函數(shù)的連續(xù)性(109).ppt

一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理5（最值定理） 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則它在這個(gè)區(qū)間上一定有最大值和最小值.,例如，在圖19中， 在 上連續(xù)，在點(diǎn) 處取得最小值 ，在點(diǎn) 處取得最大值 .,應(yīng)注意的問(wèn)題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn) 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,例如 函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b)內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值,推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在 該區(qū)間上有界.,定理6 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) m和M分別是f(x)的最小值和最大值則對(duì)于m和之間任意一個(gè)數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f(x)= C.,x1,x,x2,y= C,mCM,C,推論(根的存在定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號(hào) 那么在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f(x)=0,證 因?yàn)楹瘮?shù) 是初等函數(shù)，,例1,由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn) 使,所以，在閉區(qū)間0,1上連續(xù). 且f(0)=10，f(1)=20,二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類,定義 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的一個(gè)鄰域有定義(在 x0 可以沒有定義)，,則稱 x0 是函數(shù) y = f (x) 的間斷點(diǎn). 也稱函數(shù)在該點(diǎn)間斷.,如果函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處不連續(xù)，,由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果 在點(diǎn) 處有下 列三種情形之一，則點(diǎn) 為 的一個(gè)間斷點(diǎn).,（1） 在 點(diǎn)沒有定義，即 不存在；,（2） 不存在；,（3） 雖然存在，但,函數(shù) 在點(diǎn) 處無(wú)定義，所以在點(diǎn) 處 間斷， 是函數(shù) 的間斷點(diǎn).見圖16,函數(shù) 在 有定義，但， ，所以 不存在，因此 在 處不 連續(xù).見圖17,函數(shù) 在 時(shí)有定義，但 顯然 ，所以在 不連續(xù).,在以上幾個(gè)例子中,函數(shù)在指定點(diǎn)均不連續(xù)，但情況卻各有不同.,1.跳躍間斷點(diǎn),例1,解,2.可去間斷點(diǎn),例2,解,如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,特點(diǎn),注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,3.第二類間斷點(diǎn),例3,解,例4,解,例5 、研究下列函數(shù)在x=0的連續(xù)性，若是間斷的，指出間斷點(diǎn)類型。,解：1),（a為任意實(shí)數(shù)）,例5 、研究下列函數(shù)在x=0的連續(xù)性，若是間斷的，指出間斷點(diǎn)類型。,解：2),例5 、研究下列函數(shù)在x=0的連續(xù)性，若是間斷的，指出間斷點(diǎn)類型。,