畢業(yè)論文概率論在保險(xiǎn)中的應(yīng)用.doc

概率論在保險(xiǎn)中的應(yīng)用概率論在保險(xiǎn)中的應(yīng)用 摘要摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)科學(xué)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行的演繹和 歸納的科學(xué).隨著社會(huì)的不斷發(fā)展,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)越來(lái)越重要.運(yùn)用抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷已成為現(xiàn) 代社會(huì)一種普遍適用并且強(qiáng)有力的思考方式.本文就概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法和思想,并就其在保險(xiǎn)中的應(yīng) 用進(jìn)行分析和討論,從中可以看出在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域和日常生活中以概率方法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想解決問(wèn)題的高效 性,簡(jiǎn)捷性和實(shí)用性 關(guān)鍵詞：概率論,保險(xiǎn),大數(shù)定律 一、概率統(tǒng)計(jì)與保險(xiǎn).1 1.概率論的研究對(duì)象 1 2.概率論的起源 1 3.概率論與保險(xiǎn)的關(guān)系 2 二、隨機(jī)變量及其分布與保險(xiǎn).2 三、數(shù)字特征與保險(xiǎn).2 四、大數(shù)法則與保險(xiǎn).3 1 切比雪夫大數(shù)法則 .3 2.貝努里大數(shù)法則 3 3.泊松大數(shù)法則 4 4.大數(shù)定律對(duì)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的作用 4 5.大數(shù)定律在保險(xiǎn)中的適用性 4 五、應(yīng)用概率進(jìn)行保險(xiǎn)計(jì)算.4 六、總結(jié).5 參考文獻(xiàn).5 山西大同大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 1 一、概率統(tǒng)計(jì)與保險(xiǎn) 1.概率論的研究對(duì)象 概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.隨機(jī)現(xiàn)象是相對(duì)于決定性現(xiàn)象而言的,在一定條件下必然 發(fā)生某一結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為決定性現(xiàn)象.例如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,純水加熱到 100時(shí)水必然會(huì)沸騰等.隨機(jī)現(xiàn) 象則是指在基本條件不變的情況下,一系列試驗(yàn)或觀察會(huì)得到不同結(jié)果的現(xiàn)象.每一次試驗(yàn)或觀察前,不能 肯定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果,呈現(xiàn)出偶然性.例如,擲一硬幣,可能出現(xiàn)正面或反面,在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈 泡,其壽命長(zhǎng)短參差不齊等等.隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)的每一可能結(jié)果稱(chēng)為 一個(gè)基本事件,一個(gè)或一組基本事件統(tǒng)稱(chēng)隨機(jī)事件,或簡(jiǎn)稱(chēng)事件.事件的概率則是衡量該事件發(fā)生的可能性 的量度.雖然在一次隨機(jī)試驗(yàn)中某個(gè)事件的發(fā)生是帶有偶然性的,但那些可在相同條件下大量重復(fù)的隨機(jī)試 驗(yàn)卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律.例如,連續(xù)多次擲一均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的頻率隨著投擲次數(shù)的增加逐 漸趨向于 12.又如,多次測(cè)量一物體的長(zhǎng)度,其測(cè)量結(jié)果的平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加,逐漸穩(wěn)定于一常 數(shù),并且諸測(cè)量值大都落在此常數(shù)的附近,其分布狀況呈現(xiàn)中間多,兩頭少及某程度的對(duì)稱(chēng)性.大數(shù)定律及中 心極限定理就是描述和論證這些規(guī)律的.在實(shí)際生活中,人們往往還需要研究某一特定隨機(jī)現(xiàn)象的演變情況 隨機(jī)過(guò)程.例如,微小粒子在液體中受周?chē)肿拥碾S機(jī)碰撞而形成不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（即布朗運(yùn)動(dòng)）,這就是隨 機(jī)過(guò)程.隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性、計(jì)算與隨機(jī)過(guò)程有關(guān)的某些事件的概率,特別是研究與隨機(jī)過(guò)程樣本軌道 (即過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn))有關(guān)的問(wèn)題,是現(xiàn)代概率論的主要課題.概率論與實(shí)際生活有著密切的聯(lián)系,它在自然 科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都有廣泛的應(yīng)用. 2.概率論的起源 概率論的起源與賭博問(wèn)題有關(guān).16 世紀(jì),意大利的學(xué)者開(kāi)始研究擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.17 世 紀(jì)中葉,法國(guó)數(shù)學(xué)家 B.