《類時(shí)-頻分布》PPT課件.pptVIP

第4章 Cohen類時(shí)頻分布,4.1 前言 4.2 Wigner分布與模糊函數(shù) 4.3 Cohen類時(shí)頻分布 4.4 時(shí)頻分布所希望的性質(zhì) 及核函數(shù)的制約 4.5 核函數(shù)對(duì)時(shí)頻分布中 交叉項(xiàng)的抑制 4.6 減少交叉項(xiàng)干擾的核的設(shè)計(jì),4.1 前言,1966年，Cohen給出了時(shí)頻分布的更一般表示 形式： 式中 稱為時(shí)頻分布的核函數(shù)，也可以理解 為是加在原Wigner分布上的窗函數(shù)。不同的 ， 可以得到不同類型的時(shí)頻分布。 目前已提出的絕大部分具有雙線性形式的時(shí)頻 分布都可以看作是Cohen類的成員。,4.2 Wigner分布與模糊函數(shù),模糊函數(shù)定義 令 為一復(fù)信號(hào)，由定義 的瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)為 （4.2.1） 并定義 相對(duì) 的傅立葉變換 （4.2.2） 為 的WVD。,的對(duì)稱模糊函數(shù) 定義為 相對(duì)變 量 的傅立葉逆變，即： （4.3.3） 由（4.2.3）式，有 (4.2.4） 對(duì)該式兩邊取相對(duì)變量 的傅立葉變換，立即可得 （4.2.5） 該式說明，信號(hào)的WVD是其AF的二維傅立葉變換。,令 為一復(fù)信號(hào)，定義 ， 分別是作正、 負(fù)移位和正、負(fù)頻率調(diào)制所得到的新信號(hào)，即： （4.2.6a） （4.2.6b） 式中為時(shí)移，為頻移，顯然 (4.2.7） 即：模糊函數(shù)可理解為信號(hào)在作時(shí)移和頻率調(diào)制后的 內(nèi)積。,模糊函數(shù)的含義,當(dāng)將信號(hào) 發(fā)射出去并由一固定目標(biāo)作 無失真反射回來時(shí)，反射信號(hào)應(yīng)是 。 通過估計(jì)時(shí)間可知道從信號(hào)發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)的 距離。若目標(biāo)是移動(dòng)的，由多普勒效應(yīng)，還 將產(chǎn)生頻移，即接受到的信號(hào)應(yīng)是 。 因此，模糊函數(shù)在雷達(dá)理論中具有重要的作 用。,模糊函數(shù)的性質(zhì)：,.若 ， 則 （4.2.8） 2. 若 ， 則 （4.2.9） 的最大值始終在平面 的原點(diǎn)，且該最大值即 是信號(hào)的能量，即： （4.2.10） 如果我們?cè)俣x （4.2.11）,為 的“瞬時(shí)”譜自相關(guān)，式中為的FT，則： （4.2.12） （4.2.13） 且 （4.2.14）,WVD和AF的本質(zhì)區(qū)別： 不論 是實(shí)信號(hào)還是復(fù)信號(hào)，其WVD始終是實(shí)信號(hào)，但其模糊函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)。 兩個(gè)信號(hào) ， 的互WVD滿足 （4.2.15a） 而其互AF不存在上述關(guān)系，即 （4.2.15b）,WVD和AF分別處在不同的“域”： ：時(shí)頻域，對(duì)應(yīng) ：瞬時(shí)自相關(guān)域，對(duì)應(yīng) ：“瞬時(shí)”譜自相關(guān)域，對(duì)應(yīng) ：模糊函數(shù)域，對(duì)應(yīng) 之所以稱 為“模糊函數(shù)”，是因?yàn)?和 分 別對(duì)應(yīng)了頻域的“頻移”和時(shí)域的“時(shí)移”。,圖4.2.1 WVD和AF的關(guān)系,舉例說明 和 在 和 平面上的位置的不同 例4.2.1 令 （4.2.16） 我們?cè)诶?.3.5中已求出其WVD是 （4.2.17） 同樣可求出其模糊函數(shù)是 （4.2.18）,分析結(jié)論： （1） 是實(shí)函數(shù)，而 是復(fù)函數(shù)； （2） 的中心在 處，它是一高斯型函數(shù)，時(shí)域、頻域的擴(kuò)展受 的控制； 的中心在 處，其幅值也是高斯型函數(shù)，且受到一復(fù)正弦的調(diào)制。該復(fù)正弦在 和 軸方向上的震蕩頻率由 和 所控制。