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9 關于實數(shù)的連續(xù)性 與完備性的進一步 討論,單調有 界定理,確 界 定 理,閉區(qū)間 套定理,有限覆 蓋定理,列緊性 定 理,Cauchy 收斂定理,等價定理可相互證明,定義9.1 （集合的聚點）,則稱 為 的聚點.,等價的敘述:,都含有 中無窮多個點，則稱 為 的聚點.,定理9.1 (聚點定理),證：,實數(shù)軸上任何一個有界無限點集至少有一個聚點.,定理9.2 利用聚點定理證明列緊性定理,證明： 設 為一個有界無窮點列，若 只有有限 多個數(shù)組成，則它必有無窮多項等于同一個數(shù)，此時定 理自然成立。 下設 有無窮多個互不相同的數(shù)組成，則集合 就是數(shù)軸上的一個有界無窮點集，它存在一個聚點，設 為 。與聚點的定義知，對任意的正整數(shù)k，在 中必有 的無窮多項，我們可以取 的子列 易見 。,定理9.3 利用有限覆蓋定理證明聚點定理,證：反證法：,設有界無限點集S無聚點，則由S有界知,矛盾,定理9.4,證：,用Cauchy收斂原理證明確界定理.,作業(yè),習題1.9 4,

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