幾何直觀與教學(xué)啟示2014-9).ppt

幾何直觀思想及其對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示 西北師范大學(xué)教育學(xué)院 張定強(qiáng) 2014年10月21日,分享哲人的思想,如果誰(shuí)不知道正方形的對(duì)角線同邊是不可通約的量，那他就不值得人的稱(chēng)號(hào)。柏拉圖 感覺(jué)到數(shù)學(xué)的美，感覺(jué)到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺(jué)到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感 覺(jué)。 龐加萊,摘要 第一部分 參與式研討 第二部分 總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟示 一、幾何直觀思想的基本含義 二、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示,第一部分 參與式研討 活動(dòng)：探討幾何直觀思想的含義及價(jià)值 目標(biāo)：閱讀材料，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)實(shí)分享對(duì)幾何直觀思想的認(rèn)識(shí)；形成對(duì)幾何直觀思想的共識(shí)；總結(jié)出幾何直觀思想對(duì)教學(xué)啟示。 時(shí)間：90分鐘,過(guò)程： 、閱讀所發(fā)材料，作為引子（從錯(cuò)誤處入手），各自獨(dú)立的在紙上寫(xiě)出對(duì)幾何直觀思想的理解，并梳理出這種思想對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用與價(jià)值。 、組長(zhǎng)負(fù)責(zé)，在小組內(nèi)交流各自的看法，相互探討，形成小組內(nèi)的看法（幾何直觀思想的含義、對(duì)教學(xué)的啟示），記錄員整理，發(fā)言人準(zhǔn)備發(fā)言。 、展示匯報(bào)小組討論結(jié)果。,第二部分 總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟示 一、幾何直觀思想的基本含義 1、幾何學(xué)的本質(zhì)是什么？為什么要學(xué)習(xí)幾何學(xué)？ 幾何學(xué)是研究變換群體圖形的不變性質(zhì)和不變量的一門(mén)科學(xué)。 “圖形與幾何”的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實(shí)世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換.教材突出用觀察、操作、想像、思考等多種方式探索圖形的性質(zhì)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形的位置、圖形的度量等，使學(xué)生體驗(yàn)更多的刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和認(rèn)識(shí)圖形的角度和工具。 理解大千世界、訓(xùn)練推理能力與思維能力、建立普遍聯(lián)系。,2、空間觀念與幾何直觀 空間觀念是指對(duì)物體及其幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化建立起來(lái)的一種感知和認(rèn)識(shí)，空間想象是建立空間觀念的重要途徑。 空間觀念也是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒(méi)有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造。 標(biāo)準(zhǔn)從四個(gè)方面提出了要求： 根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體； 想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系； 描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化； 依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等。,幾何直觀此次新增的核心概念 希爾伯特（Hilbert）在直觀幾何一書(shū)中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問(wèn)題；可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。 標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！?“圖形表示”和“圖形分析” 畫(huà)圖、變換、數(shù)形結(jié)合,幾何直觀中，“幾何”是指圖形；“直觀”不僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個(gè)層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象。 幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)的想象能力。 （直觀一般有兩種：一是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢(shì)。 第一，幾何直觀是一種能力，與“跳得高”“跑得快”的運(yùn)動(dòng)能力一樣，是人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)本領(lǐng)；第二，這種能力是與空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力并列存在；可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生看一看，剪一剪，折一折，擺一擺，測(cè)一測(cè)等來(lái)實(shí)現(xiàn)）。,幾何直觀思想的力量 （1）幫助刻畫(huà)問(wèn)題，描述問(wèn)題，當(dāng)能用圖形來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題時(shí)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題就有了較深的認(rèn)識(shí)。 （2）幫助找到解決問(wèn)題的思路。 （3）幫助記憶和掌握一些結(jié)論。如研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中度量關(guān)系主要有距離、角度等。我們用距離舉例：兩點(diǎn)有距離，一點(diǎn)和一直線有距離，一個(gè)平面和一點(diǎn)有距離，兩條平行線有距離，一個(gè)平面和一條平行直線有距離，兩個(gè)平行平面有距離，兩條一面直線也有距離。那么我們?cè)趺磥?lái)解決這些距離問(wèn)題呢？ （4）實(shí)現(xiàn)各類(lèi)問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化。 （5）拓展知識(shí)面，養(yǎng)成合理的思維習(xí)慣。,二、幾何直觀思想對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示 1、教學(xué)理念上的啟示 （理念的思考）對(duì)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)中碰到的問(wèn)題作直觀化處理，充分認(rèn)識(shí)幾何直觀思想的教學(xué)價(jià)值。 2、教學(xué)設(shè)計(jì)上的啟示 （設(shè)計(jì)的名言：把教育學(xué)一般理論比喻為建筑學(xué)理論，那么數(shù)學(xué)教學(xué)則是一項(xiàng)建筑工程。一堂優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課，正如一座美輪美奐的大廈，即要符合科學(xué)原理，又能賞心悅目。眾所周知，工程需要設(shè)計(jì)，同樣，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要設(shè)計(jì)）。 “數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)”。 把直觀思想滲透到教學(xué)設(shè)計(jì)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中。 確立目標(biāo)、分析任務(wù)、了解學(xué)生、設(shè)計(jì)活動(dòng)、評(píng)價(jià)結(jié)果等五個(gè)環(huán)節(jié)。,認(rèn)識(shí)面積,3、教學(xué)實(shí)施上的啟示 日常的教學(xué)工作中高度重視直觀化思想的滲透，降低難度，突破思維的限制，取得十分顯著的效果。,學(xué)生的方法有道理嗎,學(xué)生方法1：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這4個(gè) 部分怎樣求？,價(jià)值分析： 學(xué)生沒(méi)有選擇長(zhǎng)方形、平行四邊形和梯形，而是選擇了正方形，已經(jīng)意識(shí)到圓應(yīng)該和一個(gè)邊長(zhǎng)相等的圖形最接近。,學(xué)生的方法有道理嗎,學(xué)生方法2：可以在圓上畫(huà)方塊，如果不足一個(gè)方塊可以用其他 地方的方塊來(lái)補(bǔ)，但我們不知道怎樣補(bǔ)最合適？,學(xué)生的方法有道理嗎,價(jià)值分析：學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累與后續(xù)學(xué)習(xí)的積淀,學(xué)生的方法有道理嗎,4、教學(xué)評(píng)價(jià)上的啟示 直觀有利于檢測(cè)思維水平，有利于深化認(rèn)識(shí)，有利于共同進(jìn)步。 如：若干個(gè)相同的立方體擺在一起，前、后、左、右的視圖都是 問(wèn)這堆立方體最少有多少？,2019/7/7,20,題目,如果將下圖中的繩子拉直，它的長(zhǎng)度大約為（ ）厘米,A4 B5 C6 D7,得分率,5、教學(xué)研究上的啟示 如研究作業(yè)問(wèn)題： 人教版第二冊(cè)，我們?cè)诮虒W(xué)“100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)遇到這樣的作業(yè)反饋。在人教版配套作業(yè)本及課時(shí)特訓(xùn)中出現(xiàn)了這樣的習(xí)題。 作業(yè)本P24 86后面的連續(xù)五個(gè)數(shù)是： 62前面的連續(xù)五個(gè)數(shù)是： 2 課時(shí)特訓(xùn) P27 100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí) 我的前面是80，我是（ ） 我的后面是69，我是（ ）,習(xí)題 解答方法 小計(jì) 正確解釋 說(shuō)不清 其他錯(cuò)誤 86后面的 連續(xù)五 個(gè)數(shù) 87、88、89、90、91 64% 50.8% 16.9% 數(shù)字寫(xiě)錯(cuò)或書(shū)寫(xiě) 不規(guī)范引起的錯(cuò)誤。 85、84、83、82、81 36% 分析思考，原因，對(duì)策,如何培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”。,使學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖習(xí)慣,鼓勵(lì)用圖形表達(dá)問(wèn)題，讓“用圖思考問(wèn)題成為學(xué)生的一種習(xí)慣”。 可以通過(guò)多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫(huà)圖對(duì)理解概念、尋求解題思路上帶來(lái)的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫(huà)圖時(shí)盡量畫(huà)，其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問(wèn)題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開(kāi)形象思維，無(wú)論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。,氣象組12人, 攝影組是氣象組的13，航模是攝影34,關(guān)于學(xué)生自己的圖一些分析,學(xué)生的某些圖與線段圖“結(jié)構(gòu)”是一樣的 學(xué)生的圖更加直觀 線段圖更加簡(jiǎn)潔 不同的學(xué)生可能會(huì)選擇不同的圖,借助模型辨析錯(cuò)例,錯(cuò)誤1412=108,利用“矩形模型”將乘法運(yùn)算可視化,案例2：認(rèn)識(shí)三角形的高（蘇教版四下） 設(shè)計(jì)1： 1.出示一幅三角形“人字梁”的圖，向?qū)W生介紹它的名稱(chēng)、作用。 2提問(wèn)：你能量出圖中“人字梁”的高度嗎？學(xué)生在作業(yè)紙上測(cè)量。匯報(bào)測(cè)量結(jié)果。 3.借助多媒體課件抽取“人字梁”的形狀，并在剛才測(cè)量高度的部位畫(huà)上一條線斷。向?qū)W生指出：這條線段就是三角形的高。 4組織學(xué)生討論：怎樣的一條線段叫做三角形的高？讓學(xué)生用自己的話進(jìn)行描述。 5揭示三角形高的定義，并引出相對(duì)應(yīng)的底。 6完成“試一試”：測(cè)量一些三角形的底和高的長(zhǎng)度。,設(shè)計(jì)： 出示兩個(gè)“人字形”屋架圖（一個(gè)是書(shū)上的三角形屋架，另外補(bǔ)充一個(gè)稍微矮一些的）。老師簡(jiǎn)要介紹名稱(chēng)后，讓學(xué)生觀察，比一比哪個(gè)屋架高一些。 思考：你是怎么比出來(lái)的？你能從圖上量出這兩個(gè)屋架的具體高度嗎？讓學(xué)生匯報(bào)測(cè)量的結(jié)果。 利用課件把上述兩個(gè)屋架的實(shí)物圖分別抽象成兩個(gè)三角形，并在剛才測(cè)量的部位分別畫(huà)上一條線段。讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)這條線段有什么特點(diǎn)，并進(jìn)一步向