二倍角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用.doc

二倍角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用角形的陛質(zhì)及應(yīng)用有一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的二倍的三角形,我們不妨把它稱為二倍角三角形.二倍角三角形有一條優(yōu)美的性質(zhì),本文先給出這條性質(zhì),再舉例說明它的具體應(yīng)用.一,性質(zhì)在二倍角三角形中,二倍角與一倍角所對(duì)邊的平方差等于一倍角所對(duì)邊與第三邊之積.具體地說:在aabc中,若lbac=2/abc,則一ac2=ac.ab.分析1要證bc2一ac2=ac?ab,即證c2=ac(ac+ab).至此可嘗試去作一條線段等于ac+ab.證法i如圖l,延長至點(diǎn)d,使ad=ab,連接1bd,則ld=labd=zbac.叉因/_abc=bac,所以ld=labc.故bcadcb.因此bc=,11bc.=ac?cd.由點(diǎn)的作法可知:cd=ac+ab,所以bc=ac(ac+a曰),即bc2一ac2:ac.ab.ac分析2由已知lbac=2/abc,聯(lián)想到作bac的平分線ad.證法2如圖2,作lbac的平分線ad,交邊日c于點(diǎn)d,又因lbac=2labc,所以cad=/dab=/_b.由cad=曰,知cad-acba,因此=ad=ac根據(jù)等陛質(zhì)得=麗ac.又由b=lb,知ad=bd.所以:麗ac,jbc2一ac2=acm.查點(diǎn)璺瘩_市.筢三土壟_(tái)中蘭薹璺華c圖2二,應(yīng)用1.直接利用已知的二倍角三角形例1在aabc中,最大角a是最小角c的兩倍,且ab=7,ac=8,則bc=().a.7b.10.sd.7解由a=2c,利用二倍角三角形的性質(zhì)得bc2一ab=ab?ac.即c27=78,解得bc=1ci(bc=一_舍去).選c.例2如圖3,在aabc中,ad上bc于d,=2c求證:ab+bd=de證明由曰=2c,利用二倍角三角形性質(zhì)得ac2一ab=ab?bc.由ad_lbc,利用勾股定理易得ac2一ab=cd一bd=(cd+bd)(cdbd).a圖3d所以ab?bc=(cd+bd)(cdbd)=bc(cdbd).化簡,變形得ab+bd=dc.說明本例常見的證法需要作輔助線證全等.例3已知aabc中,la:lb:c=4:2:1,記bc=a,ac=b.ab=c.一一;.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.m鼓掌大世界.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+./l/,/圖/,d求證:+i_1=1.ndc證明如圖4,分別由/a=2/b,lb=2/c,利用二倍角三角形性質(zhì)得丑aca一b=bc,圖4b一c=ca.+得a.=bc+c+c=c(a+b+c).所以:+.caaa.由知a=b+6c.所以11b+c】1了2.挖掘隱藏的二倍角三角形例4如圖5,在rtaabc中,lacb=90.,點(diǎn)d在邊ca上,使得cd=1,da:3,且lbdc=3lbac.求bc的長.丑cda-圖5分析由/bdc=3lbac.lbdc=adba+lbac,可得/dba=2lbac,aabd是一個(gè)二倍角三角形,運(yùn)用性質(zhì)知da一bd:bd?ab,該式中的da=3,bd和ab的長均能根據(jù)勾股定理用未知的bc表示出來,因此可列出關(guān)于bc的長的方程,解出bc的長.解由上面的分析知da一bd=bd?ab,其中da=3,bd:bc+1,ab=曰c+4.所以9一(bc2+1)=/c2+1?而解得bc=4tf.3.構(gòu)造二倍角三角形例5如圖6,在aabc中,/acb=3a,a=27,c:48,求b.解析在aabc中,lacb=3a,為構(gòu)造二倍角三角形,可作lacd=2a,交邊ab于點(diǎn)d(如圖6),則有l(wèi)bcd=/a,ad一cd=cd?ac.lbcd=la,知bcd鮒c,因此bc=:.-.-._-?-.accd日27bdcdac4827一b1)2bd=,cd=b.ad=abbd=,cd=代入得()一()=.6解得6=35.例6求sinl8.的值(不查表,不借助計(jì)算器).解析構(gòu)造一個(gè)等腰aabc,ab=ac=1.lbac:36f加圖7,.剛/b:/c:72由lb=2/_bac,知aabc就是一個(gè)二倍角三角形,有ac2一bc=bc?a,即1一曰c2=曰c,解得bc=歪.再作ad上bc于d,則cad=啪.bd圖7c在rtaadc,sin/_cad=sinl8.:掣./4最后提供兩道賽題,供同學(xué)們練習(xí).1.是否存在一個(gè)三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù),且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的aabc?證明你的結(jié)論提示:不妨設(shè)a=2/_b,則bc2一ac=ac?ab.又易知bc>ac,因此只需分三種情形進(jìn)行探究:當(dāng)ab>bc>ac時(shí);當(dāng)bc>ab>ac時(shí);當(dāng)bc>ac>ab時(shí).2.在aabc中,ab=ac,bc上的高ad