數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于最小多項(xiàng)式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用.doc

關(guān)于最小多項(xiàng)式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用何小燕 摘要 本文利用矩陣多項(xiàng)式討論了最小多項(xiàng)式的某些性質(zhì)，得到計(jì)算最小多項(xiàng)式的一種可行方法，并以最小多項(xiàng)式為工具解決一些有關(guān)矩陣和線性變換的問(wèn)題，其方法簡(jiǎn)單易懂.關(guān)鍵詞 最小多項(xiàng)式 零化多項(xiàng)式 矩陣函數(shù) 矩陣多項(xiàng)式 0 引 言矩陣的最小多項(xiàng)式在矩陣相似、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的應(yīng)用，于是最小多項(xiàng)式的性質(zhì)也極其重要，但在文獻(xiàn)4中，對(duì)最小多項(xiàng)式的性質(zhì)討論較少，對(duì)它的應(yīng)用也較少的介紹，丘維聲在文獻(xiàn)1中討論了線性變換的最小多項(xiàng)式及應(yīng)用，而史榮昌、魏豐編在文獻(xiàn)2中討論的是在復(fù)數(shù)域上矩陣最小多項(xiàng)式的性質(zhì)，這些文獻(xiàn)都只討論了最小多項(xiàng)式的一小部分性質(zhì)，對(duì)它的應(yīng)用也是較為模糊.為了更好的理解最小多項(xiàng)式以及它的應(yīng)用，本文較系統(tǒng)的討論了矩陣的最小多項(xiàng)式在數(shù)域F上的一些性質(zhì)，并將它在矩陣對(duì)角化及矩陣函數(shù)方面的應(yīng)用例舉出來(lái)，具有很好的使用性，且使它的性質(zhì)及應(yīng)用更加易懂而明了.本文約定，以下討論的矩陣A都是數(shù)域上的n階矩陣.1 預(yù)備知識(shí) 在文獻(xiàn)1中定義了域F上線性空間V的一個(gè)線性變換的最小多項(xiàng)式，它是線性變換的所有零化多項(xiàng)式中次數(shù)最低且首相系數(shù)為1的那個(gè)零化多項(xiàng)式是線性變換的最小多項(xiàng)式，記為. 定理 線性空間V上的線性變換的最小多項(xiàng)式是唯一的. 定理 設(shè)是域F上線性空間V的線性變換，中的多項(xiàng)式是A的零化多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)是的最小多項(xiàng)式的倍式. 定理 設(shè)是域F上有線維線性空間V上的線性變換，則的最小多項(xiàng)式與特征在F中有相同的根（重?cái)?shù)可以不同）. 引理1 是維線性空間V上的線性變換. (1)若在V的某基下的矩陣是某多項(xiàng)式的伴侶陣，則的最小多項(xiàng)式是； (2)設(shè)的最高次的不變因子是，則的最小多項(xiàng)式是.2 最小多項(xiàng)式的定義及其性質(zhì)由上述線性變換最小多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)可以類似的定義矩陣A的最小多項(xiàng)式，為了引出矩陣A的最小多項(xiàng)式的定義，首先給出數(shù)域上矩陣A的多項(xiàng)式定義.定義 已知和變量的多項(xiàng)式則稱是A的矩陣多項(xiàng)式.和A同為數(shù)域上的n階方陣.定義 給定矩陣，如果多項(xiàng)式滿足,則稱是A的零化多項(xiàng)式.定義3 矩陣A的次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的零化多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式，記為.定理 設(shè)，則 (3) A的任一零化多項(xiàng)式都能被整除； (4) A的最小多項(xiàng)式是唯一的；(5) 相似矩陣的最小多項(xiàng)式相同. 引理2 相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式，但最小多項(xiàng)式相同的矩陣不一定相似. 如 A與B的最小多項(xiàng)式都等于，但是它們的特征多項(xiàng)式不同，因此和不是相似的. 定理 復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根.