2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明1.1.2類比推理教案（含解析）北師大版.docx

12類比推理類比推理三角形有下面兩個(gè)性質(zhì)：(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積等于高與底乘積的.問(wèn)題1：你能由三角形的這兩個(gè)性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)嗎？試寫(xiě)出來(lái)提示：(1)四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)四面體的體積等于底面積與高乘積的.問(wèn)題2：由三角形的性質(zhì)推測(cè)四面體的性質(zhì)體現(xiàn)了什么？提示：由一類事物的特征推斷另一類事物的類似特征，即由特殊到特殊定義特征由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，把這種推理過(guò)程稱為類比推理.類比推理是兩類事物特征之間的推理.合情推理合情推理的含義(1)合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式(2)歸納推理和類比推理是最常見(jiàn)的合情推理1類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠；2類比推理以舊的知識(shí)作為基礎(chǔ)，推測(cè)新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)功能平面圖形與空間幾何體的類比例1找出圓與球的相似性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)(1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦；(2)與圓心距離相等的兩弦長(zhǎng)相等；(3)圓的周長(zhǎng)Cd(d是直徑)；(4)圓的面積Sr2.思路點(diǎn)撥先找出相似的性質(zhì)再類比，一般是點(diǎn)類比線、線類比面、面積類比體積精解詳析圓與球有下列相似的性質(zhì)：(1)圓是平面上到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；球面是空間中到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合(2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對(duì)稱圖形；球是空間中封閉的曲面所圍成的對(duì)稱圖形通過(guò)與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測(cè)球的有關(guān)性質(zhì).圓球圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面(不經(jīng)過(guò)球心的小圓面)圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩條弦長(zhǎng)相等與球心距離相等的兩個(gè)截面的面積相等圓的周長(zhǎng)Cd球的表面積Sd2圓的面積Sr2球的體積Vr3一點(diǎn)通解決此類問(wèn)題，從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何中，相關(guān)類比點(diǎn)如下：平面圖形立體圖形點(diǎn)點(diǎn)、線直線直線、平面邊長(zhǎng)棱長(zhǎng)、面積面積體積三角形四面體線線角面面角平行四邊形平行六面體圓球1下面類比結(jié)論錯(cuò)誤的是()A由“若ABC一邊長(zhǎng)為a，此邊上的高為h，則此三角形的面積Sah ”類比得出“若一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為R，則此扇形的面積SlR”B由“平行于同一條直線的兩條直線平行”類比得出“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行”C由“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行”類比得出“在空間中，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行”D由“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比得出“凸四邊形的三邊之和大于第四邊”解析：選C只有C中結(jié)論錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)平面還有可能相交2.如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為abcos Cccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫(xiě)出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想解：如圖所示，在四面體PABC中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為SS1cos S2cos S3cos .定義、定理與性質(zhì)的類比例2類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)精解詳析兩實(shí)數(shù)相加后，結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，兩向量相加后，結(jié)果仍是向量；從運(yùn)算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律，即：abba，abba，(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)；從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即減法運(yùn)算，即ax0與ax0都有唯一解，xa與xa；在實(shí)數(shù)加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小，即a0a.在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變?cè)撓蛄康拇笮?，也不改變?cè)撓蛄康姆较?，即a0a.一點(diǎn)通運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對(duì)象，本例中實(shí)數(shù)加法的對(duì)象為實(shí)數(shù)，向量加法的對(duì)象為向量，且都滿足交換律與結(jié)合律，都存在逆運(yùn)算，而且實(shí)數(shù)0與零向量0分別在實(shí)數(shù)加法和向量加法中占有特殊的地位因此我們可以從這四個(gè)方面進(jìn)行類比3試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)并填寫(xiě)下表.等式不等式abacbcabacbcaba2b2答案：abacbcabacbc(c0)ab0a2b2(說(shuō)明：“”也可改為“”)4已知等差數(shù)列an的公差為d，am，an是an的任意兩項(xiàng)(nm)，則d，類比上述性質(zhì)，已知等比數(shù)列bn的公比為q，bn，bm是bn的任意兩項(xiàng)(nm)，則q_.解析：anamqnm，q.答案：1類比推理先要尋找合適的類比對(duì)象，如果類比的兩類對(duì)象的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠2歸納推理與類比推理都是合情推理歸納推理是從特殊過(guò)渡到一般的思想方法，類比推理是由此及彼和由彼及此的聯(lián)想方法，歸納和類比離不開(kāi)觀察、分析、對(duì)比、聯(lián)想，許多數(shù)學(xué)知識(shí)都是通過(guò)歸納與類比發(fā)現(xiàn)的1下列哪個(gè)平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對(duì)象較合適()A三角形B梯形C平行四邊形 D矩形解析：選C從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對(duì)象較為合適2設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體PABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體PABC的體積為V，則r()A. B.C. D.解析：選C設(shè)內(nèi)切球的球心為O，所以可將四面體PABC分為四個(gè)小的三棱錐，即OABC，OPAB，OPAC，OPBC，而四個(gè)小三棱錐的底面積分別是四面體PABC的四個(gè)面的面積，高是內(nèi)切球的半徑，所以VS1rS2rS3rS4r(S1S2S3S4)r，r.3已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929Da1a2a929解析：選D類比等比數(shù)列bn中b1b2b3b9b，可得在等差數(shù)列an中a1a2a99a592.4類比三角形中的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊；中位線長(zhǎng)等于底邊長(zhǎng)的一半；三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；過(guò)四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對(duì)的面面積的；四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有()A BC D都不對(duì)解析：選C以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確5在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則，將命題類比到四面體中去，得到一個(gè)命題為：_.解析：平面中線段的中點(diǎn)類比到空間為四面體中面的重心，頂點(diǎn)與中點(diǎn)的連線類比頂點(diǎn)和重心的連線答案：在四面體ABCD中，G是BCD的重心，則6運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問(wèn)題：如果與一條固定直線平行的直線被甲、乙兩個(gè)封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍你可以從給出的簡(jiǎn)單圖形中體會(huì)這個(gè)原理現(xiàn)在圖中的兩個(gè)曲線方程分別是1(ab0)與x2y2a2，運(yùn)用上面的原理，圖中橢圓的面積為_(kāi)解析：由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為，即k，所以橢圓面積Sa2ab.答案：ab7在RtABC中，若C90，則cos2Acos2B1，在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想解：如圖，在RtABC中，cos2Acos2 B221.于是把結(jié)論類比到四面體PABC中，我們猜想，三棱錐PABC中，若三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PCA兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為，則cos2cos2cos21.8在公比為4的等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，則，也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項(xiàng)和(1)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；(2)寫(xiě)出該結(jié)論一個(gè)更為一般的情形(不必證明)解：(1)在公差為3的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的證明如下：等差數(shù)列an的公差d3，(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)10d10d100d300，10個(gè)同理可得：(S40S30)(S30S20)300，所以數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30是等差數(shù)列，且公差為300.(2)在公差為d的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項(xiàng)和，則對(duì)于任意kN，數(shù)列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k也成等差數(shù)列，且公差為k2d.9先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題：已知a1，a2R，a1a21，求證aa.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2，則f(x)2x22(a1a2)xaa2x22xaa.因?yàn)閷?duì)一切xR，恒有f(x)0，所以