論“增根”在數(shù)學(xué)中存在的價(jià)值

論“增根”在數(shù)學(xué)中存在的價(jià)值摘要：懂得一些數(shù)學(xué)常識(shí)的人都知道，“根”在數(shù)學(xué)上，意思是指能使一元方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的取值。也可以這樣講，方程的“根”與“解”在一定程度上可以等同，而數(shù)學(xué)上還有另外一個(gè)概念-增根，那么，究竟什么才是方程的增根呢，直觀上想，談及方程的根，方程有根則可稱方程有根，無根則稱方程無根，為何偏偏又要引進(jìn)一個(gè)“增根”的概念呢，到底什么才是“增根”，是指新增加的根？還是多余的根？帶著問題回歸到方程的增根的定義：方程的增根指，在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根。這樣來看，似乎“增根”還屬于方程根的一種，而既然是不適合原方程，為何又稱之為它的根呢？這樣的說法與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是否相違背呢？本文將從方程的“解”與“根”的區(qū)別入手，分析“增根”的定義，產(chǎn)生根源，追究其實(shí)質(zhì)，來論述其存在的價(jià)值性。關(guān)鍵字：分式方程、方程的解、方程的根、真根、增根、錯(cuò)解、常規(guī)方法、嘗試解法、錯(cuò)誤解法、分類討論、嚴(yán)謹(jǐn)正文：一、方程的“解”與“根”的區(qū)別定義：數(shù)學(xué)上，對(duì)方程的解是這樣定義的：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；而方程的根是指能使一元方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。從定義上來看，不難發(fā)現(xiàn)，所謂方程的解、方程的根都是指使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的取值。而方程的根是特指一元方程的解，即對(duì)于只含有一個(gè)未知數(shù)的方程來說，方程的解，也叫方程的根。此時(shí)，根和解只是兩種不同的稱謂。因此，一元方程的解與根是沒有區(qū)別的。但對(duì)于多元方程來說，方程的解就不能說成是方程的根。這時(shí)解與根是有區(qū)別的。因?yàn)閿?shù)學(xué)上，對(duì)于多元的方程是不存在根的概念的。由此還可以看出，方程的解與根是包函與被包函的關(guān)系，解包函了根，而根包函于解。那么既然根的概念只在一元的方程中才會(huì)出現(xiàn)，而一元方程中的根與解又沒有區(qū)別，為何偏偏要引進(jìn)一個(gè)根的概念呢？那么“根”倒底有著它怎樣的獨(dú)特作用和價(jià)值呢？二、方程的“增根”與“真根”的概念定義：解出方程后有幾個(gè)根的時(shí)候，帶入方程有意義的根就是方程的真根。如果無意義的就是增根。原來“根”還被分為了“真根”和“增根”兩種，真根很容易理解，實(shí)際上真根也就是方程的解。那么增根又是什么呢？從定義上看，解出來的幾個(gè)根，帶入方程無意義，那么這個(gè)根就是增根。為什么明明是解出的根，而又會(huì)使原方程沒有意義呢？增根究竟又是如何產(chǎn)生的呢？三、產(chǎn)生“增根”的來源（一）分式方程在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，那么這個(gè)根叫做原分式方程的增根。對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制就被取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根。（二） 無理方程在無理方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使偶次根式中的被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，那么這個(gè)根叫做原分式方程的增根。 與分式方程類似，當(dāng)偶次根式中的被開方數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，無意義，所以無理方程，不允許末知數(shù)取那些使偶次根式中的被開方數(shù)為負(fù)數(shù)的值，即無理方程本身就隱含著偶次根式中的被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)的條件。當(dāng)把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制就被取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根?？偟膩砜矗涸龈窃诜匠套冃螘r(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根。