這就是說， 和 并不影響 的中心位置，影響的只是其震蕩速度。,例4.2 令 （4.2.19） 其模糊函數(shù)（AF）： (4.2.20) 及 是 的AF的互項(xiàng)，其中： （4.2.21） 式中 ， ， ， 因此 的中心為 的中心為,4.2.2 x(t) 的模糊函數(shù)與時(shí)頻分布, (a) 模糊函數(shù), (b) 時(shí)頻分布,將WVD的互項(xiàng)及（4.2.21）式均寫成極坐標(biāo)的形式，即： （4.2.22a） （4.2.22b） 由（4.2.21）式，有 （4.2.23a） 由（3.5.2）式，有 （4.2.23b）,上式結(jié)果表明： WVD互項(xiàng)的相位對(duì) 和 的偏導(dǎo)數(shù)分別對(duì)應(yīng)于該信 號(hào)模糊函數(shù)的互項(xiàng)的中心坐標(biāo)，即 。AF中互項(xiàng)的位 置直接反映了WVD中交叉項(xiàng)的震蕩狀況。WVD中交叉項(xiàng)震 蕩越厲害，那么，AF中互項(xiàng)的中心距 平面的原點(diǎn)越 遠(yuǎn)，反之，我們由AF互項(xiàng)的中心位置又可大致判斷WVD互 項(xiàng)的震蕩程度。,WVD和AF各自互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置及它們互項(xiàng)間的關(guān) 系提供了一個(gè)抑制WVD中交叉項(xiàng)的有效途徑，即： （1）首先對(duì) 求模糊函數(shù)，由于 的自項(xiàng)始終在平面 的原點(diǎn)處，而互項(xiàng)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，因此，我們可設(shè)計(jì)一個(gè) 平面的低通濾波器對(duì) 濾波，從而有效地抑制了 中的交叉項(xiàng)； （2）對(duì)濾波后的AF按（4.2.5）式作二維傅立葉變換，得到 。這時(shí) 的已是被抑制了交叉項(xiàng)的新WVD。,AF中越是遠(yuǎn)離原點(diǎn)的交叉項(xiàng)，在 的作用下，抑制的效果越明顯。,圖4.2.3 同一信號(hào)AF及WVD互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置示意圖,4.3 Cohen類時(shí)頻分布,時(shí)頻分布形式 令 ，Cohen類分布的統(tǒng)一表示形式變?yōu)?（4.3.1） 即Wigner分布是Cohen類的成員，且是最簡(jiǎn)單的一種。,Rihaczec分布 Page分布 ChoiWillams分布 BornJordan分布,Cohen類分布的其它表示形式 1、用 的頻譜 表示，即 2、用模糊函數(shù)表示 （4.3.2） （4.3.3） 3、用WVD表示 （4.3.4）,4、用廣義模糊函數(shù)表示 在（4.3.3）式中，定義 （4.3.5） 為信號(hào)的廣義模糊函數(shù)，那么 （4.3.6） 5、用廣義時(shí)間相關(guān)表示 定義時(shí)間自相關(guān)域的核函數(shù)為： （4.3.7） 則廣義時(shí)間自相關(guān)定義為： （4.3.8）,（4.3.9） 6、用廣義譜自相關(guān)表示。定義 （4.3.10） 為譜自相關(guān)域的核函數(shù)，那么廣義譜自相關(guān)定義為： （4.3.11） 這樣， 可表為 的傅立葉逆變換，即： （4.3.12）,Cohen類時(shí)頻分布的六種表達(dá)形式，歸納起來可分為四類： 和 在域 內(nèi)的卷積（4.3.4）； 廣義模糊函數(shù)的 傅立葉變換（4.3.5）、（4.3.6）及（4.3.3）； 瞬時(shí)時(shí)間自相關(guān) 和時(shí)間自相關(guān)域核函數(shù) 在t方向上卷積后的 傅立葉變換(4.3.7）（4.3.9）； 瞬時(shí)譜自相關(guān) 和譜自相關(guān)域核函數(shù) 在 方向上卷積的傅立葉變換（4.3.10）（4.3.12）。,由Moyals公式，可以證明，圖譜也是Cohen 類的成員，即： （4.3.13） 式中 是作STFT時(shí)所用時(shí)域窗函數(shù) 的WVD。比 較（4.3.4）式， 對(duì)應(yīng) ，它應(yīng)是某一模 糊函數(shù)的2-D傅立葉變換。