填空題的做法第二講.ppt

第2講 填空題的做法,1.填空題的類型 填空題是高考中客觀性題型之一，一般有四至五道 題，填空題主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以 及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，具有小巧靈活、結(jié) 構(gòu)簡(jiǎn)單、概念性強(qiáng)、運(yùn)算量不大、不需要寫(xiě)出求解 過(guò)程而只需要寫(xiě)出結(jié)論等特點(diǎn).從填寫(xiě)內(nèi)容看，主要 有兩類：一類是定量填寫(xiě)，一類是定性填寫(xiě).,2.填空題的特征 填空題就是不要求寫(xiě)出計(jì)算或推理過(guò)程，只需要將 結(jié)論直接寫(xiě)出的“求解題”.填空題與選擇題也有質(zhì)的 區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解 答時(shí)有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不 足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題 或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容（既可以是條件， 也可以是結(jié)論），留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考 查方法比較靈活.,從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不很高，因 為填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá) 式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求 在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫(xiě)出 具體的推理、計(jì)算過(guò)程，因此要想“快速”解答填空 題，則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則 必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功? 3.解填空題的基本原則 解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是 “巧做”.解填空題的常用方法有：直接法、特例法、數(shù) 形結(jié)合法等.,一、 直接法,直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，得出正確結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法.,例1 （2009?？谀M）在等差數(shù)列an中，a1=-3，11a5=5a8-13，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最小值為 . 思維啟迪 計(jì)算出基本量d，找到轉(zhuǎn)折項(xiàng)即可.,解析 設(shè)公差為d，則11(-3+4d)=5(-3+7d)-13， d= . 數(shù)列an為遞增數(shù)列. 令an0，-3+（n-1） 0，n ， nN*， 前6項(xiàng)均為負(fù)值，Sn的最小值為S6=- . 答案,探究提高 本題運(yùn)用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，進(jìn)而確定前幾項(xiàng)的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值. 變式訓(xùn)練1 （2009全國(guó)理，14）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=72，則a2+a4+a9= . 解析 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d, 則a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=3(a1+4d), 又S9=72，S9=9a1+ d=9(a1+4d)=72, a1+4d=8,a2+a4+a9=24.,24,二、 特例法,特殊值法在考試中應(yīng)用起來(lái)比較方便，它的實(shí)施過(guò)程是從特殊到一般，優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便易行.當(dāng)暗示答案是一個(gè)“定值”時(shí)，就可以取一個(gè)特殊數(shù)值、特殊位置、特殊圖形、特殊關(guān)系、特殊數(shù)列或特殊函數(shù)值來(lái)將字母具體化，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?當(dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時(shí)，特例法尤其有效.,例2 （2009東營(yíng)調(diào)研）在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數(shù)列，則 = . 思維啟迪 由題意知，本題結(jié)果與ABC的形狀無(wú)關(guān)，只需取符合要求的特殊值即可.,解析 方法一 取特殊值a=3,b=4,c=5，則cos A= ,cos C=0, . 方法二 取特殊角A=B=C= ,cos A=cos C= , . 答案,探究提高 特殊化是求解填空題的常用技巧之一，當(dāng)填空題題設(shè)條件中雖含有某些不確定量，但填空題結(jié)論唯一或題設(shè)條件暗示答案為定值時(shí)，可以考慮采用特殊化技巧.在解題過(guò)程中，將題中變化的不定量選取適當(dāng)特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊方程、特殊模型，或圖形的特殊位置，特殊點(diǎn)等）進(jìn)行處理，從而快速得出結(jié)論，大大簡(jiǎn)化推理論證過(guò)程.,變式訓(xùn)練2 已知直線ax+by+c=0與圓O：x2+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|= ，則 = . 解析 特殊化，取a=1,b=0,c=- , 設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2)，則 x1=x2= ,y1y2=- =- , =x1x2+y1y2= - =- .,三、 轉(zhuǎn)化法,有的題目可以將命題轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉，從而將問(wèn)題解決.,例3 若數(shù)列an中，a1=1,an+1=3Sn(n1)，則Sn= . 解析 方法一 an+1=3Sn(n1), an=3Sn-1(n2), -得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n2), an+1=4an(n2)，又a2=3S1=3a1=3， =4(n2)，a2,a3,an是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，,Sn= 當(dāng)n=1時(shí)，4n-1=1，即Sn=4n-1(n1). 