平面的法向量與平面的向量表.ppt

3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示,一、復(fù)習(xí)引入,1.直線與平面垂直的定義、判定和性質(zhì),定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么稱這條直線和這個平面垂直。,判定：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線與這個平面垂直。,性質(zhì)： (1)垂直于同一個平面的兩條直線平行。 (2)垂直于同一條直線的兩個平面平行。,二、概念形成,概念1.平面的法向量,已知平面 ，如果向量 的基線與平面 垂直，則 叫做平面 的法向量或說向量 與平面 正交。,由平面的法向量的定義可知，平面 的法向量有無窮多個，法向量一定垂直于與平面 共面的所有向量。,由于垂直于同一平面的兩條直線平行，所以，一個平面的所有法向量都是平行的。,模為1的法向量，叫做單位法向量，記作 顯然,二、概念形成,概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明,直線與平面垂直的判定定理：,如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。,已知： 是平面 內(nèi)的兩條相交的直線，且 求證：,正方體AC1棱長為1，求平面ADB1的一個法向量。,二、概念形成,概念1.平面的法向量,例子：,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,一個平面的法向量不只一個，但它們都是平行(或共線)的，我們借助于待定系數(shù)法可求出平面的一個法向量。,待定系數(shù)法,例題,例1：已知點 ， ， ，其中 求平面 的一個法向量。,二、概念形成,概念3.平面的向量表示,空間直線可以用向量來表示，對于空間的平面也可以用向量來刻畫。,設(shè)A是空間任意一點， 為空間任意一個非零向量，適合條件 的點 M 的集合構(gòu)成什么樣的圖形？,我們可以通過空間一點和一個非零向量確定唯一的一個與該向量垂直的平面。,稱此為平面的向量表達(dá)式。,二、概念形成,概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直,設(shè) 分別是平面 的法向量，則有,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點。求證：平面DEA平面A1FD1 。,二、概念形成,概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直,例子,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩個平面的法向量互相垂直。,射影：已知平面 和一點A，過點A作 的垂線 與 交于點 ，則 就是點A在平面 內(nèi)的正射影，也可簡稱射影。,二、概念形成,概念5.用法向量證明“三垂線定理”,預(yù)備知識：,斜線在平面上的正射影：設(shè)直線 與平面 交于點B，但不和 垂直，那么直線 叫做這個平面的斜線。斜線和平面的交點B叫做斜足。,斜線在平面上的正射影：在直線 上任取一點A，作A點在平面 內(nèi)的射影 ，則平面內(nèi)直線 叫做斜線 在該平面內(nèi)的射影。,已知 是平面 的斜線， 是 在平面 內(nèi)的射影,直線 且,二、概念形成,概念5.用法向量證明“三垂線定理”,三垂線定理：,如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。,求證：,證明：,如圖,已知:,求證：,在直線l上取向量 ,只要證,為,逆定理,(2)三垂線定理： 如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的 垂直，則它也和這條斜線垂直 (3)三垂線定理的逆定理： 如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的 垂直,射影,射影,例題分析：,1、判定下列命題是否正確,(1)若a是平面的斜線、直線b垂直于a在平面 內(nèi)的射影，則ab。 ( ),(2)若a是平面的斜線，b是平面內(nèi)的直線， 且b垂直于a在內(nèi)的射影，則ab。 ( ),三垂線定理,關(guān)于三垂線定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)及垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的。,第一、定平面(基準(zhǔn)面) 第二、找平面垂線（電線桿）,第三、看斜線，射影可見,三垂線定理,第四、證明直線a垂直于射影線，從而得出a與b垂直。,強(qiáng)調(diào)：1四線是相對同一個平面而言。,2定理的關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和“電線桿”。,例3 在正方體ABCDA1B1C1D1 中，求證：A1C是平面BDC1的法向量,思路點撥 根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證明BDA1C，C1DA1C.,精解詳析 在正方體中，AA1 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 內(nèi)的射影，又ACBD，所以BDA1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1內(nèi)的射影 所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.,1正三棱錐PABC中，求證：BCPA.,證明：在正三棱錐PABC中，P在底 面ABC內(nèi)的射影O為正三角形ABC的 中心，連接AO，則AO是PA在底面A BC內(nèi)的射影，且BCAO，所以BC PA.,小結(jié),1.直線與平面垂直的定義,2. 平面的法向量：,3. 平面的向量表示：,4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件,6.有關(guān)平面的斜線概念， 三垂線定理及其逆定理,再見,例. 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過 點 ，平面 的法向量為 ， 為平面 內(nèi)任意一點，求 滿足的關(guān)系式。,解：由題意可得,答：aPO,三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的 一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。,為什么呢？,三垂線定理,數(shù)式板書,例1 已知點A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一個法向量,思路點撥,平行與垂直關(guān)系的向量表示,（1）平行關(guān)系,設(shè)直線l，m的方向向量分別為 ， ，平面 ， 的法向量分別為 ，,線線平行,線面平行,面面平行,新知探究,（2）垂直關(guān)系,設(shè)直線l，m的方向向量分別為 ， ，平面 ， 的法向量分別為 ，,線線垂直,線面垂直,面面垂直,（3）用向量處理平行問題 用向量處理垂直問題,三、應(yīng)用舉例,利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平面的法向量平行(或共線)。,三、應(yīng)用舉例,例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，