,表4.3.1 已知時(shí)頻分布及其核函數(shù),4.4 時(shí)頻分布所希望的性質(zhì)及 對(duì)核函數(shù)的制約,由表4.3.1可以看出，給出不同的核函數(shù)可以得 到不同的分布。因此，通過對(duì)核函數(shù)的性能的分析， 可以考察其時(shí)頻分布的能性，可以得到一個(gè)新的分 布，對(duì)核函數(shù)施加一些制約條件，有可能得到我們所 希望的時(shí)頻分布的性質(zhì)。表4.4.1列出了這些性質(zhì) 及對(duì)核函數(shù)的制約 。,表4.4.1 所希望的時(shí)頻分布的性質(zhì)及對(duì)核函數(shù)的制約,表4.4.2 六個(gè)時(shí)頻分布滿足性質(zhì)情況比較,Y-Yes,性質(zhì) 及對(duì)核函數(shù) 的要求 給出一些解釋 ，時(shí)頻分布的非負(fù)性，即 但遺憾的是，對(duì)已知的許多分布，它們并不滿足這一性 質(zhì)。如表4.4.2中的六個(gè)分布，只有譜圖總是正的。 條件 指出，若想保證Cohen類的某一成員是恒正 的分布，則 應(yīng)是某一函數(shù)的模糊函數(shù)。,實(shí)值性，即 ， ： 證明：由（4.1.1）式， 令 ， ，則上式變?yōu)?顯然，如要求 ，必有,時(shí)移： ：若 ，則 ： 不決定于 證明：因?yàn)?處于 域，和t無關(guān)，所以它不影 響分布的時(shí)移性質(zhì)； 頻移： ：若 ，則 ： 與無關(guān) 性質(zhì) 與 稱為Cohen類時(shí)頻分布的 “移不變”性質(zhì)，它包含了時(shí)移和頻移 。,時(shí)間邊緣條件，即 ： ： 頻率邊緣條件，即 ： ：,瞬時(shí)頻率與 的關(guān)系，即 ： ： 及 群延遲與 的關(guān)系，即 ： ： 及,時(shí)域支撐范圍，即 ：若 時(shí)， ，希望 ，對(duì) ： 頻域支撐范圍，即 ： 若 時(shí)， ，希望 ： ：減少交叉項(xiàng)干擾 ： 是 平面上的2D低通函數(shù)。,給定一個(gè)信號(hào) ，記其時(shí)頻分布為 。假定 在 和 的范圍內(nèi)為零，若 在 和 的范 圍內(nèi)也為零，則 稱具有弱有限時(shí)間支撐性質(zhì)。同理， 假定 在 之外為零，若 在 也為 零，則稱 具有弱有限頻率支撐性質(zhì)。 和 指的是 弱有限支撐。 若信號(hào) 分段為零， 在 為零的區(qū)間內(nèi)也為 零，則 稱具有強(qiáng)有限時(shí)間支撐性質(zhì)。強(qiáng)有限支撐的含 義是：只要 為零，在所對(duì)應(yīng)的時(shí)間段內(nèi) 恒為零。 同理可定義強(qiáng)有限頻率支撐。,4.5核函數(shù)對(duì)時(shí)頻分布中交叉項(xiàng)的抑制,單分量信號(hào)和多分量信號(hào)的區(qū)別是在任意固定的 時(shí)刻，該信號(hào)的瞬時(shí)頻率 是單值的還是多值的。 一個(gè)多分量信號(hào)又可表為單分量的和，即： (4.5.1) 式中 都是單分量信號(hào)，因此 （4.5.2),相應(yīng)的時(shí)頻分布 （4.5.3） 也由自項(xiàng)和互項(xiàng)所組成?；ロ?xiàng)即是交叉項(xiàng)，它是對(duì)真 正時(shí)頻分布的干擾，應(yīng)設(shè)法將其去除或盡量減輕。 減輕 中交叉項(xiàng)的一個(gè)有效途徑是通過的模糊 函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。 的廣義模糊函數(shù)： （4.5.4） 核函數(shù) 取平面 上的2-D低通函數(shù)?？扇コ?或抑制時(shí)頻分布中的交叉項(xiàng)。,舉例說明核函數(shù) 對(duì)交叉項(xiàng)的效果 例 指數(shù)核 （4.5.7) 其相應(yīng)的TF分布稱為指數(shù)分布（ED），屬于Cohen類。 顯然 ， ，且當(dāng) 和 同時(shí)不為零 時(shí) 。 為常數(shù)。 越大，自項(xiàng)的分辨率越高， 越小， 對(duì)交叉項(xiàng)的抑制越大。因此， 的取值應(yīng)在自項(xiàng)分辨率和交叉項(xiàng) 的抑制之間取折中，并視信號(hào)的特點(diǎn)而定。若信號(hào)的幅度和頻 率變化得快，應(yīng)取較大的 ，反之取較小 。 的取值推薦在 0.110之間。