工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-概率統(tǒng)計(jì).ppt

集合常用公式,例1: 袋中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8的八張卡片中任取一張，設(shè)事件為“抽得一張標(biāo)號(hào)不大于的卡片”，事件為“抽得一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片”，事件為“抽得一張標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的卡片”。請(qǐng)用樣本點(diǎn)的集合表示下列事件:,-,-,() 解: 將,表示集合形式為,所以 , (),;-, -,例2:A,B,C,D四個(gè)事件，用運(yùn)算關(guān)系表示： （1）A,B,C,D至少有一個(gè)發(fā)生； （2）都不發(fā)生；（3）都發(fā)生； （4）A,B,C,D恰有一個(gè)發(fā)生； （5）至多一個(gè)發(fā)生。 解:（1）ABCD或 （2） 或 （3）ABCD或 （4） （5）,古典概率 若A為試驗(yàn)E的一事件，試驗(yàn)E的樣本空間為，且A含有k個(gè)樣本點(diǎn)則事件A的概率就是,二、古典概率,例2: 取球問(wèn)題 一袋中共有10個(gè)球，6白，4紅，采用摸后“放回”“不放回”兩種方式任取出3個(gè)球，試求兩種方式下這3個(gè)球中 1) 全為白球; 2) 恰含1個(gè)白2個(gè)紅的概率。,將古典概率的方法引申一下，便得到確定概率的“幾何方法”。 滿(mǎn)足下列條件的試驗(yàn)，稱(chēng)為“幾何概型”： (1)樣本空間是直線(xiàn)或二維、三維空間中的度量有限的區(qū)間或區(qū)域； (2)樣本點(diǎn)在其上是均勻分布的。 定義：在幾何概型中，若樣本空間所對(duì)應(yīng)區(qū)域的度量為L(zhǎng)(),且事件A的度量為L(zhǎng)(A) ，則A的概率為,這里L(fēng)（），可代表圖形的長(zhǎng)度，面積或體積等。,三、幾何概型,例4:在0，2區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x和y，問(wèn)“x+y1的概率為多少？ 解:由題意知 0x2，0y2， 設(shè)x+y1為事件A，樣本空間和事件A分別可表示為： =（x,y）| 0x2, 0y2 A=(x,y)| x+y1, (x,y) P(A)=紅色區(qū)域面積/正方形面積 =3.5/4=0.875,四. 概率的性質(zhì) （1）P()=0, P()=1,(3),（4）若AB，則P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).,(2),（5）P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).,例6:設(shè)P(A)=1/3,P(B)=1/2, (1)若事件A，B互不相容，求P(BA); (2)若A真包含于B，求P(BA); (3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。 解:（1）若A,B互不相容，則 P(BA)=P(B) =1/2; (2)若A真包含于B，則因?yàn)锽A=B-A,從而 P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6; (3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =1/2-1/8=3/8 .,1定義: 設(shè)A，B是某一試驗(yàn)的兩事件，且P(B)0，稱(chēng),為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.,一、條件概率,1.乘法公式 由條件概率定義，若P(B)0，則P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)0,則P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推廣到任意有限多個(gè)事件時(shí)的情形，例如，設(shè)A，B，C為事件，且P(AB)0，則 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB) 這里，注意到由假設(shè)P(AB)0可推得P(A)P(AB)0.,一般，設(shè)A1,A2,An為n個(gè)事件，n2,且P(A1A2An-1)0，則有: P(A1A2An )= P(A1)P(A2|A1) P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1),二、關(guān)于條件概率的三個(gè)公式,例1.盒中5個(gè)白球，2個(gè)黑球，連續(xù)不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。 解：設(shè)Ai表示第 i 次取到黑球,設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，A為E的事件，B1，B2，Bn為的一個(gè)劃分，且P(Bi)0(i=1,2，n)則 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn) 稱(chēng)為全概率公式。,2.全概率公式,定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為,A為E的事件，B1，B2，Bn為的一個(gè)劃分，且P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，n），則,i=1，2，n.稱(chēng)為貝葉斯（Bayes）公式。,3.貝葉斯公式,例4:某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。元件制造廠次品率及提供晶體管的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管求它是次品的概率。（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少。, 1-4 事件的獨(dú)立性,1.定義 設(shè)A，B為兩事件，如果具有等式 P（AB）=P（A）P（B） 則稱(chēng)A,B為相互獨(dú)立的事件,又稱(chēng)A,B相互獨(dú)立。,2.性質(zhì),（1） 若A，B兩事件相互獨(dú)立，且P(A)0(P(B)0)，則P(B|A)=P(B) (P(A|B)=P(A)。,（3）若P(A)0，P(B)0，則A，B相互獨(dú)立，與A，B互不相容不能同時(shí)成立。