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高一同步輔導(dǎo)材料（第16講）主講：張有光（江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 特級(jí)教師）一、本講內(nèi)容：第五章“曲線運(yùn)動(dòng)” 六 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析在實(shí)例分析前，應(yīng)明確：向心力是按效果命名的力，任何一個(gè)力或幾個(gè)力的合力只要它的作用效果是使物體產(chǎn)生向心加速度，它就是物體所受的向心力。教材選擇了火車轉(zhuǎn)彎和汽車過(guò)拱橋的例子是十分有意義的。但教材只作了一般的分析，在這里我們將作一些略微詳細(xì)的討論。（1）火車轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌無(wú)高度差倘若火車轉(zhuǎn)彎內(nèi)外軌無(wú)高度差，火車行駛到此處時(shí)，外軌的內(nèi)側(cè)與火車外輪的輪緣相互擠壓，使火車受到外軌內(nèi)側(cè)的側(cè)壓力的作用（如教材P96頁(yè)圖5-33），外軌作用在火車輪緣上的力是使火車轉(zhuǎn)彎的向心力。如果火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的速率是，轉(zhuǎn)彎處弧形軌道的半徑是，火車的質(zhì)量是，那么。火車的質(zhì)量和速率都相當(dāng)大，也相當(dāng)大。根據(jù)牛頓第三定律，外側(cè)車輪的輪緣向外擠壓外軌的力跟大小相等、方向相反。外軌在這個(gè)力的擠壓很容易損壞。轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌若使轉(zhuǎn)彎處的外軌高于內(nèi)軌，火車行駛到這樣的轉(zhuǎn)彎處，其受力情況如教材P96頁(yè)圖5-34所示，支持力與重力的合力指向圓心，成為火車轉(zhuǎn)彎的向心力。設(shè)火車的質(zhì)量為，轉(zhuǎn)彎時(shí)的速度為，軌道轉(zhuǎn)彎的曲率半徑為，軌道平面與水平面的夾角為，如圖1所示，即有 此時(shí)重力與支持力的合力剛好等于火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力，外軌與輪緣不相互擠壓。在修筑鐵路的時(shí)候，鐵路彎道的半徑是根據(jù)地形條件決定的。彎道處內(nèi)外軌高度差應(yīng)該如何選擇，不僅與半徑有關(guān)，并且取決于火車在彎道上的行駛速度。當(dāng)路面向圓心一側(cè)傾斜的角度不太大時(shí)，由于，其中為軌距，式變?yōu)?，所以可用?lái)計(jì)算值的大小。對(duì)于已經(jīng)修筑好的鐵路，轉(zhuǎn)彎處的和已經(jīng)確定，如果火車速度超過(guò)規(guī)定的速度，重力和支持力的合力將小于需要的向心力，所差的仍需由外軌對(duì)輪緣的彈力來(lái)彌補(bǔ)；如果火車的速率小于規(guī)定的速度，重力和支持力的合力將大于需要的向心力，超出的則由內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車輪輪緣的彈力來(lái)平衡。（2）汽車過(guò)拱橋在教材P97頁(yè)上，已分析得出汽車過(guò)拱橋時(shí)，橋?qū)嚨闹С至Γ纱耸娇梢钥闯銎噷?duì)橋的壓力小于汽車的重力，而且是隨著汽車速度的增大而減??；當(dāng)壓力為零時(shí)，即，這個(gè)速度是一個(gè)臨界速度。當(dāng)汽車速度時(shí)，橋頂所受的壓力將比汽車靜止在橋頂時(shí)要小，隨著汽車行駛速度的增大，橋頂所受的壓力將減得更小，而當(dāng)速度時(shí)，橋頂所受的壓力將等于零。如果速度，則因?yàn)闆](méi)有足夠的向心力，汽車就將飛離橋頂不再沿著拱橋做圓周運(yùn)動(dòng)。（3）利用向心力公式解題的一般步驟根據(jù)題意選好做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)或物體為研究對(duì)象。對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，找出作用在研究對(duì)象上的所有外力，畫(huà)出受力圖。求出合力。物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的合力方向必定沿著半徑方向指向圓心，這個(gè)力就是向心力。根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列運(yùn)動(dòng)方程，如或統(tǒng)一單位，求解作答。2離心現(xiàn)象及其應(yīng)用教材首先通過(guò)實(shí)例分析，闡明了什么是離心運(yùn)動(dòng)以及產(chǎn)生離心運(yùn)動(dòng)的原因。然后介紹了利用離心運(yùn)動(dòng)的機(jī)械以及如何防止有害的離心運(yùn)動(dòng)。我們要明確以下三點(diǎn)：（1）離心運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件是：當(dāng)外界提供的向心力突然消失或小于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所需要的向心力時(shí)，才會(huì)發(fā)生離心運(yùn)動(dòng)。（2）離心運(yùn)動(dòng)并非沿半徑方向飛出的運(yùn)動(dòng)，而是半徑越來(lái)越大的運(yùn)動(dòng)（此時(shí)），或沿切線方向飛出的運(yùn)動(dòng)（此時(shí)）。（3）離心現(xiàn)象的本質(zhì)是物體慣性的表現(xiàn)。3本章總復(fù)習(xí)本章講解了物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件以及運(yùn)動(dòng)的合成和分解，并討論了兩種曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)。同學(xué)們可以根據(jù)教材P100所列的八個(gè)問(wèn)題，進(jìn)行小結(jié)。但還應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：（1）研究曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法是運(yùn)動(dòng)的合成和分析。