引理3 數(shù)域F上級(jí)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A的最小多項(xiàng)式是F上互素的一次因式的乘積.定理 設(shè)A是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣 并設(shè)的最小多項(xiàng)式為，的最小多項(xiàng)式為,那么A的最小多項(xiàng)式為，的最小公倍式. 引理4 設(shè),分別是的最小多項(xiàng)式，則A的最小多項(xiàng)式是的最低公倍式.證明：設(shè)是A的最小多項(xiàng)式，則于是，即是的零化多項(xiàng)式，因此是的公倍式. 另一方面，若是的最小公倍式，則，若不是的公倍式，則.證畢 引理5 級(jí)若爾當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式是.定理7 矩陣的最后一個(gè)不變因子即為其最小多項(xiàng)式.推論1 域F上n階矩陣A的最小多項(xiàng)式與A的特征多項(xiàng)式在F中有相同的根（重?cái)?shù)可以不同）.注：雖然，最小多項(xiàng)式和特征多項(xiàng)式的根相同，但由于重?cái)?shù)不一定相同，所以最小多項(xiàng)式不一定就是特征多項(xiàng)式推論2 設(shè)A是域F上的階矩陣，域E包含F(xiàn).則A的最小多項(xiàng)式與A的特證多項(xiàng)式在E中有相同的根（重?cái)?shù)可以不同）.推論3 設(shè)A是F域上的矩陣，域E包含域F，則如果是F域上的矩陣A的最小多項(xiàng)式，那么把A看成E域上的矩陣，它的最小多項(xiàng)式仍然是. 引理6 設(shè)A是上的n階矩陣. (6) 若矩陣A是某多項(xiàng)式的伴侶陣，則A的最小多項(xiàng)式是； (7) 設(shè)A的最高次的不變因子是，則A的最小多項(xiàng)式是. 證明：(6)設(shè)則A的不變因子為，.將分解為：則A的初等因子為，于是A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為，其中由于相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式，故得A最小多項(xiàng)式為從而A的最小多項(xiàng)式為. (7)A的最高次的不變因子就是A的第個(gè)不變因子，于是，由不變因子的性質(zhì)可知，又根據(jù)非常數(shù)不變因子可以得到矩陣A的有理標(biāo)準(zhǔn)形，由(6)的結(jié)果知A的最小多項(xiàng)式為，故A的最高次的不變因子就是A的最小多項(xiàng)式. 由引理6可得到計(jì)算n階矩陣A的最小多項(xiàng)式的一種計(jì)算方法，即計(jì)算以矩陣A為伴侶陣的多項(xiàng)式，則就是矩陣A的最小多項(xiàng)式，還可以得出另一種計(jì)算方法就是計(jì)算A的最高次的不變因子，此不變因子就是矩陣A的最小多項(xiàng)式。3 最小多項(xiàng)式的一些應(yīng)用 3.1 用最小多項(xiàng)式研究線性變換的矩陣表示線性變換的最小多項(xiàng)式在研究線性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示起著十分重要的作用.下面的例題就利用了這一性質(zhì)來(lái)解決矩陣的問(wèn)題.例1 設(shè)都是域上維線性空間上的線性變換，證明：如果都可以對(duì)角化，且它們兩兩可交換，那么中存在一個(gè)基，使得在此基下的矩陣都是對(duì)角矩陣.證明：對(duì)線性空間的維數(shù)作第二數(shù)學(xué)歸納法.時(shí)，在的基下的矩陣為級(jí)矩陣，從而是對(duì)角矩陣，.因此命題為真.假設(shè)對(duì)于維數(shù)小于的線性空間命題為真，現(xiàn)在來(lái)維線性空間的情形.由于可以對(duì)角化，因此 其中是的所有不同的特征值，若，則，從而是的數(shù)乘變換，它在的任何一個(gè)基下的矩陣都是數(shù)量矩陣，從而可以不必考慮，轉(zhuǎn)而去考慮.因此不妨設(shè).任給，由于與可交換，因此是的不變子空間，從而是上的線性變換，.由于兩兩可交換，因此兩兩可交換.設(shè)的最小多項(xiàng)式是.由式得，的的最小多項(xiàng)式為.由于可對(duì)角化，因此的最小多項(xiàng)式在中可分解成不同的一次因式的乘積，從而在中可分解成不同的一次因式的乘積，于是可對(duì)角化，.由于，因此對(duì)于上的線性變換在此基下的矩陣都為對(duì)角矩陣，于是在的基下的矩陣分別為.由此看出都是對(duì)角矩陣.