我們再來分析增根產(chǎn)生的原因，無論是分式方程，還是無理方程，增根的產(chǎn)生都無疑有人為的因素在里面，都是人為的把方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，從而產(chǎn)生了使方程沒有意義的根-方程的增根。四、再談“增根”與“錯(cuò)解”既然在一元方程中，根也叫做方程的解，那么增根又算做什么呢？是不是可以稱“增根”為方程的“錯(cuò)解”呢?以分式方程為例，不妨我們來解一道分式方程：常規(guī)解法（A解法）第一步：該分式方程的最簡公分母為 第二步：在方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母得第三步：整理得：第四步：解得：或第五步：檢驗(yàn)：1)把或代入原方程，當(dāng)時(shí)，方程分母為0，沒有意義，因此為方程的增根.2) 把代入方程左右兩邊，左邊=，右邊=，左邊=右邊，因此是原方程的根。第六步：因此，原方程的根為.（一）通過“檢驗(yàn)”來更正錯(cuò)誤的解題邏輯檢驗(yàn)，在數(shù)學(xué)上是指，完成題目以后，重新綜合考慮多方面因素，來探究解題中是否出現(xiàn)了錯(cuò)誤的過程。但實(shí)際上，不檢驗(yàn)并不意味著題目一定就是錯(cuò)的?？晌覀儼l(fā)現(xiàn)，在按常規(guī)解法（A解法）解題時(shí)，若不檢驗(yàn)，則會(huì)釀成大錯(cuò)，這是為什么呢？從表面上看來，上述的常規(guī)解法（A解法）解題的過程沒有什么問題，但最后還是產(chǎn)生了增根，而且一定要通過檢驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)這個(gè)“增根”。數(shù)學(xué)本是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，究竟是什么使得原本?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)一定要通過檢驗(yàn)才能避免錯(cuò)誤結(jié)論的出現(xiàn)呢，原因何在？我們不禁問：如果數(shù)學(xué)的解題過程中，允許先出現(xiàn)錯(cuò)誤，再通過檢驗(yàn)來排除錯(cuò)誤，那么這樣的數(shù)學(xué)還能稱得上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿?？這樣的解題邏輯應(yīng)該值得提倡么？（二）產(chǎn)生“增根”的根源-解題方法的不嚴(yán)謹(jǐn)對(duì)于一個(gè)方程，左右兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為0的數(shù)，方程仍然有意義，那么任意給出一個(gè)方程，在左右兩邊同時(shí)乘以0，就一定會(huì)得到新的恒等式0=0，這樣就使得方程本身失去了方程的實(shí)際意義，而變成了恒等式，也就是在這個(gè)過程中，我們?nèi)藶榈氖沟梅匠淌チ艘饬x，而當(dāng)這種情況出現(xiàn)之后，人們卻把這個(gè)使得方程失去意義的末知數(shù)的值稱為方程的“增根”，因而舍去，可這個(gè)做法，是不是有為我們自已開脫“犯錯(cuò)”的嫌疑呢！具體來看，上面解題過程的第二步，在方程的左右兩邊同時(shí)乘以了最簡公分母，而這個(gè)最簡公分母會(huì)不會(huì)等于0呢？當(dāng)=0時(shí)，在方程兩邊同時(shí)乘以，也就相當(dāng)于在方程兩邊同時(shí)乘以了0，使得方程失去了意義，換言之，這種做法就是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是錯(cuò)誤的！也就是說，實(shí)際上，增根的產(chǎn)生源于解題方法的不嚴(yán)謹(jǐn)，是解題邏輯出現(xiàn)了問題，難道在分式方程面前，數(shù)學(xué)就不再嚴(yán)謹(jǐn)了么？（三） 新解法的嘗試在上述方程中，當(dāng)最簡公分母=0時(shí)，或那么，如果在方程兩邊同時(shí)乘以時(shí)，只要先保證0，也就是保證1且-2，是否可以避免增根的出現(xiàn)呢，我們不妨來試一下：解分式方程：嘗試解法（B解法）：第一步：該分式方程的最簡公分母為 第二步：1）或時(shí)，原方程分母為0，沒有意義；2）當(dāng)1且-2時(shí)，在方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母得第三步：整理得：第四步：解得：或第五步：因?yàn)?且-2，所以只取第六步：因此，原方程的根為.我們發(fā)現(xiàn)，在嘗試解法（B解法）中，我們省去了常規(guī)解法（A解法）中的檢驗(yàn)過程，而且也沒有談及“增根”問題，從整個(gè)方法上來看，與常規(guī)解法（A解法）相比，只是多了一個(gè)提前的限定，即第二步以后的所有運(yùn)算，都是在第二步中“當(dāng)1且-2時(shí)”這個(gè)大前提下進(jìn)行的，因此只要與此相違背的，也就是出現(xiàn)了矛盾，如第四步中解出的與第二步中的1相矛盾，因此，直接舍去。