方法二 an+1=3Sn(n1)， Sn+1-Sn=3Sn（n1），即Sn+1=4Sn（n1）， 又S1=a1=1， =4（n1）， 即Sn是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列. Sn=4n-1（n1）.,答案 4n-1,探究提高 以上兩種解法體現(xiàn)了對(duì)關(guān)系式an+1=3Sn （n1）的兩種不同的處理方法，方法一是消去Sn，此時(shí)要用變量觀點(diǎn)看待關(guān)系式an+1=3Sn（n1），先得到其姊妹式an=3Sn-1（n2），然后通過(guò)兩式相減得到an+1與an的關(guān)系式，再對(duì)an+1與an的關(guān)系式進(jìn)行處理，求出an的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出Sn.方法二是利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1從而得到Sn+1與Sn的關(guān)系式，通過(guò)研究數(shù)列Sn的特性，再求出其通項(xiàng)公式.,變式訓(xùn)練3 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表： 則不等式ax2+bx+c0的解集是 . 解析 據(jù)表中可得c=-6,ax2+bx+c=0的兩根分別為 x1=-2,x2=3, =-6得a=1,- =-2+3得b=-1 y=x2-x-6,x2-x-60的解集是(-,-2)(3,+).,(-,-2)(3,+),四、 圖象分析法（數(shù)形結(jié)合法）,依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題，稱為圖象分析型填空題，這類問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯.由于填空題不要求寫(xiě)出解答過(guò)程，因而有些問(wèn)題可以借助于圖形，然后參照?qǐng)D形的形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，進(jìn)行直觀地分析，加上簡(jiǎn)單的運(yùn)算，一般就可以得出正確的答案.事實(shí)上許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用圖解法解題既淺顯易懂，又能節(jié)省時(shí)間.利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題能很好地考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活處理問(wèn)題的能力，此類問(wèn)題為近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容.,例4 已知A=x|-2xa，B=y|y=2x+3，xA，C=z|z=x2，且xA，若CB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 解析 y=2x+3在-2,a上是增函數(shù)， -1y2a+3，即B=y|-1y2a+3. 作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如圖所示.,當(dāng)-2a0時(shí)，a2z4，C=z|a2z4, 要使CB，只需2a+34，得a 與-2a0矛盾； 當(dāng)0a2時(shí)，0z4，即C=z|0z4，要使CB，由圖可知： 只需 解得 a2;,當(dāng)a2時(shí)，0za2，即C=z|0za2, 要使CB，只需 解得2a3; 當(dāng)a-2時(shí)，A=.此時(shí)B=C=，則CB成立. 綜上所述，a的取值范圍是（-,-2） ,3. 答案 （-,-2） ,3 探究提高 解決集合問(wèn)題首先要看清元素究竟是什么，然后把集合語(yǔ)言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論的特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決.,變式訓(xùn)練4 若a0，b0，且當(dāng) 時(shí)，恒有ax+by1，則以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于 . 解析 平面區(qū)域如圖所示，,令目標(biāo)函數(shù)z=ax+by, 恒有ax+by1，zmax1，而z=ax+by是一組斜率為- 的直線，因?yàn)閎0，所以直線越向上z值越大， 當(dāng)- -1時(shí)，z在A點(diǎn)取最大，zmax=b1, 當(dāng)- -1時(shí)，z在B點(diǎn)取最大值z(mì)max=a1， a,b滿足 平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，面積為1.,答案 1,五、 構(gòu)造法,構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來(lái)源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過(guò)的類似問(wèn)題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題快速解決.,例5 函數(shù)f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m= . 解析 分子和分母同次的特點(diǎn)，分子展開(kāi)，得到部分分式, f(x)=1+ ,f(x)-1為奇函數(shù)， 則m-1=-（M-1），M+m=2.,2,探究提高 整體思考，聯(lián)想奇函數(shù)，利用其對(duì)稱性簡(jiǎn)化求解，這是整體觀念與構(gòu)造思維的一種應(yīng)用.注意到分式類函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，借助分式類函數(shù)最值的處理方法，部分分式法，變形發(fā)現(xiàn)輔助函數(shù)為奇函數(shù)，整體處理最大值和最小值的問(wèn)題以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這種構(gòu)造特殊函數(shù)模型的方法來(lái)源于對(duì)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的深刻理解.,變式訓(xùn)練5 已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足 f（x+ ）=-f（x）且函數(shù)y=f（x- ）為奇函數(shù)，則下列命題中錯(cuò)誤的是 . 函數(shù)f（x）的最小正周期是3 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（- ,0）對(duì)稱 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 方程f（x）=0在區(qū)間0，2 004上恰有668個(gè)根 解析 方法一 （逆向思維法）由f（x+ ）=-f(x),得 f（x+3）=f（x）,故為真；因函數(shù)y=f（x- ）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，將y=f（x- ）的圖象向左平,移 個(gè)單位，得到y(tǒng)=f(x) ，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) （- ,0）對(duì)稱，為真；由y=f（x- ）為奇函數(shù)， 得f（-x- ）=-f（x- ）, 用x- 替換上式中的x,得f（-x）=-f（x- ）. 又知f（x- + ）=-f（x- ）,則f(-x)=f(x),即f（x）為偶函數(shù)，則為真；對(duì)，由、，畫(huà)出圖形，不難判斷在區(qū)間0，2 004上有1 336個(gè)根. 