2018屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 文 新人教a版

第三章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k360，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1 rad；1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號(hào)三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線小題體驗(yàn)1若sin 0且tan 0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C2(教材習(xí)題改編)3 900是第_象限角，1 000是第_象限角答案：四一3(教材習(xí)題改編)已知半徑為120 mm的圓上，有一條弧的長是144 mm，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為_答案：1.21注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況4三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sin y，cos x，tan ，但若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為r，則sin ，cos ，tan .小題糾偏1下列說法正確的是()A三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B第一象限角必是銳角C不相等的角終邊一定不相同D若k360(kZ)，則和終邊相同答案：D2若角終邊上有一點(diǎn)P(x,5)，且cos (x0)，則sin _.答案：題組練透1給出下列四個(gè)命題：是第二象限角；是第三角限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確的命題有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選C是第三象限角，故錯(cuò)誤；，從而是第三象限角，故正確；40036040，從而正確；31536045，從而正確2(易錯(cuò)題)若角是第二象限角，則是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角解析：選C是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角3設(shè)集合M，N，那么()AMN BMNCNM DMN解析：選B法一：由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，顯然有MN.法二：由于M中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇數(shù)；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有MN.4在7200范圍內(nèi)所有與45終邊相同的角為_解析：所有與45有相同終邊的角可表示為：45k360(kZ)，則令72045k3600，得765k36045，解得kcos x成立的x的取值范圍為_解析：如圖所示，找出在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角x.答案：10已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，當(dāng)且僅當(dāng)2rl，即2時(shí)，扇形面積取得最大值4.圓心角2，弦長AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，當(dāng)且僅當(dāng)r2，即2時(shí)，扇形面積取得最大值4.弦長AB2sin 124sin 1.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0解析：選B是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，則可排除A，C，D.2已知角2k(kZ)，若角與角的終邊相同，則y的值為()A1 B1C3 D3解析：選B由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.所以y1111.3已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求終邊所在的象限；(3)試判斷 tansin cos的符號(hào)解：(1)由sin 0，知在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tan 0, 知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故終邊在第二、四象限(3)當(dāng)在第二象限時(shí)，tan 0，sin 0, cos 0，所以tan sin cos取正號(hào)；當(dāng)在第四象限時(shí)， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正號(hào)因此，tansin cos 取正號(hào)第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式_1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系tan .2誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號(hào)看象限 小題體驗(yàn)1已知sin，那么cos ()ABC. D.解析：選Csinsincos ，cos .2若sin cos ，則tan 的值是()A2 B2C2 D.解析：選Btan 2.3(教材習(xí)題改編)(1)sin_，(2)tan_.答案：(1)(2)1利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)3注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化小題糾偏1(2019福建高考)若sin ，且為第四象限角，則tan 的值等于()A. BC. D解析：選D因?yàn)闉榈谒南笙薜慕牵蔯os ，所以tan .2若sin(3)，則sin _.答案：題組練透1sin 210cos 120的值為()A.BC D.解析：選Asin 210cos 120sin 30(cos 60).2已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2解析：選C當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A2；k為奇數(shù)時(shí)，A2.3已知tan，則tan_.解析：tantantantan.答案：4(易錯(cuò)題)設(shè)f()，則f_.解析：f()，f.答案：謹(jǐn)記通法1利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”2利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值，如“題組練透”第4題典型母題已知是三角形的內(nèi)角，且sin cos .求tan 的值解法一：聯(lián)立方程由得cos sin ，將其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形的內(nèi)角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0.sin cos .由得tan .類題通法同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表達(dá)式中含有sin ，cos 與tan “1”的變換1sin2cos2cos2(1tan2)tan(sin cos )22sin cos 表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用(sin cos )212sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sin cos 或sin cos 越變?cè)矫髯兪揭槐３帜割}條件不變，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由母題可知：tan .(1).(2)sin22sin cos .