,（4）必然事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立； 不可能事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立,例5 在一個(gè)系統(tǒng)中部件能正確工作的概率稱(chēng)為部件的可靠度，系統(tǒng)能正常工作的概率稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠度?，F(xiàn)有四個(gè)部件構(gòu)成下圖所示系統(tǒng)，如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠度均為r，0r1，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求該系統(tǒng)的可靠度。,例10：足球隊(duì)比賽的例子，踢平和輸?shù)母怕矢鳛?/4，打贏的概率為1/2，求其得分的分布函數(shù) 當(dāng)x0時(shí), F(x)=PXx=P()=0; 當(dāng)0x1時(shí), F(x)= PXx=PX=0=1/4 ; 當(dāng)1x2時(shí), F(x)= PXx=PX=0+PX=1=1/2; 當(dāng)x2時(shí), F(x)=PXx= PX=0+PX=1+PX=2=1.,例2: 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,求X的分布函數(shù)，并求,連續(xù)型隨機(jī)變量：,4概率密度f(wàn)(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系： (1)若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度為f(x)，那么它的分布函數(shù)為,(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，那么它的概率密度為f(x)=F(x).,例1: 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,(1)試確定常數(shù)k，(2)求F(x)，(3)并求PX0.1。,1設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X具有概率密度,則稱(chēng)X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為XU(a，b). 若XU(a，b)，則容易計(jì)算出X的分布函數(shù)為,例3: 設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900歐1100歐。求R的概率密度及R落在950歐1050歐的概率。 解: 按題意，R的概率密度為,驗(yàn)證f(x)是一個(gè)合理的概率密度函數(shù): 顯然，f(x)0； 下面驗(yàn)證,（1）定義1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,其中，（0）為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為XN(,2)。,3正態(tài)分布,定義2：當(dāng)=0，=1時(shí)稱(chēng)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 XN(0，1)，其概率密度為,(2) 正態(tài)密度函數(shù)f(x)的幾何特征,駐點(diǎn)：x=,為函數(shù)的極大值點(diǎn)； 拐點(diǎn)：x=.作圖如下,如果固定，改變的值，則圖形沿著Ox軸平移，而不改變其形狀，可見(jiàn)正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)y=f(x)的位置完全由參數(shù)所確定，稱(chēng)為位置參數(shù)。 如果固定，改變，由于最大值 ，可知當(dāng)越小時(shí)圖形變得越尖，因而X落在附近的概率越大。,例5: 設(shè)XN(1.5，22)，求P-1x2。 解:,例1: 一整數(shù)X，隨機(jī)地在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中取任一值，另一整數(shù)Y隨機(jī)地在1X中取值，求(X,Y)的分布律。 解：,1 2 3 4,1/4 1/4*1/2 1/4*1/3 1/4*1/4 0 1/4*1/2 1/4*1/3 1/4 *1/4 0 0 1/4*1/3 1/4 *1/4 4 0 0 0 1/4 *1/4,1.定義：設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在一非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y有,則稱(chēng)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量,函數(shù) f(x,y)稱(chēng)為二維 向量(X,Y)的(聯(lián)合)概率密度.,2概率密度f(wàn)(x,y)的性質(zhì),四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,(3).若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則有,(4).設(shè)G是xy平面上的一個(gè)區(qū)域,點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為:,例3: 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度,(i)求常數(shù)A及分布函數(shù)F(x,y); (ii)求概率PYX,例4 若(X,Y)在D1上服從均勻分布，D1為x軸、y軸及直線(xiàn)y=2x+1所圍。求: (X,Y)的概率密度與分布函數(shù)。,例1：已知(X,Y)的分布律如下,求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。,三、連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣概率密度,例3: 設(shè)(X,Y)在單位圓D(x,y)|x2+y21上服從均勻分布,求邊緣概率密度f(wàn)x(x),fY(y)。,例2: 論X與Y的獨(dú)立性。,求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律,例1: 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,二、連續(xù)型隨