而它是以運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理為出發(fā)點(diǎn)的。即為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，則各個(gè)運(yùn)動(dòng)都可以看作是獨(dú)立進(jìn)行的，它們互不影響，同時(shí)開(kāi)始、同時(shí)結(jié)束。這個(gè)法則叫做運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理。（2）應(yīng)用向心力公式解題時(shí)應(yīng)理解是重力、彈力、摩擦力或這些力的合力，只要它們的方向是沿著半徑指向圓心的，都可以提供物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的向心力。不要以為向心力是這幾個(gè)力以外的另一個(gè)單獨(dú)作用的力。不是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)才產(chǎn)生向心力，而是由于向心力存在才迫使質(zhì)點(diǎn)不斷改變其速度方向而做圓周運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，任一時(shí)刻都有沿切線方向飛走的趨勢(shì)，而向心力的作用正是使質(zhì)點(diǎn)沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)。如果某一時(shí)刻失去向心力，質(zhì)點(diǎn)從這時(shí)刻起則沿切線方向飛走。三、典型例題例1的卡車以，通過(guò)圓弧半徑為的凹橋最低點(diǎn)時(shí)，受到重力和橋?qū)λ闹С至Γ鼈兊暮狭褪鞘箍ㄜ嚠a(chǎn)生向心加速度的向心力（如圖2）。即 將 代入上式得根據(jù)牛頓第三定律，卡車對(duì)橋的壓力是。例2某彎路的中心線是處在水平方向上。而中心線的圓弧半徑為（圖3），路的基面與水平面間的夾角為，如圖4。某車以一定速率通過(guò)這彎路時(shí)，如果速率大于某一值，車就會(huì)往外滑出。設(shè)車胎與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，試推導(dǎo)的表達(dá)式。解選車為研究對(duì)象，車在斜路基面上轉(zhuǎn)彎行駛時(shí)，按題意如果速度等于時(shí)，車恰好不會(huì)往外滑，此時(shí)車共受三個(gè)力：重力，斜面對(duì)車的支持力，車胎與路基的摩擦力，這三個(gè)力的合力就是車作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。按圖5那樣沿兩軸作正交分解，得 （1） （2）又 （3） （4）解（1）、（2）、（3）、（4）式得例3取一根繩子，一端系著一個(gè)質(zhì)量為的小球，另一端握在手中，要使小球在豎直平面上作圓周運(yùn)動(dòng)，繩子轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為，問(wèn)小球通過(guò)最高點(diǎn)位置時(shí)，其線速度最小應(yīng)為多少？如果速度大于或小于這個(gè)值時(shí)，小球?qū)?huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？解在題目所給的情況下，當(dāng)小球獲得足夠的速度后，小球作圓周運(yùn)動(dòng)。小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，如果不計(jì)空氣阻力，最多只受兩個(gè)力，即重力和繩子的拉力，它們的方向都是豎直向下指向圓心，設(shè)此時(shí)線速度為，則 （1）從上式可知要使最小，要最小，即，也就是繩子和小球間沒(méi)有相互作用，向心力只由重力供給。這時(shí) 這是小球通過(guò)最高點(diǎn)位置時(shí)所必需的最小的線速度。以表示這個(gè)最小的線速度。當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）式可知，即繩子對(duì)小球有拉力作用。當(dāng)時(shí)，從（1）式可知，即為負(fù)值，這對(duì)繩子說(shuō)是不可能的。這種情況下小球不可能通過(guò)最高點(diǎn)而在中途將下落，無(wú)法作圓周運(yùn)動(dòng)。思考題：如果用細(xì)術(shù)棍代替繩子來(lái)使小球轉(zhuǎn)動(dòng)，而其他條件不變，小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)處的速度有沒(méi)有限制？提示：木棍是硬的，系在木棍一端的小球在最高點(diǎn)處的速度如果小于，雖為負(fù)值，但這時(shí)棍對(duì)球具有向上的“舉”力作用，所以速度不受限制。例4一根長(zhǎng)為的繩子，當(dāng)受到的拉力時(shí)即被拉斷。若在此繩的一端拴一個(gè)質(zhì)量為的物體，使物體以繩子的另一端為圓心在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩子斷裂。求（1）物體運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)的角速度和線速度各是多大？（2）若繩斷處物體距地面高，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間物體落至地面？（3）物體落地處距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)？落地時(shí)物體的速度是多大？解（1）如圖6所示，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，物體受重力，繩子拉力，根據(jù)牛頓第二定律有，由牛頓第三定律可知：繩子受到的拉力和物體拉繩子的力大小相等，繩被拉斷時(shí)的拉力為，故。由式，繩被拉斷時(shí)的角速度為物體的線速度（2）繩子斷裂后物體以速度做平拋運(yùn)動(dòng)。由，得（3）物體落地處距拋出點(diǎn)的水平距離為物體落地時(shí)速度的大小為鞏固練習(xí) （一）選擇題：1下列關(guān)于向心力的論述中正確的是（ ） A物體因?yàn)槭艿较蛐牧Φ淖饔茫趴赡茏鰣A周運(yùn)動(dòng)； B向心力僅僅是從它產(chǎn)生的效果來(lái)命名的，它可以使有初速度的物體做圓周運(yùn)動(dòng)，它的方 向始終指向圓心； C向心力可以是重力、彈力、摩擦力中的某一種力，也可以是這些力中某幾個(gè)力的合力； D向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小。