帕斯卡、P.de 費(fèi)馬及荷蘭數(shù)學(xué)家 C.惠更斯基于排列組合方法,研究了一些較復(fù)雜的 賭博問(wèn)題,他們解決了分賭注問(wèn)題、賭徒輸光問(wèn)題等.隨著 18、19 世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展,人們注意到在某些生物、 物理和社會(huì)現(xiàn)象與機(jī)會(huì)游戲之間有某種相似性,從而由機(jī)會(huì)游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中；同時(shí) 這也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展.使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家 J.伯努利,他建 立了概率論中第一個(gè)極限定理,即伯努利大數(shù)定律,闡明了事件的頻率穩(wěn)定于它的概率.隨后 A.de 棣莫弗和 P.S.拉普拉斯 又導(dǎo)出了第二個(gè)基本極限定理（中心極限定理）的原始形式.拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作 的基礎(chǔ)上寫(xiě)出了分析的概率理論,明確給出了概率的古典定義,并在概率論中引入了更有力的分析工具,將 概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段.19 世紀(jì)末,俄國(guó)數(shù)學(xué)家 P.L.切比雪夫、A.A.馬爾可夫、A.M.李亞普諾夫等 人用分析方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式,科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變 量近似服從正態(tài)分布.20 世紀(jì)初受物理學(xué)的刺激,人們開(kāi)始研究隨機(jī)過(guò)程.這方面 A.N.柯?tīng)柲缏宸?、N.維 納、A.A.馬爾可夫、A.R 辛欽、P.萊維及 W.費(fèi)勒等人作了杰出的貢獻(xiàn). 山西大同大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 2 3.概率論與保險(xiǎn)的關(guān)系 概率則是研究風(fēng)險(xiǎn)的不確定性在大數(shù)中所呈現(xiàn)的規(guī)律性,而保險(xiǎn)學(xué)是利用風(fēng)險(xiǎn)的不確定性在大數(shù)中消 失來(lái)化解風(fēng)險(xiǎn)的,概率論的研究對(duì)象正是保險(xiǎn)學(xué)建立和發(fā)展的基礎(chǔ).由此可見(jiàn),保險(xiǎn)學(xué)和概率論是密不可分的, 概率論是保險(xiǎn)技術(shù)的數(shù)理基礎(chǔ). 二、隨機(jī)變量及其分布與保險(xiǎn) 隨機(jī)變量即用數(shù)量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.概率分布是描述隨機(jī)變量取值及其對(duì)應(yīng)概率的方式.在 保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)上,隨機(jī)變量及其分布指各種損失的數(shù)量及其損失可能性的大小. 例: :某單位有 5 輛汽車(chē)投保,發(fā)生事故的車(chē)輛數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)變量,可能取值是 0、1、2、3、4、5 六種 結(jié)果,根據(jù)保險(xiǎn)公司的統(tǒng)計(jì)資料,每種結(jié)果發(fā)生的概率為 發(fā)生事故車(chē)輛數(shù)01 2 345 對(duì)應(yīng)概率0.950.040.01000 以上表達(dá)方式即為車(chē)輛發(fā)生事故次數(shù)的概率分布.在風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)中,經(jīng)常采用理論概率分布.理論概率分 布是根據(jù)某些隨機(jī)現(xiàn)象的性質(zhì)和大量實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用數(shù)學(xué)方法抽象出來(lái)的率分布規(guī)律,它可用數(shù)學(xué)公式對(duì) 隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行精確的描述.保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)理論中遇到的隨機(jī)現(xiàn)象符合于一定形式的理論概率分布或與它近似吻 合,我們可以利用數(shù)字特征來(lái)確定理論概率分布,并用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.例如：確定保費(fèi)、賠償金、保險(xiǎn) 公司盈利的多少及所擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的大小等.在保險(xiǎn)理論中常用到的理論概率分布有二項(xiàng)分布和正態(tài)分布.二項(xiàng)分 布常用來(lái)計(jì)算在 n 個(gè)投保個(gè)體中,正好有 k 個(gè)需要賠償?shù)母怕?正態(tài)分布常用于當(dāng)信息量不足時(shí)的近似估計(jì),還 可對(duì)二項(xiàng)分布進(jìn)行近似計(jì)算,更重要的是正態(tài)分布是大數(shù)規(guī)律的一般表現(xiàn)形態(tài),是大量社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的典型 分布.無(wú)論保險(xiǎn)業(yè)務(wù)經(jīng)營(yíng),還是保險(xiǎn)理論探討都離不開(kāi)正態(tài)分布. 三、數(shù)字特征與保險(xiǎn) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征可以總體上掌握隨機(jī)變量某一側(cè)面的性質(zhì),概率論中最常用的數(shù)字特征有兩個(gè):一 個(gè)是數(shù)學(xué)期望,一個(gè)是方差.