當(dāng) 時(shí)， ，ED變成WVD，可以有 效地抑制交叉項(xiàng)，但不能保證性質(zhì) 和 。,ED對(duì)應(yīng)的時(shí)域的核為 （4.5.8） 相應(yīng)的時(shí)頻分布是 （4.5.9）,例4.5.1 令 由三個(gè)時(shí)頻“原子”組成， 和 具有相同的歸一化頻率（0.4），但具有不同的時(shí)間位置（分 別是32和96）。令 和 具有相同的時(shí)間位置，但歸一 化頻率為0.1。 的時(shí)域波形如圖4.5.1a所示，其理想的時(shí) 頻分布如圖4.5.1b所示。其WVD如圖4.5.1c所示。圖c中存在 著由這三個(gè)“原子”兩兩產(chǎn)生的共三個(gè)交叉項(xiàng)。圖4.5.1d是 的模糊函數(shù)。圖4.5.1e是指數(shù)核 的等高線圖，,圖4.5.1（a） 的時(shí)域波形 圖4.5.1 （b） 理想時(shí)頻分布,圖4.5.1(c ) 的WVD,可以看到，圖中存在著由這三個(gè)“原子”兩兩產(chǎn)生的共三個(gè)交叉項(xiàng),AF的自項(xiàng)位于中心，在 軸和 軸上各有兩個(gè)互項(xiàng)，在 第二和第四象限也各有一個(gè)互項(xiàng)，因此，該信號(hào)的AF共有6個(gè)互項(xiàng)。,圖4.5.1（d） 的模糊函數(shù),圖4.5.1(e) 指數(shù)核 的等高線圖,它在原點(diǎn)最大，在 軸和 軸上恒為1。改變 ，可 調(diào)節(jié)坐標(biāo)軸兩邊兩個(gè)等高線的距離。 越大，距離越 大，反之距離越小。,在第二和第四兩個(gè)象限的互項(xiàng)已被去除，在 軸和 軸上的 四個(gè)互項(xiàng)在圖中體現(xiàn)出來，但實(shí)際上也被抑制。,圖4.5.1(f),圖4.5.1g 是用ED求出的 的時(shí)頻分布,交叉項(xiàng)較之圖4.5.1b的WVD，已大大減輕,4.6 減少交叉項(xiàng)干擾的核的設(shè)計(jì),如果 可以寫成變量 ， 的積的函數(shù)， 即 那么該核函數(shù)稱為“積核”，在表4.3.1中 ， ，sinc 及ED核都是積核。 如果 可以寫成 各自函數(shù)的積， 即 那么 稱為可分離的核。,定義,可分離核的計(jì)步驟： 步驟1 設(shè)計(jì)一個(gè)基本函數(shù) ，使?jié)M足下述條件： （a） 有單位面積，即 ； （b） 為偶對(duì)稱，即 ； （c） 是時(shí)限的，即當(dāng) 時(shí) 。 （d） 以t=0為中心向邊際平滑減少，以保證含有較少 的高頻分量。 步驟2 取 的傅立葉變換，即 步驟3 用 代替 中的 ，得到積核函數(shù) （4.6.1）,按以上原則設(shè)計(jì)出的核 ，所對(duì)應(yīng)的分布稱為減少 干擾分布，即RID。RID主要強(qiáng)調(diào)如何抑制交叉項(xiàng)干擾，但同 時(shí)也兼顧時(shí)頻分布的其它性質(zhì)。 式（4.6.1）的核函數(shù) ，條件（a）對(duì)應(yīng) 和 ，條 件（b）保證了 ， 和 ?，F(xiàn)在考察條件（c）。現(xiàn)將 （4.6.1）兩邊相對(duì)作傅立葉變換，即 （4.6.2） 按傅立葉變換的變量加權(quán)性質(zhì)，有 （4.6.3）,因此條件（c）意味著滿足 和 。 條件（d）的目的是用以減少交叉項(xiàng)干擾，即令 是 平面的2D低通函數(shù)，因此條件（d）滿足 。 不同 所對(duì)應(yīng)的TF分布形式 若 ，那么 ，對(duì)應(yīng)的分布是WVD。 滿足條件（a）、（b）和（c），但不滿足（d）， 因此WVD不具備性質(zhì) 及相應(yīng)的制約 。 若 ，則 ，此為復(fù)數(shù)核形式的Rihaczek分布， 滿足條件（a）和（c），不滿足條件（b）和（d）。,若 ，則 ，對(duì)應(yīng)ReRihaczek分布， 也只滿足條件（a）（c），不滿足（d），所以該分布也和WVD一樣，滿足 ，不滿足 及相應(yīng)的制約 若對(duì) ， 則 ，對(duì)應(yīng)BornJordn分布， 滿足條件（a）（d），所以該分布滿足性質(zhì) 。 若 ，此 對(duì)應(yīng)ChoiWillams分布， 滿足條件（a），（b）和（d），所以相應(yīng)的TF分布有性質(zhì) 和,設(shè)計(jì)思路及所得核在四個(gè)域內(nèi)的形狀 Born