變式二若母題條件變?yōu)椤?”， 求tan 的值解：法一：由5, 得5，即tan 2.法二：由5，得sin 3cos 15cos 5sin ，6sin 12cos ，即tan 2.變式三若母題中的條件和結(jié)論互換：已知是三角形的內(nèi)角，且tan ， 求 sin cos 的值解：由tan ，得sin cos ，將其代入 sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ， sin ，故 sin cos .破譯玄機(jī)1三角形中求值問題，首先明確角的范圍，才能求出角的值或三角函數(shù)值2三角形中常用的角的變形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，cossin等一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1若，sin ，則cos()()AB.C. D解析：選B因?yàn)椋瑂in ，所以cos ，即cos().2已知sin()cos(2)，|，則等于()A BC. D.解析：選Dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.3已知sin，則cos()A. BC. D解析：選Dcossinsinsin.4已知，sin ，則tan _.解析：，cos ，tan .答案：5如果sin(A)，那么cos的值是_解析：sin(A)，sin A.cossin A.答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知sin()0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是()Asin 0Bsin 0，cos 0，cos 0 Dsin 0，cos 0解析：選Bsin()0，sin 0.cos()0，cos 0，cos 0.2若sin()2sin，則sin cos 的值等于()A BC.或 D.解析：選A由sin()2sin，可得sin 2cos ，則tan 2，sin cos .3(2019江西五校聯(lián)考)()A BC. D.解析：選D原式.4已知f()，則f的值為()A. BC D.解析：選Cf()cos ，fcoscoscos.5已知sin cos ，且，則cos sin 的值為()A B.C D.解析：選B，cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .6化簡：_.解析：原式sin sin 0.答案：07sincostan的值是_解析：原式sincostan().答案：8已知cosa(|a|1)，則cossin的值是_解析：由題意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案：09求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.解：原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin 330)tan 225(sin 60)(cos 30)cos 60sin 30tan 4512.10已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解：由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1sin21sin22sin290_.解析：sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243cos21sin290(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin290441.答案：2已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達(dá)式；(2)求f f 的值解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時(shí)，f(x)sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時(shí)，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x，x0,2的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0,2的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kZ).函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRxxR，且x值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性為增；為減2k，2k為減；2k，2k為增為增對(duì)稱中心(k，0)對(duì)稱軸xkxk小題體驗(yàn)1下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是()Aycos 2xBysin 2xCytan 2x Dysin答案：B2(教材習(xí)題改編)函數(shù)y4sin x，x，的單調(diào)性是()A在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)B在上是增函數(shù)，在和上都是減函數(shù)C在0，上是增函數(shù)，在，0上是減函數(shù)D在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)答案：B3(教材習(xí)題改編)函數(shù)ytan2的定義域?yàn)開答案：1閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響2要注意求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)的符號(hào)，盡量化成0時(shí)的情況3三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“”聯(lián)結(jié)小題糾偏1函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC. D0解析：選B由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.2函數(shù)ycos的單調(diào)減區(qū)間為_解析：由ycoscos得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)題組練透1函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2B0C1 D1解析：選A0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.2(易錯(cuò)題)函數(shù)y的定義域?yàn)開解析：要使函數(shù)有意義，必須有即故函數(shù)的定義域?yàn)?答案：3函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域?yàn)開解析：由得3x或0x0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.解析：f(x)sin x(0)過原點(diǎn)，當(dāng)0x，即0x時(shí)，ysin x是增函數(shù)；當(dāng)x，即x時(shí)，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x(0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，.答案：命題分析正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一常見的命題角度有：(1)三角函數(shù)的周期；(2)求三角函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心；(3)三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用題點(diǎn)全練角度一：三角函數(shù)的周期1函數(shù)y12sin2是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)解析：選Ay12sin2cos 2sin 2x，所以f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)2(2019長沙一模)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2，則自然數(shù)k的值為_解析：由題意知，12，即k2k.