高中數(shù)學(xué)1-7-2定積分在物理中的應(yīng)用.ppt

1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用,【課標(biāo)要求】 1通過具體實(shí)例了解定積分在物理中的應(yīng)用 2會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移和變力作功問題 【核心掃描】 利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移和變力所作的功 (重點(diǎn)),自學(xué)導(dǎo)引 定積分在物理中的應(yīng)用,想一想：利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移是同一個(gè)式子 嗎？ 提示 路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念，(1)當(dāng)v(t)0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用 求解； (2)當(dāng)v(t)0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用 求解，這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為 .,名師點(diǎn)睛 1在變速直線運(yùn)動(dòng)中求路程、位移 路程是位移 的絕對(duì)值之和，從時(shí)刻ta到時(shí)刻tb 所經(jīng)過的路程S和位移S分別為： (1)若V(t)0，則S V(t)dt，S V(t)dt. (2)若V(t)0，則S V(t)dt，S V(t)dt. (3)若在區(qū)間a，c上，V(t)0，在區(qū)間c，b上V(t)0， 則s V(t)dt V(t)dt；S V(t)dt.,2定積分在物理中的應(yīng)用 (1)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即s v(t)dt. (2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了s(單位：m)，則力F所作的功為WFs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間a，b上的定積分，即W F(x)dx.,說明：做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s在數(shù)值上其實(shí)就是時(shí)間一速度坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積，而變力做功實(shí)際上也是位移力坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積在變力做功時(shí)，不限定F(x)為非負(fù)數(shù)，這樣求出來(lái)的定積分可能為負(fù)數(shù)當(dāng)定積分為負(fù)數(shù)時(shí)，說明變力做負(fù)功，即克服變力做了功,題型一 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移 【例1】 有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t時(shí)的速度為v(t)8t2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)求 (1)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t6時(shí)，求點(diǎn)P離開原點(diǎn)的路程和位移； (2)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值 思路探索,解 (1)由v(t)8t2t20得0t4，即當(dāng)0t4時(shí)，P點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t4時(shí)，P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng) 故t6時(shí)，點(diǎn)P離開原點(diǎn)的路程 當(dāng)t6時(shí)，點(diǎn)P的位移為,(2)依題意 (8t2t2)dt0，,(1)用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問題時(shí)，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵 (2)路程是位移的絕對(duì)值之和，因此在求路程時(shí)，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號(hào)不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計(jì)算，否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤,【變式1】 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)1t2，初始位置為x01，求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置 解 當(dāng)0t1時(shí)，v(t)0，當(dāng)1t2時(shí)，v(t)0. 所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程,題型二 求變力所作的功 【例2】 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推到b處，計(jì)算在移動(dòng)過程中，氣體壓力所做的功 力F對(duì)物體所做的功為WFS，求出變力F的表達(dá)式是本題中求功的關(guān)鍵,【題后反思】 解決變力作功注意以下兩個(gè)方面： (1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來(lái)，這是關(guān)鍵的一步 (2)根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題,因?yàn)槲恢脹Q定于位移，所以它是v(t)在0,