必修2-第一章空間幾何體-132球的體積和表面積.ppt

,球的體積和表面積,20102011學年度高一數(shù)學必修1（人教A版）,濟寧育才中學高一數(shù)學組 朱繼哲,教學目標：,1.熟記球的體積公式和表面積公式； 2.會用球的體積公式,和表面積公式,解決有關問題。,提出問題：,1、球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？,2、球的大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？,1探究球的體積公式,回顧祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截面的面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等。,構造新的幾何體,結合祖暅原理推導球的體積公式(見P32頁),設球的體積為V,則有:,球的體積,O.,已知球的半徑為R,問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.,定理:半徑是R的球的體積,2. 探究球的表面積公式,設球O的半徑為R，我們把球面任意分割為一些“小球面片”，它們的面積分別用,表示,以這些“小球面片”為底，球心為頂點的“小錐體”的體積和等于球的體積，這些“小錐體”可近似地看成棱錐，“小錐體”的底面積.,可近似地等于“小棱錐”的底面積，球的半徑R近似地等于小棱錐的高,因此，第i 個小棱錐的體積,當“小錐體”的底面非常小時，“小錐體”的底面幾乎是“平的”，于是球的體積:,又因為 ，且,可得:,又因為,所以:,所以球的表面積:,例1.已知過球面上A,B,C 三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面積.,解:設截面圓心為O,連結OA, 設球半徑為R .則:,在 中，, ，,例2半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體棱長為 ,求球的表面積和體積。,解：作軸截面如圖所示，,設球半徑為R ,則:,例3表面積為324的球，其內接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積。,解：設球半徑為R ,正四棱柱底面邊長為a,則作軸截面如圖，,又,例4. (P27頁)如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑. 求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的 ， (2) 球的表面積等于圓柱的側面積。,證明:(1) 設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R。.,因為,所以,(2) 因為,，所以,完成P28練習1,2,3題,補充練習：,1三個球的半徑之比為 那么最大的球的體積是其余兩個球的體積和的 倍；,2.若球的大圓面積擴大為原來的4倍，則球的體積比原來增加 倍；,3.把半徑分別為3，4，5的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是 ；,4.正方體全面積是24,它的外接球的體積是 ，內切球的體積是 ,5.球O1、O2、分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點都在球O3的表面上，求三個球的表面積之比,答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ,5 解：設正方體棱長為a，則三個球的半徑依次 為 , , ., 三個球的表面積之比是,小結歸納 ：,1、球的表面積公式的推導及應用； 2、球的內接正方體、長方體及外切正方體的有關計算,“分割 求近似和 化為準確和”的方法，是一種重要的數(shù)學思想方法極限思想，它是今后要學習的微積分部分“定積分