又kN，所以k2或k3.答案：2或3角度二：求三角函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心3(2019太原模擬)已知函數(shù)f(x)sin(0)的最小正周期為，則函數(shù)f(x)的圖象()A關(guān)于直線x對(duì)稱B關(guān)于直線x對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解析：選Bf(x)sin的最小正周期為，2，f(x)sin.當(dāng)x時(shí)，2x，A，C錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，2x，B正確，D錯(cuò)誤角度三：三角函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用4(2019西安八校聯(lián)考)若函數(shù)ycos(N*)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的最小值為()A1 B2C4 D8解析：選Bk(kZ)6k2(kZ)min2.5.設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0,00)的最小正周期為，則f ()A1B.C1 D解析：選A由題設(shè)知，所以2，f(x)sin，所以f sinsin 1.3(2019石家莊一模)函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：選B由k2xk(kZ)得，x(kZ)，所以函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)4函數(shù)f(x)sin(2x)的單調(diào)增區(qū)間是_解析：由f(x)sin(2x)sin 2x，2k2x2k得kxk(kZ)答案：(kZ)5函數(shù)y32cos的最大值為_，此時(shí)x_.解析：函數(shù)y32cos的最大值為325，此時(shí)x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1若函數(shù)f(x)cos 2x，則f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為()A.B.C. D.解析：選B由f(x)cos 2x知遞增區(qū)間為，kZ，故只有B項(xiàng)滿足2(2019河北五校聯(lián)考)下列函數(shù)最小正周期為且圖象關(guān)于直線x對(duì)稱的函數(shù)是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：選B由函數(shù)的最小正周期為，可排除C.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x對(duì)稱知，該直線過函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)于A，因?yàn)閟insin 0，所以選項(xiàng)A不正確對(duì)于D，sinsin，所以選項(xiàng)D不正確對(duì)于B，sinsin 1，所以選項(xiàng)B正確3已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(|), 若f2，則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是()A. B.C. D.解析：選Df 2，2sin2，sin1.又|0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱，x0，則x0()A. B.C. D.解析：選A由題意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.5若函數(shù)f(x)sin(x)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從1減少到1，則f ()A. B.C. D1解析：選C由題意得函數(shù)f(x)的周期T2，所以2，此時(shí)f(x)sin(2x)，將點(diǎn)代入上式得sin1，所以，所以f(x)sin，于是f sincos.6已知函數(shù)f(x)2sin(x)，對(duì)于任意x都有f f ，則f 的值為_解析：f f ，x是函數(shù)f(x)2sin(x)的一條對(duì)稱軸f 2.答案：2或27函數(shù)ytan的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析：由2xk(kZ)得，x(kZ)函數(shù)ytan的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是，kZ.答案：，kZ8已知x(0，關(guān)于x的方程2 sina有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：令y12sin，x(0，y2a，作出y1的圖象如圖所示若2sina在(0，上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則y1與y2應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以a2.答案：(，2)9已知f(x)sin.(1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程；(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解：(1)f(x)sin，令2xk，kZ，則x，kZ.函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程是x，kZ.(2)令2k2x2k，kZ，則kxk，kZ.故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.(3)當(dāng)x時(shí)，2x，1sin，f(x)1，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為1，最小值為.10已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為.(1)求當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)的值；(2)若f(x)的圖象過點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：f(x)的最小正周期為，則T，2.f(x)sin(2x)(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(x)f(x)sin(2x)sin(2x)，將上式展開整理得sin 2xcos 0，由已知上式對(duì)xR都成立，cos 0，0，.(2)f(x)的圖象過點(diǎn)時(shí)，sin，即sin.又0，0時(shí)，a33，b5.當(dāng)a0，0)，振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.由函數(shù)ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)(A0，0)的圖象的兩種方法小題體驗(yàn)1若函數(shù)ysin(x)(0)的部分圖象如圖，則()A5B4C3 D2答案：B2(教材習(xí)題改編)函數(shù)ysin的振幅為_，周期為_，初相為_答案：43用五點(diǎn)法作函數(shù)ysin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，主要確定的五個(gè)點(diǎn)是_、_、_、_、_.答案：1函數(shù)圖象變換要明確，要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；2要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；3由yAsin x的圖象得到y(tǒng)Asin(x)的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|.小題糾偏1把ysin x的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)sin x的圖象，則的值為()A1B4C. D2答案：C2要得到函數(shù)ysin 2x的圖象，