從而，末產(chǎn)生矛盾的也就是原方程的解。（四）“增根”的本質(zhì)就是“錯(cuò)解”既然增根是指在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過程中，出現(xiàn)的不適合原方程的末知數(shù)的值，那么，如果在實(shí)際解題過程中，由于諸多客觀因素，而也同樣產(chǎn)生了幾個(gè)末知數(shù)的值，而通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的，不適合原方程的末知數(shù)的值，是不是也可以稱之為原方程的“增根”呢？而這個(gè)值本身若是通過必然錯(cuò)誤的解題方法得出的值，那么，又該如何稱呼這個(gè)值呢，是不是可以把他叫做“錯(cuò)解”呢？若真的如此，那么“增根”與“錯(cuò)解”又有什么區(qū)別呢，如果沒有區(qū)別，為何不直接稱其為“錯(cuò)解”，而非要稱其為“增根”呢，難道是出于對(duì)“錯(cuò)誤”的一種“掩飾”和“解釋”？為了進(jìn)一步說明，我們給出上述問題的如下錯(cuò)誤解法（C解法）：解分式方程：錯(cuò)誤解法（C解法）第一步：該分式方程的最簡公分母為 第二步：在方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，（本應(yīng)該得到的整式方程是，但因?yàn)榇中亩霈F(xiàn)了兩處錯(cuò)誤）得第三步：整理得： 即第四步：解得： 或第五步：檢驗(yàn)：1)把代入原方程，方程中的分母為0，沒有意義，因此，是方程的增根；2)把代入方程左右兩邊，左邊=，右邊=，左邊=右邊，因此，是原方程的根。第六步：因此，原方程的解為.不難看出上題的解題過程是明顯錯(cuò)誤的，但如果把重點(diǎn)放在第五步檢驗(yàn)上面，就不會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，甚至把用明顯錯(cuò)誤方法解出來的稱之為原方程的“增根”，但實(shí)際上，只能稱是用錯(cuò)誤方法解出來的“錯(cuò)解”，但回過頭來看，在前面介紹的常規(guī)解法（A解法）中，解出的，就是用正確方法解出的么？同樣的，常規(guī)解法（A解法）中解出的，也是不嚴(yán)謹(jǐn)解法-錯(cuò)誤方法的產(chǎn)物。既然都是錯(cuò)誤方法的產(chǎn)物，那么，顯然可以把二者平等對(duì)待，或者稱它們都是“增根”，或者稱它們都是“錯(cuò)解”，而錯(cuò)誤解法（C解法）中產(chǎn)生的，是在明顯的錯(cuò)誤中產(chǎn)生的，與方程的“根”談不上任何關(guān)系，其實(shí)，常規(guī)解法（A解法）中解出的，也是在錯(cuò)誤的方法中產(chǎn)生的，那么也不應(yīng)該與方程的“根”產(chǎn)生任何關(guān)系，而稱之為“增根”，則使人感到牽強(qiáng)，與其稱之為“增根”，不如稱之為“錯(cuò)解”更合理！總之，通過前面的實(shí)驗(yàn)和論述，我們難以找到“增根”與“錯(cuò)解”的區(qū)別，既然“增根”就相當(dāng)于“錯(cuò)解”，而“錯(cuò)解”本身是沒有任何價(jià)值的，那么，顯然“增根”的說法也隨之失去了它存在的價(jià)值！我們也只能重新來審視“增根”的說法，只能把“增根”稱之為用來掩飾和解釋錯(cuò)誤的工具！五、分類討論思想有效地遏制了“增根”的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。 每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。我們將前面的常規(guī)解法（A解法）與嘗試解法（B解法）作對(duì)比，明顯發(fā)現(xiàn)，嘗試解法（B解法）的整個(gè)解題過程都非常的嚴(yán)謹(jǐn)，那么如此看來，增根還有他存在的價(jià)值么？不談增根，也沒有對(duì)解題產(chǎn)生影響，反而使解題過程更加嚴(yán)謹(jǐn)。實(shí)際上，嘗試解法（B解法）運(yùn)用的就是分類討論的數(shù)學(xué)思想，第二步中的“當(dāng)或時(shí)”，以及“當(dāng)1且-2時(shí)”，體現(xiàn)的是對(duì)末知數(shù)的在取值范圍的分類討論。而常規(guī)解法（A解法）中，沒有考慮到這一點(diǎn)，把兩種本不統(tǒng)一研究的對(duì)象，放在一起來處理，這樣，才使得在解答最后人們必不得已，要以“增根”來進(jìn)行解釋。分類討論思想可以使數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)，使解題更周密，既然分類討論能幫助我們消滅因?yàn)椴粐?yán)謹(jǐn)?shù)亩a(chǎn)生“增根”，為什么不