沿電梯運動方向運動所需時間;B.逆電梯運動能看到的電梯級數(shù)=人實際走過的級數(shù)-電梯本身走過的級數(shù);由于人實際走過的時間與電梯本身移動的時間相等,那么,上式變形為:能看到的電梯級數(shù) = 逆行速度 逆電梯運動方向運動所需時間 =(人速-電梯速度) 逆電梯運動方向運動所需時間。1.4排列組合問題1.4.1常規(guī)排列組合問題排列組合問題根據(jù)是否與順序有關(guān),只有排列和組合兩種類型;根據(jù)事情的完成步驟,只有分類和分步兩種類型;根據(jù)解題方法,只有基礎(chǔ)公式型、分類討論型、分步計算型、捆綁插空型、錯位排列型、重復(fù)剔除型、多人傳球型、等價轉(zhuǎn)化型八種類型。無論排列組合的元素怎么變化,同學(xué)只要牢牢把握這幾種主要類型和解題方法,就能輕松搞定排列組合問題。1、題型簡介排列組合問題在近年來各類公務(wù)員考試中出現(xiàn)較多。下面給出了解決排列組合問題的幾個核心知識點,從真題來看,基礎(chǔ)公式型、分類討論型、分步計算型、重復(fù)剔除型、等價轉(zhuǎn)化型這五種題型考查較多,同學(xué)們可以重點學(xué)習(xí)。2、核心知識(1)基礎(chǔ)公式法加法原理:一件事情,有n類方法可以完成,并且每類方法又分別存在種不同方法,則完成這件事情共有種方法。乘法原理:一件事情,需要n個步驟完成,并且每步又分別存在種不同方法,則完成這件事情共有種方法。排列基礎(chǔ)公式:從n個不同元素中,任取m(mn)個元素組成一列(與順序有關(guān)),有種方法。組合基礎(chǔ)公式:從n個不同元素中,任取m(mn)個元素組成一組(與順序無關(guān)),有(其中m!=123m)種方法。(2)分類討論法根據(jù)題意分成若干類分別計算。(3)分步計算法根據(jù)題意,分步計算。(4)捆綁插空法相鄰問題捆綁法:先將相鄰元素全排列,然后視為一個整體與剩余元素全排列。不相鄰問題插空法:先將剩余元素全排列,然后將不相鄰元素有序插入所成間隙中。(5)錯位排列法錯位排列問題:有n封信和n個信封,則每封信都不裝在自己的信封里,可能的方法的種數(shù)計算Dn,則D10,D21,D32,D49,D544,D6=265(請牢牢記住前六個數(shù))。(6)重復(fù)剔除法A平均分組問題將NM個人平均分成N組,總共有種分配方法。B多人排成圈問題N人排成一圈,有種排法。C物品串成圈問題N個珍珠串成一條項鏈,有種串法。(7)多人傳球法M個人傳N次球,記,則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù),與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。(8)等量轉(zhuǎn)換法1.4.2比賽問題公務(wù)員考試中,根據(jù)比賽規(guī)則,比賽問題主要只有兩類,扎實掌握每類比賽對應(yīng)的解題方法,就能輕松搞定比賽問題。1、題型簡介根據(jù)比賽規(guī)則,比賽問題主要分為淘汰賽和循環(huán)賽,每類比賽都有對應(yīng)的解題方法。其中N為參加比賽的總?cè)藬?shù)或總的隊數(shù)。一般都給你些已知條件,求比賽場次、比賽分?jǐn)?shù)、比賽人數(shù)等。2、核心知識(1)淘汰賽A、所需場次僅需決出冠亞軍比賽場次 = N-lB、需決出第1、2、3、4名比賽場次 = N(2)循環(huán)賽A、單循環(huán)(任意兩個隊打一場比賽,和順序無關(guān),所以是組合問題)比賽場次 =B、雙循環(huán)(任意兩個隊打兩場比賽,和順序有關(guān),所以是排列問題)比賽場次 =1.5 幾何問題幾何問題也是數(shù)學(xué)運算的??碱}型,一般涉及平面圖形的長度、角度、周長、面積和立體圖形的表面積、體積等。幾何問題一般只有兩種類型,考生只需牢牢掌握這兩種類型,便可輕松搞定這類問題。