數(shù)學建模案例分析第13講插值.ppt

2019/7/14,數(shù)學建模,1,數(shù)學建模與數(shù)學實驗,插 值,2019/7/14,數(shù)學建模,2,實驗目的,實驗內容,1了解插值的基本內容,1一維插值,2二維插值,3實驗作業(yè),2019/7/14,數(shù)學建模,3,拉格朗日插值,分段線性插值,三次樣條插值,一 維 插 值,一、插值的定義,二、插值的方法,三、用MATLAB解插值問題,返回,2019/7/14,數(shù)學建模,4,返回,二維插值,一、二維插值定義,二、網格節(jié)點插值法,三、用MATLAB解插值問題,最鄰近插值,分片線性插值,雙線性插值,網格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值,散點數(shù)據(jù)的插值,2019/7/14,數(shù)學建模,5,一維插值的定義,節(jié)點可視為由,產生,表達式復雜,或無封閉形式,或未知.,2019/7/14,數(shù)學建模,6,返回,2019/7/14,數(shù)學建模,7,稱為拉格朗日插值基函數(shù),已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下,其中Li(x) 為n次多項式：,拉格朗日(Lagrange)插值,2019/7/14,數(shù)學建模,8,拉格朗日(Lagrange)插值,特別地:,兩點一次(線性)插值多項式:,三點二次(拋物)插值多項式:,2019/7/14,數(shù)學建模,9,拉格朗日多項式插值的 這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象,采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點n+1個，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形.,例,返回,To MATLAB lch(larg1),2019/7/14,數(shù)學建模,10,分段線性插值,計算量與n無關; n越大，誤差越小.,2019/7/14,數(shù)學建模,11,To MATLAB xch11，xch12，xch13， xch14,返回,例,用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.,1.在-6,6中平均選取5個點作插值(xch11),4.在-6,6中平均選取41個點作插值(xch14),2.在-6,6中平均選取11個點作插值(xch12),3.在-6,6中平均選取21個點作插值(xch13),2019/7/14,數(shù)學建模,12,比分段線性插值更光滑,在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性 光滑性的階次越高，則越光滑是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子,三次樣條插值,2019/7/14,數(shù)學建模,13,三次樣條插值,g(x)為被插值函數(shù),2019/7/14,數(shù)學建模,14,例,用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych),返回,To MATLAB ych(larg1),2019/7/14,數(shù)學建模,15,用MATLAB作插值計算,一維插值函數(shù)：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest 最鄰近插值；linear 線性插值； spline 三次樣條插值； cubic 立方插值； 缺省時 分段線性插值,注意：所有的插值方法 都要求x是單調的，并且xi不 能夠超過x的范圍,2019/7/14,數(shù)學建模,16,例：從1點12點的11小時內，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24試估計每隔1/10小時的溫度值,To MATLAB (temp),hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的) plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),2019/7/14,數(shù)學建模,17,例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時的y值,To MATLAB(plane),返回,2019/7/14,數(shù)學建模,18,二維插值的定義,第一種（網格節(jié)點）：,2019/7/14,數(shù)學建模,19,已知 mn個節(jié)點,2019/7/14,數(shù)學建模,20,第二種（散亂節(jié)點）：,2019/7/14,數(shù)學建模,21,返回,2019/7/14,數(shù)學建模,22,注意：最鄰近插值一般不連續(xù)具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值,最鄰近插值,二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的 節(jié)點的函數(shù)值即為所求,返回,2019/7/14,數(shù)學建模,23,將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：,分片線性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,2019/7/14,數(shù)學建模,24,插值函數(shù)為：,第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足,插值函數(shù)為：,注意：(x, y)當然應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；,分兩片的函數(shù)表達式如下：,第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足,返回,2019/7/14,數(shù)學建模,25,雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成 雙線性插值函數(shù)的形式如下：,其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù),雙線性插值,返回,2019/7/14,數(shù)學建模,26,要求x0,y0單調；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作網格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值,nearest 最鄰近插值； linear 雙線性插值； cubic 雙三次插值； 缺省時 雙線性插值.,2019/7/14,數(shù)學建模,27,例：測得平板表面35網格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形,輸入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; mesh(x,y,temps),1.先在三維坐標畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲線圖.,2以平滑數(shù)據(jù),在 x、y方向上每隔0.2個單位的地方進行插值.,2019/7/14,數(shù)學建模,28,再輸入以下命令: xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic); mesh(xi,yi,zi) 畫出插值后的溫度分布曲面圖.,To MATLAB (wendu),2019/7/14,數(shù)學建模,29,通過此例對最近鄰點插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進行比較,To MATLAB (moutain),返回,2019/7/14,數(shù)學建模,30,插值函數(shù)griddata格式為:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算,要求cx取行向量，cy取為列向量,nearest最鄰近插值 linear 雙線性插值 cubic 雙三次插值 v4- MATLAB提供的插值方法 缺省時, 雙線性插值,2019/7/14,數(shù)學建模,31,例 在某海域測得一些點(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）（-50，150）里的哪些地方船要避免