導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.pps

一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第一講 一元微積分的應(yīng)用(一),函數(shù)的單調(diào)性、極值,第六章 一元微積分的應(yīng)用,本章學(xué)習(xí)要求： 熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。 能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。 掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。 知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計(jì)算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。 掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。 熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)、變力作功、液體的壓力等。 能利用定積分定義式計(jì)算一些極限。,第六章 一元微積分的應(yīng)用,第一、二節(jié) 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù),一、導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,二、函數(shù)的單調(diào)性,三、函數(shù)極值,四、函數(shù)的最大值、最小值,五、函數(shù)的凹凸性,一、導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,1. 導(dǎo)數(shù)在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用,在某點(diǎn)處的切線方程和法線方程 .,(2) 求兩條相交的曲線在交點(diǎn)處的交角 .,(1) 求物體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度或變量的變化率 .,(2) 求變量間的相關(guān)變化率 .,2. 導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解,解,解,解,在實(shí)際問題中，往往是同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)變量. 變量 之間有確定的關(guān)系，并且它們都是另外某一個(gè)變量的 函數(shù)( 例如，都是時(shí)間 t 的函數(shù). ) 從它們對(duì)這另一個(gè) 變量的變化率之間的關(guān)系出發(fā)，由已知的一個(gè)或幾個(gè) 變量的變化率求出一個(gè)變量的未知的變化率，就是所 謂的相關(guān)變化率問題.,解,解,解,下面我們運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)來研究函數(shù)的有關(guān) 性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、凹凸性、極值等，并研究如何作出函數(shù) 的圖形.,由拉格朗日中值定理的推論我們已經(jīng)知道:,二、函數(shù)的單調(diào)性,觀察下面的圖形, 你能得出什么結(jié)論？,綜上所述, 可知:,提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,解,三、函數(shù)的極值,函數(shù)的極值是個(gè)局部性的概念.,我們已經(jīng)知道的與函數(shù)極值有關(guān)的定理和公式:,定理,費(fèi) 馬 Pierre de Fermat (16011665),費(fèi)馬，法國數(shù)學(xué)家. 出身于一個(gè)商人 家庭. 他的祖父、父親、叔父都從商. 他 的父親是當(dāng)?shù)氐牡诙?zhí)政官, 經(jīng)辦著一個(gè) 生意興隆的皮革商店. 費(fèi)馬畢業(yè)于法國奧爾良大學(xué)，以律師 為職. 曾任圖盧茲議會(huì)會(huì)員, 享有長(zhǎng)袍貴 族特權(quán). 精通 6 種語言. 業(yè)余愛好數(shù)學(xué)并 在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領(lǐng)域內(nèi) 作出了創(chuàng)造性的工作.,費(fèi)馬大定理被稱為“會(huì)下金蛋的母雞” .,首先考察下列函數(shù)的圖形:,判別函數(shù)的極值點(diǎn), 主要是判別極值可疑點(diǎn)左、右,對(duì)于可微函數(shù)將歸結(jié)于判別函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào).,兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性.,(單調(diào)增加),(單調(diào)減少),(單調(diào)減少),(單調(diào)增加),定理,由定理中 (1) 的條件, 得,由定理中(2) 的條件, 得,看這一部分,此時(shí)應(yīng)另找其他方法.,高階的泰勒展開式？,定理,列表討論單調(diào)性, 判別極值:,解,極小,極小,極大,解,解,首先看看函數(shù)的圖形.,由圖形可知:,不是函數(shù)的極值點(diǎn).,問題在于如何進(jìn)行解析描述.,我們?cè)倏匆幌绿├展剑?就是說：,綜上所述,定理,在工程技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中, 常常需要考慮,在一定條件下, 怎樣才能使用料最少、費(fèi)用最,省, 而效率和效益最高等問題. 這些問題反映,到數(shù)學(xué)上就是最優(yōu)化問題.,優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用價(jià)值很大,四、函數(shù)的最大、最小值,怎樣求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上 的最大、最小值呢？,溫故而知新,最小值 , 只要先求出函數(shù),一切極值可疑點(diǎn) ( 駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的,點(diǎn)), 然后比較極值可疑點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)間端,點(diǎn)函數(shù)值 , 其中最大者就是函數(shù),最小者就是函數(shù),求最值的幾個(gè)特殊情況,極大(小)值點(diǎn) , 則該點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn) .,實(shí)際判斷原則,計(jì)算函數(shù)值:,( 端點(diǎn)值 ),解,沒有什么新的東西,設(shè)容積(體積)為 V , 半徑為 r , 高為 h .,用料最省即指容器的表面積 A 最小.,應(yīng)用題,解,又 A 的最小值一定存在 ,故當(dāng)要求的容器的容積為 A 時(shí) , 選擇半徑,某出版社出版一種書, 印刷 x 冊(cè)所需,成本為,每?jī)?cè)售價(jià) p 與,假設(shè)書可全部售出, 問應(yīng)將價(jià)格 p 定為多,少才能使出版社獲利最大？,由經(jīng)驗(yàn)公式, 得,于是,得唯一極值可疑點(diǎn),解,即為 Q 的最大點(diǎn) .,從而應(yīng)將價(jià)格 p 定為,此時(shí)最大獲利為,將一根直徑為 d 的圓木鋸成截面為矩形的梁.,問應(yīng)如何選擇矩形截面的高 h 和寬 b才能使梁的抗,彎截面模量 W 最大？,由力學(xué)知識(shí), 梁的抗彎截面模量為,由右圖可以看出：,解,問題歸結(jié)為求函數(shù) W 的最大值：,由于梁的最大抗彎截面模