二倍角三角形的性質及應用.doc

二倍角三角形的性質及應用角形的陛質及應用有一個內角等于另一個內角的二倍的三角形,我們不妨把它稱為二倍角三角形.二倍角三角形有一條優(yōu)美的性質,本文先給出這條性質,再舉例說明它的具體應用.一,性質在二倍角三角形中,二倍角與一倍角所對邊的平方差等于一倍角所對邊與第三邊之積.具體地說:在aabc中,若lbac=2/abc,則一ac2=ac.ab.分析1要證bc2一ac2=ac?ab,即證c2=ac(ac+ab).至此可嘗試去作一條線段等于ac+ab.證法i如圖l,延長至點d,使ad=ab,連接1bd,則ld=labd=zbac.叉因/_abc=bac,所以ld=labc.故bcadcb.因此bc=,11bc.=ac?cd.由點的作法可知:cd=ac+ab,所以bc=ac(ac+a曰),即bc2一ac2:ac.ab.ac分析2由已知lbac=2/abc,聯想到作bac的平分線ad.證法2如圖2,作lbac的平分線ad,交邊日c于點d,又因lbac=2labc,所以cad=/dab=/_b.由cad=曰,知cad-acba,因此=ad=ac根據等陛質得=麗ac.又由b=lb,知ad=bd.所以:麗ac,jbc2一ac2=acm.查點璺瘩_市.筢三土壟_中蘭薹璺華c圖2二,應用1.直接利用已知的二倍角三角形例1在aabc中,最大角a是最小角c的兩倍,且ab=7,ac=8,則bc=().a.7b.10.sd.7解由a=2c,利用二倍角三角形的性質得bc2一ab=ab?ac.即c27=78,解得bc=1ci(bc=一_舍去).選c.例2如圖3,在aabc中,ad上bc于d,=2c求證:ab+bd=de證明由曰=2c,利用二倍角三角形性質得ac2一ab=ab?bc.由ad_lbc,利用勾股定理易得ac2一ab=cd一bd=(cd+bd)(cdbd).a圖3d所以ab?bc=(cd+bd)(cdbd)=bc(cdbd).化簡,變形得ab+bd=dc.說明本例常見的證法需要作輔助線證全等.例3已知aabc中,la:lb:c=4:2:1,記bc=a,ac=b.ab=c.一一;.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.m鼓掌大世界.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+./l/,/圖/,d求證:+i_1=1.ndc證明如圖4,分別由/a=2/b,lb=2/c,利用二倍角三角形性質得丑aca一b=bc,圖4b一c=ca.+得a.=bc+c+c=c(a+b+c).所以:+.caaa.由知a=b+6c.所以11b+c】1了2.挖掘隱藏的二倍角三角形例4如圖5,在rtaabc中,lacb=90.,點d在邊ca上,使得cd=1,da:3,且lbdc=3lbac.求bc的長.丑cda-圖5分析由/bdc=3lbac.lbdc=adba+lbac,可得/dba=2lbac,aabd是一個二倍角三角形,運用性質知da一bd:bd?ab,該式中的da=3,bd和ab的長均能根據勾股定理用未知的bc表示出來,因此可列出關于bc的長的方程,解出bc的長.解由上面的分析知da一bd=bd?ab,其中da=3,bd:bc+1,ab=曰c+4.所以9一(bc2+1)=/c2+1?而解得bc=4tf.3.構造二倍角三角形例5如圖6,在aabc中,/acb=3a,a=27,c:48,求b.解析在aabc中,lacb=3a,為構造二倍角三角形,可作lacd=2a,交邊ab于點d(如圖6),則有l(wèi)bcd=/a,ad一cd=cd?ac.lbcd=la,知bcd鮒c,因此bc=:.-.-._-?-.accd日27bdcdac4827一b1)2bd=,cd=b.ad=abbd=,cd=代入得()一()=.6解得6=35.例6求sinl8.的值(不查表,不借助計算器).解析構造一個等腰aabc,ab=ac=1.lbac:36f加圖7,.剛/b:/c:72由lb=2/_bac,知aabc就是一個二倍角三角形,有ac2一bc=bc?a,即1一曰c2=曰c,解得bc=歪.再作ad上bc于d,則cad=啪.bd圖7c在rtaadc,sin/_cad=sinl8.:掣./4最后提供兩道賽題,供同學們練習.1.是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數,且其中一個內角等于另一個內角2倍的aabc?證明你的結論提示:不妨設a=2/_b,則bc2一ac=ac?ab.又易知bc>ac,因此只需分三種情形進行探究:當ab>bc>ac時;當bc>ab>ac時;當bc>ac>ab時.2.在aabc中,ab=ac,bc上的高ad