期望表征隨機(jī)變量的取值水平即平均數(shù),是各事件發(fā)生的結(jié)果與其發(fā)生可能性 乘積之和.在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中,常用求數(shù)學(xué)期望的方法確定損失期望值,是確定純費(fèi)率重要的重要依據(jù).對(duì)保險(xiǎn)人 來(lái)說(shuō),知道了損失期望值,也就知道了預(yù)期損失總額,而保險(xiǎn)費(fèi)的收取,恰是以補(bǔ)償預(yù)期損失為基礎(chǔ)的.對(duì)被 保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō),他可將預(yù)期收入與保費(fèi)相比較,然后作出是否購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的決定.方差是描述隨機(jī)變量取值離散 程度(相對(duì)數(shù)學(xué)期望)的一個(gè)數(shù)量指標(biāo).在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中常用方差來(lái)衡量企業(yè)所擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的大小.方差越小,則期 望損失越穩(wěn)定,企業(yè)對(duì)預(yù)期損失可有所準(zhǔn)備,減少所擔(dān)風(fēng)險(xiǎn).反之,如果方差大,則期望損失穩(wěn)定性差,企業(yè)可 能會(huì)遇到難以預(yù)測(cè)的損失,所擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)極大. 山西大同大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 四、大數(shù)法則與保險(xiǎn) 大數(shù)法則是用來(lái)說(shuō)明大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性的相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng) 稱(chēng).在保險(xiǎn)中常用到的有切比雪夫大數(shù)法則、貝努里大數(shù)法則、泊松大數(shù)法則. 1 切比雪夫大數(shù)法則 切比雪夫大數(shù)法則定理：設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列, 且服有: n XXXX 321 , .1 1 lim 1 n i i n X n P 切比雪夫大數(shù)法則其意義是對(duì)同一隨機(jī)變量進(jìn)行 n 次觀測(cè),所得觀察值的平均值將比較密集地聚集在 它的期望值附近.在保險(xiǎn)中其意義是:保險(xiǎn)人收取的保險(xiǎn)總額與賠償金總額在數(shù)量上應(yīng)是相等的,從理論上 闡明了保險(xiǎn)公司可通過(guò)合理收取保費(fèi)、合理賠償來(lái)減少和化解風(fēng)險(xiǎn).該極限定理運(yùn)用到保險(xiǎn)行業(yè), 相當(dāng)于 有個(gè)投保人或被保險(xiǎn)人, 同時(shí)投保了個(gè)相互獨(dú)立的保險(xiǎn)標(biāo)的, 用表示每個(gè)標(biāo)的實(shí)際發(fā)生損失的大小, n X 且所有的期望值相等, 即其中為理論上每個(gè) n XXX, 21021 n EXEXEX 投保人應(yīng)繳納的純保費(fèi),為平均每個(gè)被保險(xiǎn)人實(shí)際獲得的賠款金額.當(dāng)投保人數(shù)足夠多, n i i X n 1 1 時(shí), 實(shí)際賠款金額等于理論上的純保費(fèi).n 2.貝努里大數(shù)法則 貝努利大數(shù)定律：設(shè)是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù),p 是事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, n 則對(duì)任意給定的正數(shù),有1 lim n n pp n 此定理表明當(dāng) n 很大時(shí),n 重貝努利試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的頻率幾乎等于事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概 率,這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫(huà)了頻率的穩(wěn)定性,因此,在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用事 件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率.在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中,可利用此定理依據(jù)統(tǒng)計(jì)資料(或經(jīng)驗(yàn))來(lái)估計(jì)損失概率.例 如,估計(jì)事故率、死亡率等. 證：人的死亡率作一次觀察時(shí)是定值,作多次觀察時(shí)是隨機(jī)變量,而且, n n , n B n p 因此: , , n Enp n Dnpq , ./ n Enp/ n Dnpq n 在車(chē)比雪夫不等式中,取,則 a = p,/ n n 2 /pq n 于是對(duì)任意給定的正數(shù), 有 2 111 n pq ppn nn 山西大同大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 因而 lim1 n n pp n 3.泊松大數(shù)法則 泊松大數(shù)定律：設(shè),是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 1 2 n 1 nn PP (其中),則服從大數(shù)定律.0 nn Pq1 nn Pq n 泊松大數(shù)法則的意義是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí),其平均概率與觀察結(jié)果所得的比率非常接近.