2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量章末小結(jié)與測(cè)評(píng)教案（含解析）新人教A版.docx

第二章 平面向量考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1平面向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律(1)向量加法是由三角形法則定義的，要點(diǎn)是“首尾相連”，即；向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點(diǎn)，分別為鄰邊作平行四邊形，則同起點(diǎn)對(duì)角線的向量即為向量的和加法滿足交換律、結(jié)合律(2)向量減法實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算，是相反向量的作用幾何意義有兩個(gè)：一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對(duì)角線的向量注意兩向量要移至共起點(diǎn)(3)數(shù)乘運(yùn)算即通過(guò)實(shí)數(shù)與向量的乘積，實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長(zhǎng)度的伸縮變換2向量共線及平面向量基本定理(1)共線向量定理：向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.共線向量定理是證明平行的主要依據(jù)，也是解決三點(diǎn)共線問(wèn)題的重要方法特別地，平面內(nèi)一點(diǎn)P位于直線AB上的條件是存在實(shí)數(shù)x，使x ，或?qū)χ本€外任意一點(diǎn)O，有xy (xy1)(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共線，那么對(duì)于平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1，2，使a1e12e2.其中e1，e2是平面的一組基底，e1，e2分別稱為基向量由定理可知，平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示出來(lái)，而且任意兩個(gè)不共線的非零向量都可以作為基底典例1如圖，梯形ABCD中，ABCD，點(diǎn)M、N分別是DA、BC的中點(diǎn)，且k，設(shè)e1，e2，以e1、e2為基底表示向量、.解：e2，且k，k ke2.0，e1(k1)e2.又0，且，e2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖，在ABC中， ，BQ與CR相交于點(diǎn)I，AI的延長(zhǎng)線與邊BC交于點(diǎn)P.(1)用和分別表示和；(2)如果，求實(shí)數(shù)和的值；(3)確定點(diǎn)P在邊BC上的位置解：(1)由，可得，又 ，所以 .(2)將， ，代入，則有，即(1) (1) .所以解得(3)設(shè)m，n.由(2)，知 ，所以nn mmm ，所以解得所以，即2，P是邊BC上靠近C的三等分點(diǎn)考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab(a1b1，a2b2)；ab(a1b1，a2b2)；a(a1，a2)；aba1b1a2b2；aba1b1，a2b2(R)，或(b10，b20)；aba1b1a2b20；|a|；若為a與b的夾角，則cos .典例2(1)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A. B. C. D.(2)已知向量a(1，m)，b(m,2), 若ab, 則實(shí)數(shù)m等于()A B. C或 D0(3)已知點(diǎn)A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B. C D解析：(1)由已知，得(3，4)，所以| |5，因此與同方向的單位向量是 .(2)ab的充要條件的坐標(biāo)表示為12m20，m，選C.(3) (2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為| |cos，| |，故選A.答案：(1)A(2)C(3)A對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y()A13 B13 C9 D9(2)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，則a與c的夾角為()A30 B60 C120 D150解析：(1) (8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.(2)ab10，則(cb)acabaca10，所以ca，設(shè)a與c的夾角為，則cos ，又0，180，所以120.答案：(1)D(2)C考點(diǎn)三平面向量的數(shù)量積1兩向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律兩個(gè)向量的數(shù)量積是ab|a|b|cos ，為a與b的夾角，數(shù)量積滿足運(yùn)算律：與數(shù)乘的結(jié)合律，即(a)b(ab)；交換律，即abba；分配律，即(ab)cacbc.2平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長(zhǎng)度是向量的數(shù)量特征3利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長(zhǎng)度等典例3已知cmanb，c(2，2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a|2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角.解：c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44，|b|2.cmanb，c2macnbc.16n(4)n4.在cmanb兩邊同乘以a，得08m4ab.在cmanb兩邊同乘以b，得mab12.由，得m.ab2.cos .或.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知單位向量a，b的夾角為，則|a2b|_.(2)已知e為單位向量，|a|4，a與e的夾角，則a在e方向上的投影為_(3)已知在ABC中，A，AB2，AC4， ，則的值為_解析：(1)單位向量a，b的夾角為，|a2b|2a24ab4b21411cos 41243，|a2b|.(2)因?yàn)閍在e方向上的投影為|a|cos ，|a|4，a與e的夾角為，所以|a|cos 4cos 42.(3)因?yàn)樵贏BC中