平面點集的一般概念.ppt

第三節(jié) 復平面上的點集,一、 復平面點集的一般概念,二、 區(qū)域,三、 平面曲線,一、復平面點集的一般概念,定義1 鄰域:,記作:N(z0),N(z0)=z | |z-z0|,記作：N0(z0)=z | 0|z-z0| ,即,定義2 內點、邊界點、孤立點,設有點集及一點z0 :, 若存在點z0 的某鄰域 N(z0) ,則稱 z0為的內點；, 若在z0的任意一個鄰域內,都有屬于的點,也有不屬于的點,則稱z0為的邊界點,點集的全體邊界點組成的集合稱為的邊界.記為：,即 z0為的孤立點 0: N(z0) =z0, 若z0屬于 ，但在z0某鄰域內除z0外不含的點，,則稱z0為G的孤立點,定義 有界集和無界集,有界！,如果 內每一點都是它的內點,那么 為開集,定義3 開集與閉集,平面上不屬于 的點的全體稱為的余集；,開集,的余集稱為閉集,或開集及其邊界的并集稱為閉集,二、 區(qū)域,定義5 區(qū)域,如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域,(1) D是一個開集；,(2) D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結起來.,D加上D的邊界稱為閉域，記為DD+D ,z1 ,z2 ,D,說明,(2) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.,(1) 區(qū)域都是開的.,以上基本概念的圖示,區(qū)域,鄰域,邊界點,邊界,不包含邊界！,(1) 圓環(huán)域:,課堂練習,判斷下列區(qū)域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 帶形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)無界.,平面曲線C的復數(shù)表示:,C的實參數(shù)方程,C的復參數(shù)方程,起點z(),終點z(),C的正向：起點終點,三、 平面曲線,定義6 連續(xù)曲線,例如：,復數(shù)形式為,復數(shù)形式為,或,例1,求下列方程所表示的曲線:,解,化簡后得,沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線(或Jordan曲線).,重點,重點,重點,換句話說, 簡單曲線自身不相交.,定義7 簡單曲線,課堂練習,判斷下列曲線是否為簡單曲線?,答 案,簡單 閉,簡單 不閉,不簡單 閉,不簡單 不閉,簡單閉曲線的性質約當定理,任意一條簡單閉曲線 C 將復平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三個互不相交的點集.滿足：,I(C),E(C),邊界,（1）I(C) 是一個有界區(qū)域（稱為C的內部）.,（2）E(C) 是一個無界區(qū)域（稱為C的外部）.,（3）C是I(C),E(C)的公共邊界.,定義8 光滑曲線:,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.,特點,（1）光滑曲線上的各點都有切線,（2）光滑曲線可以求長,定義9 單連通域與多連通域:,復平面上的一個區(qū)域D, 如果在其中任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內部總屬于D, 就稱為單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多（復）連通域.,單連通域,多連通域,解,無界的單連通域(如圖).,例2 指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是 無界的,單連通的還是多連通的.,是角形域,無界的單連通域(如圖).,無界的多連通域.,表示到1, 1的距離之和為定值4的點的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.,例3,滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域?,是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.,單連通域.,是多連通域.