方法二 （構(gòu)造函數(shù)法）由題意構(gòu)造函數(shù)f(x)= sin（ x+ ）+k，因?yàn)閒(x)的最小正周期為3，所以 = ，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x- ）為奇函數(shù),所以f（-x- ）,=-f(x- )，所以sin (-x- )+ +k=-sin (x- )+ -k,所以k =0, = ，所以f (x)=-cos x，易知選項(xiàng)、為真，故選,答案 ,規(guī)律方法總結(jié) 1.解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對(duì)于帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法.解題時(shí)，常常需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果. 2.解填空題不要求求解過(guò)程，從而結(jié)論是判斷是否正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空題時(shí)要注意如下幾個(gè)方面： （1）要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確； （2）要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論； （3）要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn).,1.（2009北京理，14）已知數(shù)列an滿足：a4n-3 =1,a4n-1=0,a2n=an,nN*,則a2 009= ,a2 014= . 解析 a2 009=a4503-3=1,a2 014=a1 007=a2524-1=0.,1,0,2.已知函數(shù)f(x)= ,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f +f +f = . 解析 f（x）+f = = =1 f（1）+f（1）=f（2）+f =f（3）+f =f（4）+f =1.原式=,3.曲線方程|x2-1|=x+k的實(shí)根隨k的變化而變化，那 么它的實(shí)根的個(gè)數(shù)最多有 個(gè). 解析 如圖所示，參數(shù)k是直線 y=x+k在y軸上的截距，通過(guò)觀察 直線y=x+k與y=|x2-1|的公共點(diǎn)的 變化情況，并通過(guò)計(jì)算可知，當(dāng) k 時(shí)，有2個(gè)實(shí)根. 綜上所述，可知實(shí)根個(gè)數(shù)最多為4個(gè).,4,4.離心率為黃金比 的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”. 設(shè) =1(ab0)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它 的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 ABF = . 解析 本題主要考查“優(yōu)美橢圓”的相關(guān)知識(shí)， 它必然具有橢圓的相關(guān)性質(zhì)，不妨設(shè)c= -1， a=2，B為橢圓的短軸的一個(gè)上端點(diǎn)，則b= . 有F（1- ，0），A（2，0），B（0， ）. 所以 =（2，- ）, =(1- ,- ). 則 =0，所以?shī)A角為90，即ABF=90.,90,5.已知等差數(shù)列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比 數(shù)列，則 = . 解析 由已知得 =a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d), a1=d, .,6.ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn) 為H， =m（ ）,則實(shí)數(shù)m= . 解析 （特殊值法）當(dāng)B=90時(shí)，ABC為直角 三角形，O為AC中點(diǎn). AB、BC邊上高的交點(diǎn)H與B重合. ，m=1.,1,7.圓x2+y2=1的任意一條切線l與圓x2+y2=4相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則x1x2+y1y2= . 解析 如圖，AOB中，OA=OB=2， OCAB，OC=1， 因此AOB=120. 所以x1x2+y1y2= =| | |cos 120=-2.,-2,8.直線y=kx+3k-2與直線y=- x+1的交點(diǎn)在第一象 限，則k的取值范圍是 . 解析 因?yàn)閥=kx+3k-2，即y=k(x+3)-2，故直線過(guò) 定點(diǎn)P（-3，-2），而定直線y=- x+1在兩坐標(biāo)軸 上的交點(diǎn)分別為A（4，0），B（0，1）.如圖所 示，求得 k1.,k1,9.設(shè)f(x)= 若方程f(x)=x有且僅有 兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 解析 先給a一個(gè)特殊值，令a=0，可畫(huà)出x0時(shí) 的圖象.當(dāng)00時(shí)的圖 象，其圖象呈周期變化，然后再由參數(shù)a的意義使 圖象作平移變換，由此確定-a的取值范圍，最后求 出a的取值范圍.,（-,2）,10.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式 f(x)-x的解集為（1，2），若f(x)的最大值為正 數(shù)，則a的取值范圍是 . 解析 二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式 f(x)-x的解集為（1，2），即不等式f(x)+x0的 解集為(1,2),則設(shè)f(x)+x=a(x-1)(x-2)(a0), 即f(x)=ax2-(3a+1)x+2a(a0). 又f(x)的最大值為正數(shù)， 則 解得a(-,-3-2 )(-3+2 ,0).,（-,-3-2 ）(-3+2 ,0),11.不等式 x的解集為 . 解析 令y1= ,y2=x，則不等式 x的解 就是使y1= 的圖象在y2=x的上方的那段對(duì)應(yīng) 的橫坐標(biāo).如圖所示： 不等式的解集為x|xAxxB， 而xB可由 =x解得xB=2，xA=-2, 故不等式的解集為x|-2x2.,x|-2x2,12.已知函數(shù)f(x)的圖象與g(x)=2x的圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱，令h(x)=f(1-|x|),則關(guān)于函數(shù)h（x）有 下列命題：,h（x）的最小值為0； h（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增. 其中正確的命題是 （把正確命題的序號(hào)都 填上）.,h(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱； h（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；,解析 由題意h（x）=log2（1-|x|）為偶函數(shù)，故正確log2(1-|x|)log21=0,h（x）的最大值為0，錯(cuò),當(dāng)-1x0時(shí)，h(x)=log2(1+x),正確.,13.若a=(1, )，|a-b|=1，則|b|的取值范圍 是 . 解析 方法一 （換元法） |a-b|=1， 設(shè)a-b=（cos ,sin ），則