由第二數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)一切正整數(shù)，命題成立.3.2 求解最小多項(xiàng)式及用其討論矩陣的相似對(duì)角化情況 例2 求矩陣的最小多項(xiàng)式.解：矩陣的特征多項(xiàng)式為 又 ， ， 而 所以 A的最小多項(xiàng)式為例3 求下述數(shù)域F上的級(jí)矩陣的最小多項(xiàng)式，并且判斷A是否可對(duì)角化.分析：利用最小多項(xiàng)式的定義就可求出的最小多項(xiàng)式，判斷一個(gè)矩陣A是否可對(duì)角化，一般是利用矩陣A的特征多項(xiàng)式求特征根，再計(jì)算A的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)是否等于它的代數(shù)重?cái)?shù)，若等于則可對(duì)角化，反之就不可.也可利用初等變換化成最簡(jiǎn)單形式進(jìn)行判斷，在這我們利用矩陣的最小多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行求解.解：先求A的特征多項(xiàng)式：因此A的最小多項(xiàng)式為，由引理3知A不可對(duì)角化. 3.3 最小多項(xiàng)式在矩陣函數(shù)中的應(yīng)用用最小多項(xiàng)式討論了矩陣函數(shù)在A的影譜上有定義，從而利用在A的影譜上有定義來(lái)討論矩陣函數(shù)的性質(zhì)，使討論矩陣函數(shù)的性質(zhì)更為簡(jiǎn)便.為了研究這個(gè)問(wèn)題及引進(jìn)矩陣函數(shù)的需要，我們首先給出關(guān)于函數(shù)在矩陣的譜上的定義.定義 設(shè),為的互不相等的特征值，A的最小多項(xiàng)式若函數(shù)具有足夠多階的導(dǎo)數(shù)值，且下列個(gè)值（稱在影譜上的值）都有確定的值，便稱函數(shù)在矩陣A的影譜上有定義.定理 設(shè)與為兩個(gè)不同的多項(xiàng)式，為階矩陣，則的充分必要條件是與在影譜上的值對(duì)應(yīng)相等，即為了探討最小多項(xiàng)式在矩陣函數(shù)中的應(yīng)用，下面給出矩陣函數(shù)的概念.定義 設(shè)函數(shù)在階矩陣的影譜上有定義，即是確定的值.若為一多項(xiàng)式，且滿足則矩陣函數(shù)定義為： 注意：由定理5知滿足上述定義的是不唯一的.矩陣函數(shù)是與相同階數(shù)的矩陣.下面利用最小多項(xiàng)式來(lái)討論矩陣函數(shù)的內(nèi)插多項(xiàng)式表示的性質(zhì).根據(jù)矩陣函數(shù)定義知道，函數(shù)的矩陣函數(shù)是用一個(gè)多項(xiàng)式的矩陣多項(xiàng)式來(lái)定義的，只要與在A的影譜上的值全相同，而根據(jù)數(shù)值計(jì)算課程知道，在諸多滿足要求的多項(xiàng)式中有一個(gè)次數(shù)最低的稱為拉格朗日西勒維斯特內(nèi)插多項(xiàng)式.設(shè)n階矩陣 A的最小多項(xiàng)式為 若函數(shù)在A的影譜上的值有定義，則的拉格朗日西勒維斯特內(nèi)插多項(xiàng)式是 其中 容易驗(yàn)證，多項(xiàng)式的次數(shù)為，且與在A的影譜上的值全相同.因此根據(jù)矩陣函數(shù)定義便有 稱式是矩陣的拉格朗日西勒維斯特內(nèi)插多項(xiàng)式表示.例4 設(shè) 試求矩陣函數(shù)的拉格郎日西勒維斯特內(nèi)插多項(xiàng)式表示并計(jì)算，.解：的最小多項(xiàng)式 ： 由式得 由式得，代入式得因此的拉格朗日西勒維斯特內(nèi)插多項(xiàng)式表示為當(dāng)時(shí)，代入式得當(dāng)時(shí)，代入式得總結(jié)：最小多項(xiàng)式具有廣泛的用途，除了以上利用最小多項(xiàng)式為工具討論矩陣對(duì)角化、矩陣函數(shù)等之外，還可以用它來(lái)探討伴隨陣及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形等的性質(zhì)，在矩陣中具有很重要的作用，值得我們認(rèn)真深入的研究最小多項(xiàng)式的性質(zhì)，使其更好的運(yùn)用于對(duì)矩陣的探討.本文在寫(xiě)作過(guò)程中曾得到指導(dǎo)老師吳炎教授的悉心指導(dǎo)，在此對(duì)吳教授表示衷心的感謝.參考文獻(xiàn)1丘維聲編著.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)M.下冊(cè),出版社：清華大學(xué)出版社，