矩陣跡的性質(zhì)與應(yīng)用.doc

安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2013屆畢業(yè)論文矩陣跡的若干個(gè)性質(zhì)與應(yīng)用姓名：某某 指導(dǎo)老師：某某摘要：根據(jù)矩陣跡的定義,首先給出了矩陣跡的性質(zhì),然后依據(jù)方陣的范數(shù)定義Cauchy Schwarz 不等式,給出了零矩陣,不相似矩陣,數(shù)冪矩陣,列矩陣,冪等矩陣及矩陣不等式的證法。矩陣的跡在解題中的應(yīng)用給出了實(shí)例。關(guān)鍵詞：跡 矩陣 范數(shù) 特征值1 引言矩陣的跡及其應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是工程理論研究中的重要工具。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，首先介紹了矩陣跡的相關(guān)性質(zhì)，然后給出了零矩陣，不相似矩陣，數(shù)冪矩陣，列矩陣，冪等矩陣及矩陣不等式的證法，最后對(duì)矩陣的應(yīng)用給出實(shí)例。2 預(yù)備知識(shí)定義1 設(shè),則稱為 的跡。定義2 設(shè),記與向量范數(shù)相容的 的 一范數(shù)為:(2) (3) (4) (5) 引理：矩陣跡的性質(zhì):1 證明：設(shè)則又所以得證2 (為任意常數(shù))證明：設(shè)則由（1）與（2）知3 證明：設(shè) 則，其中所以有其中，所以有得證4 證明：矩陣取轉(zhuǎn)置運(yùn)算主對(duì)角線上的元素不變，所以等式很顯然成立。5 證明：令（3）中即可得證。6 證明：令（3）中即可得證。7 （是的特征值）證明：由若當(dāng)定理知因?yàn)橄嗨凭仃囒E相等，所以8 證明：設(shè)矩陣的特征值為則矩陣的特征值為則由（7）即可得證9 若,則;特別，（下面定理有證明）10 若，則 有了上面關(guān)于矩陣的跡定義及性質(zhì)的介紹，下面我們通過(guò)舉例來(lái)看其在解題中的應(yīng)用。3 解題中的應(yīng)用例1 設(shè)為同階實(shí)對(duì)稱矩陣，若正定，則和不相似。證：假設(shè)相似,則由性質(zhì)9 知, 再由性質(zhì)1 得故由性質(zhì)10 知 不是正定陣,與已知矛盾從而, 和不相似。例2 設(shè)n階矩陣的對(duì)角線上元素全是1，且其特征值為復(fù)數(shù)，求證證：設(shè)為的全部特征值，且則有 又的主對(duì)角線上的元素全是1，知?jiǎng)t所以。 例3 已知 階方陣，若對(duì)所有的階方陣 有 ,則。證： 設(shè)，則有某。作矩陣，使,時(shí)，。 則矩陣主對(duì)角線上的元素 。與已知矛盾故 例4 設(shè)，的特征多項(xiàng)式為 ，則。證因?yàn)樗?。? 設(shè) , , 都是 矩陣,且 , , ,則存在不大于的自然數(shù) ,使得。證： 先證. (為任意自然數(shù)) (1)由(1) 和性質(zhì)1、3 得：再證 的特證值都等于0。設(shè) 的特征值為則存在可逆矩陣 ,使所以從而 （2）不失一般性,設(shè) 的互異的非零特征值為,且重?cái)?shù)分別為。 則(2)式變?yōu)? 取前 個(gè)等式,因?yàn)榉兜旅尚辛惺?，因此。即非零特征值都? 重,故 的特征全為0 。再證。 由于 的每個(gè)若當(dāng)塊都形如因此令: ，則例6 滿足 的矩陣叫做冪等陣,試證：冪等矩陣的跡與秩相等。證:設(shè) 階陣為冪陣,且的秩,則的特征值是0 或1 ,且具有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特證向量,因而, 與對(duì)角陣相似。故必有滿秩陣 存在，使上式右端的對(duì)角陣的秩等于的秩 ,即該矩陣中的對(duì)角元素(特征值)有個(gè)為1 ，個(gè)為0 。故由性質(zhì)7 知例7 設(shè)有階實(shí)對(duì)稱矩陣 ,若，則有。證：因?yàn)?,所以半正定,故存在階矩陣u其中是第個(gè)行向量，使得于是。又因?yàn)?維列向量有于是 由Cauchy - Schwarz不等式知，所以即從而故有例7 設(shè)為一個(gè)階矩陣，的主對(duì)角線上所有元素的和稱為的跡，記作.證明：如果對(duì)任意的階方陣，都有，則證：設(shè)，取,則所以. 即例8 證明：不可能有階方陣滿足證：設(shè)，為任二階方陣，則主對(duì)角線上的元素為它們的和為同樣，的主對(duì)角線上元素的和為亦即與的主對(duì)角線上元素的和相等，從而的主對(duì)角線上元素的和為零.但是，單位方陣的主對(duì)角線上元素的和為因此4 下面介紹一些有關(guān)矩陣跡的定理定理1 Cauchy-Schwarz公式：設(shè)都是n階矩陣，則有證明：設(shè),則由向量的內(nèi)積定義式，其中為與的夾角即。推廣到矩陣的跡的形式，即為定理2 schur不等式設(shè)設(shè)是n階矩陣，則有證明：因?yàn)橛忠驗(yàn)槭欠磳?duì)稱矩陣，故有定理3 設(shè)為階對(duì)稱矩陣，則有證明：由Cauchy-Schwarz公式可知 又即得定理4 設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有證明：都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，又由引理2可得又由引理3可得同時(shí)有即可得結(jié)論。定理5 設(shè)階矩陣的所有特征值都是實(shí)數(shù)，且，若恰有個(gè)特征值，則證明：設(shè)的個(gè)特征值為。因?yàn)?，由引? 知的特征值為不為零，而其余的特征值考察以下平方和其中，顯然且由于于是，有定理6 設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有證明：由于都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且由Schur不等式和引理3，可得定理7 設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且正定或半正定，則有證明：由cauchy-schwarz公式，且都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，使得設(shè)的特征值為的特征值為顯然的特征值均大于0又由定理4知，對(duì)存在n階正交矩陣使得所以由此得 ，故有即參考文獻(xiàn) 1丁學(xué)仁. 工程中的矩陣?yán)碚揗.天津：天津大學(xué)出版社,19882黨誦詩(shī). 矩陣論及其在測(cè)繪中的應(yīng)用M.北京：測(cè)繪出版社,19803陳公寧. 矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用M.北京：高等教育出版社，19904牛華偉，張厚超.關(guān)于矩陣跡的性質(zhì)與應(yīng)用J.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009年4月5宋占奎.矩陣的跡在解題中的應(yīng)用J.陜西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001年3月Matrix trace of several properties and applicationAuthor：Cao min Supervisor:Dai linsongAbstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - SchwarzInequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The