在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中,該 法則說(shuō)明,盡管各個(gè)相互獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)單位的損失概率可能各不相同,但只要投保單位足夠多保險(xiǎn)公司可在平 均意義上求出相同的損失概率.即整體上的損失概率可由眾多類(lèi)別的損失概率平均得到.應(yīng)用此結(jié)論,可在 保證整體收支平衡的條件下,適當(dāng)調(diào)整各分類(lèi)標(biāo)的費(fèi)率,使各類(lèi)費(fèi)率更加科學(xué). 4.大數(shù)定律對(duì)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的作用 保險(xiǎn)公司的作用在于分?jǐn)傦L(fēng)險(xiǎn),它通過(guò)集中不同風(fēng)險(xiǎn)的方式來(lái)分?jǐn)偯恳粋€(gè)偶然的風(fēng)險(xiǎn).大數(shù)法則使人們 明白將純粹風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移到保險(xiǎn)公司后,雖然損失依然存在,但不確定性可以因此消除. 5.大數(shù)定律在保險(xiǎn)中的適用性 大數(shù)法則不僅適用于保險(xiǎn)標(biāo)的數(shù)量方面,也適用于時(shí)間方面,通過(guò)再保險(xiǎn)還適用于保險(xiǎn)人數(shù)量足夠大時(shí) 的情況.例如,機(jī)動(dòng)車(chē)輛事故保險(xiǎn)中,共有一萬(wàn)輛車(chē)投保,其中一小部分將發(fā)生事故,可在“數(shù)量大數(shù)”中求 出損失平均值,也可經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察,由大數(shù)法則估計(jì)一定時(shí)期內(nèi)損失的近似值.又如,某公司承保衛(wèi)星發(fā) 射業(yè)務(wù),保險(xiǎn)金額巨大,責(zé)任集中,標(biāo)的僅一個(gè),不能認(rèn)為是大數(shù),無(wú)法通過(guò)標(biāo)的分?jǐn)傦L(fēng)險(xiǎn),但可通過(guò)再保險(xiǎn), 將責(zé)任分?jǐn)偟蕉鄠€(gè)保險(xiǎn)公司,應(yīng)用大數(shù) 法則,則損失的不確定性降低,風(fēng)險(xiǎn)減少.這說(shuō)明,再保險(xiǎn)使大數(shù)法則的作用得到了充分發(fā)揮,有了新的意義. 五、應(yīng)用概率進(jìn)行保險(xiǎn)計(jì)算 例：某保險(xiǎn)公司有 m 人參加人身意外傷害保險(xiǎn),每人每年交保費(fèi) a 元,如發(fā)生意外事故,可得到 b 元的 賠償.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,已知意外事故率為 p,試分析保險(xiǎn)公司盈利情況. 解：根據(jù)隨機(jī)變量分布理論,投保人發(fā)生意外事故的人數(shù) X 符合二項(xiàng)分布.則 m 人中正好有 k 個(gè)人發(fā)生意 外事故的概率為: ()(1) kkm k m p xkC pp 根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法,保險(xiǎn)公司在每個(gè)被保險(xiǎn)人身上的期望損失為: 0(1)pbpbp 保險(xiǎn)公司的總期望損失是一定的,即, 方差是,由此看出,當(dāng)賠償金 b 越大時(shí),方差越mbp 22 (1)m b pp 大,保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)也就越大. 要使保險(xiǎn)公司盈利,應(yīng)使保費(fèi)總收入 ma 大于期望損失 mbp,要使保險(xiǎn)公司盈利超過(guò) c 元, 應(yīng)使： mambpc 山西大同大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 即期望損失： mbpmac 于是要求賠償金： mac b mp 或投保人發(fā)生意外的人數(shù)： mac k b 其可能性是： 0 ()(1) k nnm n m n p xkC pp 六、總結(jié) 其實(shí),我們?nèi)粘＝?jīng)濟(jì)生活中到處都有概率的影子,小到天氣預(yù)報(bào),大到火箭上天,都離不開(kāi)概率論.社會(huì) 經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象,它不可能像物理現(xiàn)象、化學(xué)現(xiàn)象那樣用實(shí)驗(yàn)的方法,因?yàn)檫@種實(shí)驗(yàn)條件,可以排除一切外在原因 的影響,而單純地表示被研究的因素的作用.而社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象則是眾多人們極其復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果,而 且各種因素的影響又是相互交織著的.而每一個(gè)別事物現(xiàn)象對(duì)被研究的因素的影響,可能又被另一些因素的 影響所掩蓋.因此,只有對(duì)事實(shí)總體加以概括的說(shuō)明,才能有助于揭示被研究因素的這種影響,才能得出被研 究的社會(huì)經(jīng)濟(jì)所具的規(guī)律性.應(yīng)用概率方法,可以用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差等特征數(shù)用少數(shù) 幾個(gè)數(shù)字表達(dá)出總體的整個(gè)情況,如果要比較兩個(gè)或多個(gè)事物的差異及其程度時(shí),可以通過(guò)上述特征數(shù)的差 異可信程度來(lái)說(shuō)明,這種方法還可以分析影響事物變化的程度,計(jì)算出各個(gè)因素所產(chǎn)生的影響的大小,對(duì)問(wèn) 題作出論斷.保險(xiǎn)業(yè)、金融業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)便是與概率論休戚相關(guān).概率是投資決策中分散風(fēng)險(xiǎn)的一種策略. 參考文獻(xiàn): 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