1.5.1平面幾何問題公務(wù)員考試中,平面幾何問題一般涉及平面范圍內(nèi)的點、線、角、周長、面積等之間的相互關(guān)系。扎實掌握基本公式、圖形性質(zhì)及幾何原理,理解以下三種類型的解法,就能輕松搞定平面幾何問題。1、題型簡介平面幾何問題一般涉及平面范圍內(nèi)的點、線、角、周長、面積等之間的相互關(guān)系。一般來說,對于規(guī)則圖形的這些量都有現(xiàn)成的公式及常見的定理。因此,扎實掌握基本公式、圖形性質(zhì)及幾何原理是同學(xué)順利解決規(guī)則圖形幾何問題的關(guān)鍵。通常情況下,題目都給你已知量,根據(jù)公式定理,求相關(guān)周長、面積或變長等。2、核心知識(1).與線、角相關(guān)問題A三角形的邊與角的定理:a.三角形任意兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;b.較大的角對應(yīng)的邊也較大,反之亦然;c.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;d.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。B直角三角形的有關(guān)定理:勾股定理:a2+b2=c2;sinAa/c;cosAb/c;tanAa/b;cotAb/a。C.多邊形的邊、角的定理:a. n邊形的內(nèi)角的和等于(n2)180;b.任意多邊形的外角和等于360。c.平行線中的比例關(guān)系(2)周長與面積相關(guān)問題平面圖形的周長和面積公式:a.相似的平面圖形的面積之比等于對應(yīng)邊長度之比的平方;b.周長相等的平面圖形中,越接近圓(邊數(shù)越多)的圖形,面積越大;c.面積相等的平面圖形中,越接近圓(邊數(shù)越多)的圖形,周長越小;d.邊數(shù)和周長相等的平面圖形中,正多邊形的面積最大;3、核心知識使用詳解平面幾何問題的解決方法主要有三種,分別為公式法、割補法和圖示法。A.公式法要求同學(xué)必須扎實地掌握公式。B.割補法可使不規(guī)則圖形的解題過程大為簡化。當(dāng)遇到不規(guī)則圖形,可對圖形進行割補,使之成為規(guī)則圖形后,再進行計算。C.圖示法主要針對沒有給出幾何圖形的應(yīng)用題,畫出圖形進行分析,直觀明了。1.5.2立體幾何問題公務(wù)員考試中,立體幾何問題一般涉及空間范圍內(nèi)的點、線、角、周長、面積等之間的相互關(guān)系。扎實掌握其基本公式、幾何原理及這些類型的解法,就能輕松搞定平面幾何問題。1.題型簡介立體幾何問題一般涉及空間范圍內(nèi)的點、線、角、周長、面積等之間的相互關(guān)系。主要題型為已知邊、角之間的數(shù)量關(guān)系,求邊、表面積或體積。2.核心知識(1)與線、角相關(guān)問題(立體)三垂線定理在上圖中,PO垂直于平面ABCD,OEAB,則PEAB。(2)表面積與體積相關(guān)問題立體圖形的表面積和體積公式:表面積相等的立體圖形,越接近球體(面數(shù)越多),體積越大;體積相等的立體圖形,越接近球體(面數(shù)越多),表面積越??;3.核心知識使用詳解平面幾何問題的解決方法主要有三種,分別為公式法、判斷法和轉(zhuǎn)化法。其中轉(zhuǎn)化法,則是將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,再靈活利用平面幾何問題的三種解決方法進行求解。1.6 特殊情境問題特殊情景問題是公務(wù)員考試中較為??嫉囊活悊栴}。這些問題涉及的數(shù)學(xué)知識或者基本原理難度都不是很大,但考生往往被多變的情景搞暈了。因此,考生在備考過程中,要熟悉各類情景問題的考法,方可胸有成竹,處變不驚。特殊情景問題一般八種類型,考生只需牢牢掌握這八種類型,便可輕松搞定這類問題。