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第五節(jié) 函數(shù)的微分,實例:正方形金屬薄片,邊長由x0變到,一般的函數(shù)y=f(x)的增量,？,則面積增加,一、微分的定義,定義 設,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0可微，并稱,若,為函數(shù)y=f(x)在點x0相應于 的微分，記為：,問題：若函數(shù)y=f(x)在點x0可微，則A=？,y=f(x)在x0可微,若y=f(x)在x0可微，則,則y=f(x)在x0可導，且,定理 若y=f(x)在x0可微，則y=f(x)在x0可導， 且,若y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可微， 稱y=f(x)開區(qū)間(a,b)內可微，其微分為：,例1 求函數(shù) y=x3, 當 x=2, x=0.02時的微分.,解,y=f(x)在x可微,當x為自變量時：,例2 設 求dy,解,y=f(x)在點x可微,問題：若y=f(x)在點x可導， y=f(x)在x是否可微？,由若y=f(x)在點x可導，,故 y=f(x)在點x可微。,y=f(x)在點x可微,函數(shù)y=f(x)在點x可微的充要條件是y=f(x)在點x可導。,即導數(shù)是兩個微分的商,導數(shù)也稱為微商.,設函數(shù)u=u(x)與v=v(x)都可微， C為常數(shù)，則,二、微分的運算法則,1. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則,例3 設 求dy,解,2. 微分形式上的不變性,設函數(shù)y=f(x)可微，則 (1)當x是自變量時，,(2)當x是中間變量時，若函數(shù)x=g(t)可微, 得復合函數(shù)y=f(g(t),結論：設函數(shù)y=f(x)可微，則無論x是自變量還是中間變量，均成立：,微分形式的不變性,例4 設 求dy,三、微分的幾何意義,y=f(x)在點x可微,P,）,E,幾何意義: 設函數(shù)y=f(x)在點x0可微， 則y=f(x)在點x0的微分表示 曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)的 切線上縱坐標的增量。,P,）,E,微分三角形,1. 若y=f(x)是可微函數(shù)，則當 時，,是關于 的_無窮小， 與dy是_無窮小。,高階,等價,四、微分在近似計算上的應用,y=f(x)在點x可微,近似計算公式,例5 計算 的近似值。,記 f(x)=sinx, 由sinx可導知：,取,得：,例6 計算 的近似值。,記,由

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