概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)04.ppt

第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)事件可以采取數(shù)量的標(biāo)識(shí)。如：,抽樣檢查產(chǎn)品時(shí)廢品的個(gè)數(shù)。,擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。,對(duì)沒有數(shù)量標(biāo)識(shí)的事件，可以人為加上數(shù)量標(biāo)志。如,產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品記為1，次品記為2，廢品記為3。,天氣下雨記為1，不下雨記為0。,例如：,(1)射擊擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記0分。用表示 射擊的得分，它是隨機(jī)變量，可取0和1兩個(gè)值。,(2)拋一枚硬幣， 表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，它是隨機(jī)變 量，可取0和1兩個(gè)值。,(3)某段時(shí)間內(nèi)候車室旅客數(shù)目記為 ，它可取0及一切 不大于最大容量M的自然數(shù)。,(4)一塊土地上農(nóng)作物的產(chǎn)量是隨機(jī)變量，它可以取區(qū) 間0，T的一切值。,(5)沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它的位置是隨機(jī)變量，可以取 任何實(shí)數(shù)，即 (-,+),隨機(jī)變量按取值情況分為兩類：,(1)離散型隨機(jī)變量,只可能取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)值。,(2)非離散型隨機(jī)變量,可以在整個(gè)數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實(shí) 數(shù)區(qū)間的全部值。,非離散型隨機(jī)變量中最常用的是連續(xù)型隨機(jī)變量。,即取值于一個(gè)連續(xù)區(qū)間全部數(shù)值的隨機(jī)變量。,以后，只研究離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量。,定義2 若是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，令 F(x)=P( x) 稱為F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)。,對(duì)任意實(shí)數(shù)ab,有,P(a b)=P( b)-P( a),=F(b)-F(a),分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的變化情況。,注意 P(a b)=P( =a)+P(a b),=P( =a)+F(b)-F(a),P(a b)=P(a b)-P( =b),=F(b)-F(a)-P( =b),分布函數(shù)具有如下的性質(zhì)：,F(x)是概率，取值在0與1之間,(2)F(x)是x的不減函數(shù)。, x所含基本事件個(gè)數(shù)不會(huì)隨x增大而減少,(4)F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)，,在其間斷點(diǎn)上右連續(xù)。,2 隨機(jī)變量的分布,(一)離散型隨機(jī)變量的分布,定義1 如果隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列個(gè)可能值， 而且以確定的概率取這些不同的值，則稱為離散 型隨機(jī)變量。,一般列成概率分布表：,也可寫成 P( =xk)=Pk (k=1,2,),稱之為概率函數(shù)。, x1, =x2, =xk,構(gòu)成完備事件組。,離散型隨機(jī)變量的分布是指概率分布表或概率函數(shù)。,性質(zhì)： Pk0,k=1,2,例1 一批產(chǎn)品的廢品率為5，從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行 檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量描述廢品出現(xiàn)的情況。,解：用表示廢品的個(gè)數(shù)。, 1表示產(chǎn)品的廢品， 0表示產(chǎn)品的合格品。,或P( =k)=(0.05)k(0.95)1-k, (k=0,1),分布函數(shù)的圖形：,稱為兩點(diǎn)分布,稱為0-1分布,例2 產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三 等品率和廢品率分別為60，10，20，10，任 取一個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)結(jié)果。,解：用 k表示產(chǎn)品為k等品，k1，2，3, 4表示產(chǎn)品為廢品,概率分布表為,例3 用隨機(jī)變量描述擲骰子的試驗(yàn)情況。,解：令表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。,其分布函數(shù)為,其圖形為,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形是階梯曲線。,在的取正概率的點(diǎn)xk處有跳躍，躍度為概率pk,在任一連續(xù)點(diǎn)x上， 取值x的概率都是零。,解：在跳躍點(diǎn)的躍度就是概率。,故概率分布表為,解：概率之和應(yīng)為1,12a+3a+a+2a+a+a,=10a,故 a=0.1,概率表應(yīng)為,=0.8,=0.6,這種隨機(jī)變量稱為幾何分布。,例7 盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個(gè)燈泡，其中 10個(gè)螺口，5個(gè)卡口，燈口向下放著?，F(xiàn)在需要1個(gè) 螺口燈泡，從盒中任取一個(gè)，如果取到卡口燈泡就 不再放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口 燈泡數(shù)的分布。,解： 0表示第一個(gè)就取到了螺口燈泡。, 1表示第一個(gè)取到卡口，第二個(gè)才取到螺口燈泡。,故的分布為,若本題改為取到卡口再放回去。則每次取燈泡時(shí) 的情況完全相同。, k表示前k次取到卡口燈泡，第k1次取到螺口 燈泡。,k0，1，2，,例8 一袋中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，任取 3個(gè)，用表示球上的最大號(hào)碼，求的分布。,解： 至少為3,故的概率分布為,(二)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,例9 在區(qū)間4，10上任意拋擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用表示這個(gè) 質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，則是一個(gè)隨機(jī)變量。若這個(gè)質(zhì)點(diǎn) 落在4,10上任一子區(qū)內(nèi)的概率與這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度成正比， 求的分布函數(shù)。,圖形為,F(x),1,x,4,10,取任何一個(gè)具體值的概率都是零。,概率密度的基本性質(zhì)：,由于P( =a)=P(=b)=0,故對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量。,P(a b)=P(ab)=P(a b),=F(b)-F(a),=0,=1,x0時(shí),0,0x2時(shí),x2時(shí),1,