1.6.1雞兔同籠問題在公務(wù)員考試中,雞兔同籠問題是已知各部分的平均值和總量,求總體中各部分的個數(shù),其實質(zhì)是加權(quán)平均問題,這類問題相同的情景一般只有以下幾類,主要掌握假設(shè)法和列方程法,這樣就能輕松搞定雞兔同籠問題。1、題型簡介雞兔同籠問題是已知各部分的平均值和總量,求總體中各部分的個數(shù),其實質(zhì)是加權(quán)平均問題。一般情況下,這類問題強烈推薦各位考生使用假設(shè)法和“列方程”的方法。2、核心知識核心公式:代表分?jǐn)?shù)(比如“總頭數(shù)”);代表加權(quán)分?jǐn)?shù)(比如“總腳數(shù)”);代表數(shù)值1(比如“雞數(shù)”);代表數(shù)值2(比如“兔數(shù)”);代表權(quán)重1(比如“雞腳數(shù)”);代表權(quán)重2(比如“兔腳數(shù)”)。1.6.2牛兒吃草問題牛兒吃草問題根據(jù)“牛”和“草地”的不同,只有分為標(biāo)準(zhǔn)型牛兒吃草問題、牛羊同吃草問題、M頭牛吃W畝草問題三種類型。無論“牛”的種類和數(shù)目怎么變化,最主要還是采用方程法列出方程,然后求解。1、題型簡介牛兒吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場問題,是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出的。典型牛兒吃草問題通常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片草,這片草地既有原有的草,又有每天新長出的草,假設(shè)草的變化速度及原有存量不變,求若干頭牛吃這片地的草可以吃多少天。掌握牛兒吃草問題,可以幫助同學(xué)們解決原有存量的負(fù)載量“如原有草量可供幾頭牛吃多少天”問題。2、核心知識y=(N-x)Ty代表原有存量(比如“原有草量”);N代表促使原有存量減少的消耗變量(比如“牛數(shù)”);x代表存量的自然增長速度(比如“草長速度”,也就是每天生長的草量為x頭牛一天吃的草量),如果草自然減少,“-”變?yōu)椤?”;T代表存量完全消失所耗用的時間。只要是標(biāo)準(zhǔn)型牛兒吃草問題、牛羊同吃草問題、M頭牛吃W畝草問題三種類型,便可套用以上公式。3、核心知識使用詳解(1)有牛有羊時,需要將牛全部轉(zhuǎn)換為羊,或者將羊全部轉(zhuǎn)換為牛,再代入公式計算;(2)出現(xiàn)“M頭牛吃W畝草”時,N用“M/W”代入,此時N代表單位面積上牛的數(shù)量。1.6.3日期星期問題在公務(wù)員考試中,日期問題主要考查的題型為根據(jù)已知條件求日期或星期。這類題型的解題方法一般只有:分段法、余數(shù)法、綜合推斷法;掌握年份、日期、星期的相關(guān)知識,你就可以輕松搞定日期星期問題。1、題型簡介日期問題主要是根據(jù)已知的條件求星期、日期問題。一般情況下,這類型題目主要采用分段法、余數(shù)法、綜合推斷法解題。2、核心知識(1)平年和閏年平年2月有28天,全年365天;閏年2月有29天,全年366天。(2)閏年的判定四年一閏,百年不閏,四百年再閏,三千二百年再不閏(1)能被4整除但不能被100整除(如2008年是閏年,2009年就不是)(2)能被400整除而不能被3200整除的是閏年(如1900年是平年,2000年是閏年,3200年是平年)。(3)大月和小月大月:一、三、五、七、八、十、十二月,每月共31天;小月:四、六、九、十一月,每月共30天。(4)星期星期每七天一個循環(huán)(例如5日是星期二,那么12日也是星期二)。日期星期問題本質(zhì)上就是余數(shù)問題,比如星期幾就是除7后余
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