函數(shù)的連續(xù)性(101).ppt

第七講 函數(shù)的連續(xù)性,內(nèi)容提要 1.函數(shù)的連續(xù)性； 2. 函數(shù)的間斷點； 3. 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性； 4.反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性； 5. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,1. 理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，了解函數(shù)在一點處的左、右連續(xù)概念以及函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)的概念； 2. 會判斷函數(shù)間斷點及其類型； 3.了解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，知道反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，知道連續(xù)函數(shù)的保號性，了解初等函數(shù)的連續(xù)性； 4.掌握用連續(xù)性計算初等函數(shù)的極限； 5.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大、最小值定理,熟練掌握介值定理.,教學(xué)要求,改變量,(可正可負(fù)),的改變量 ,（可正可負(fù)),當(dāng)自變,一、函數(shù)的連續(xù)性,1. 自變量的改變量和函數(shù)的改變量,（1）自變量的改變量,（2）函數(shù)的改變量,注:,y,x,D,D,分別為整體記號,不能理解為,及,曲線上相應(yīng)點的縱坐標(biāo)的改變量。,定義1,如果,在上述定義中,從而,定義2,如果,2.函數(shù)在點,處的連續(xù)性,指出:,定義1與定義2是等價的.,證明,因為,結(jié)論:,練習(xí),證,由定義1知,右連續(xù)但不左連續(xù) ,在左端,則稱,函數(shù)連續(xù)點的全體所構(gòu),稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。,在連續(xù)區(qū)間上,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。,證明,由極,限的運算法則和連續(xù)的定義可得連續(xù)函數(shù)的運算法則：,法則1,則,點連續(xù)。,即,單調(diào)連續(xù)函數(shù)的,反函數(shù)在其對應(yīng)的區(qū)間上是連續(xù)的。,應(yīng)用函數(shù)連續(xù)的定義與上述兩個法則，,可以證明,則,法則3 說明連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)，,并可得如下結(jié)論：,例如,法則,解,故,指出:,解,解,練習(xí),定理,則,這表明:,對連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點求極限,只需求該點函數(shù)值.,由以上法則，可得：,解,因此，初等函數(shù)的定義區(qū)間就是它的連續(xù)區(qū)間。,練習(xí),求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求極限：,解1,解2,二、函數(shù)的間斷點,點。,間斷點分類,：,按左、右極限是否,都存在來分類。,（一）第一類間斷點,(左、右極限均存在),但不相等;,2.跳躍間斷點,1.可去間斷點,（二）第二類間斷點,右極限,對于可去間斷點，,我們可以補充,或改變,指出：,由于,二類間斷點。,（無窮型間斷點）,解,練習(xí),是可去間斷點,則補充或改變定義,使函數(shù)在該點連續(xù)。,如果,解,解,三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),我們不證明，只給出幾何說明。,即在閉區(qū)間,使得,也不存在最小值。,也不存在最小值。,是連續(xù)函數(shù),【注意】,定理的結(jié)論不一定成立。,(1),對開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或閉區(qū)間上有,它的最大值是,點上取得。,則對于滿足,使得,定理2指出：,則至少存在一點,幾何意義：,例,實根。,證明,故,根據(jù)推論可知，,至少存在一點,由推論知：,練習(xí),證明,證明,小結(jié),1. 函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,5. 間斷點的分類與判別;,2. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:,無窮型,振蕩型.,間斷點,6. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,可去型,跳躍型.,第二類間斷點:,3. 連續(xù)函數(shù)的運算法則