2一圓盤(pán)可繞通過(guò)圓盤(pán)中心且垂直于盤(pán)面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)上放置 一個(gè)物體，當(dāng)圓盤(pán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，木塊隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)，如圖7。那么 （ ） A木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向背離圓盤(pán)中心； B木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向指向圓盤(pán)中心； C因?yàn)槟緣K隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向 相同； D因?yàn)槟Σ亮偸亲璧K物體運(yùn)動(dòng)，所以木塊所受圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力的方向與木塊的運(yùn)動(dòng) 方向相反。3有三個(gè)相同材料制成的物體放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，它們的質(zhì)量之比為，它們 與轉(zhuǎn)軸之間的距離為。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以一定的角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，它們均無(wú)滑動(dòng)，它們受到的 靜摩擦力分別為，比較這些力可得（ ） A B C D4如圖8所示，三段細(xì)線長(zhǎng)，三球質(zhì)量相等， 當(dāng)它們繞點(diǎn)在光滑的水平桌面上以相同的角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng) 時(shí)，則三段線的拉力為（ ） A B C D5一小球沿半徑為的軌道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若周期為秒，則（ ） A小球的線速度是； B經(jīng)過(guò)，小球的位移是米； C小球的加速度是； D經(jīng)過(guò)，小球速度增量為。6如圖9所示，用細(xì)線將一小球懸掛在勻速前進(jìn)的車廂里，當(dāng)車廂突然制 動(dòng)時(shí)（ ） A線的張力不變； B線的張力突然減小； C線的張力突然增大； D線的張力如何變化無(wú)法判斷。7如圖10所示，兩小球質(zhì)量相同，用輕線把它們連結(jié)，并跨過(guò)兩個(gè)無(wú)摩擦的定滑輪。 在球左右擺動(dòng)的時(shí)候，則球?qū)ⅲ?） A不動(dòng)； B向上運(yùn)動(dòng)； C上下往復(fù)運(yùn)動(dòng) D向下運(yùn)動(dòng)。8原來(lái)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體產(chǎn)生離心運(yùn)動(dòng)的條件的簡(jiǎn)略表述，可以是（ ） A當(dāng)物體需要的向心力等于物體所受合外力時(shí)； B當(dāng)物體需要的向心力小于物體所受合外力時(shí)； C當(dāng)物體所受合外力小于作圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力時(shí)； D當(dāng)物體所受的外力不能與向心力平衡時(shí)。（二）填空題：9 一根水平橫桿可繞軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿上穿一個(gè)空心圓柱形物體， 質(zhì)量為，物體可在桿上無(wú)摩擦滑動(dòng)，物體和轉(zhuǎn)軸間用一根勁度系 數(shù)的彈簧相連，如圖11所示。當(dāng)橫桿繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈 簧從原長(zhǎng)伸長(zhǎng)到，那么彈簧對(duì)物體的拉力是_，物體運(yùn)動(dòng) 的角速度是_，線速度是_。（物體可視為質(zhì)點(diǎn)）10一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，如果每秒轉(zhuǎn)數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所需的向心力比原來(lái)的向心 力大，則物體原來(lái)的向心力應(yīng)為_(kāi)。11如圖12所示，沿半球形碗的光滑內(nèi)表面，一質(zhì)量為的小球正以角速 度在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果碗的半徑為，則該球做勻速圓 周運(yùn)動(dòng)的水平面離碗底的距離為_(kāi)。12質(zhì)量為的物體沿著半徑為的半球形金屬內(nèi)壁下滑至最低點(diǎn)時(shí)的速度 為。若物體與球殼之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，那么物體在最低點(diǎn)時(shí)，受到的摩擦力 。（三）計(jì)算題：13如圖13所示，有一個(gè)半徑為的圓弧形的軌道，滑塊分別從軌 道上面和下面沿軌道滑動(dòng)，如果要求它們?cè)谧罡咛幉浑x開(kāi)軌道，對(duì)它們 在最高點(diǎn)的速率有什么限制？14在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，距轉(zhuǎn)軸為處插立一豎直桿，桿頂系一根長(zhǎng)為的細(xì)繩，繩的末端掛一個(gè)質(zhì)量為的小球（圖14），當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)后，試證懸繩張開(kāi)的角度與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速的關(guān)系是： 答案與提示1ABCD2B3D4B 5ACD（提示： ，小球轉(zhuǎn)過(guò)圓周