概率論于數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.5.ppt

1,3.5 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,為了解決類似的問題下面 我們討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布.,3.5.1 問題的引入,2,已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 為已知的二元函數(shù),轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件,求 Z = g( X ,Y )的概率分布,3,當(dāng)( X ,Y )為離散r.v.時(shí), Z 也離散,當(dāng)( X ,Y )為連續(xù)r.v.時(shí)，,其中,4,的幾何意義：,Dz,5,3.5.2 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例1 設(shè)二維r.v.( X,Y )的概率分布為,6,解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,7,故得,-2 -1 0 1 2,-1 0 1 2 3,8,9,設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨(dú)立，,具有可加性的兩個(gè)離散分布,設(shè) X P (1), Y P (2), 且獨(dú)立，,則 X + Y B ( n1+n2, p),則 X + Y P(1+ 2),10,X P(1), Y P(2), 則,Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, ,Poisson分布可加性的證明,11,3.5.3 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,問題 已知r.v.( X ,Y )的d.f. ， g(x,y)為已知的二元函數(shù)，,求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.,主要方法 從求Z 的分布函數(shù)出發(fā),將Z 的分布函數(shù) 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件.,12,(1) 和的分布：Z = X + Y,設(shè)( X ,Y )的聯(lián)合d.f.為 f (x,y), 則,x +y= z,或,13,特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則,或,或,稱之為函數(shù) f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積,14,例2 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合d.f.為,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法一（圖形定限法）,顯然 X ,Y 相互獨(dú)立,且,15,16,解法二 從分布函數(shù)出發(fā),當(dāng)z 0 時(shí)，,17,當(dāng)0 z 1 時(shí)，,18,當(dāng)1 z 2 時(shí)，,z-1,19,當(dāng)2 z 時(shí)，,20,例3 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f.為,Z = X + Y ,求 f Z (z),解 （圖形定限法）,由公式（1）,21,當(dāng) z 2 ,當(dāng) 0 z 1,當(dāng) 1 z 2,f Z (z) = 0,22,這比用分布函數(shù)做簡便.,23,正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)論,若X ,Y 相互獨(dú)立,則,若(X ,Y ),則,則,推廣,24,(2) 極值分布：即極大(小)值的分布,離散隨機(jī)變量的極值分布 可直接計(jì)算,僅就獨(dú)立情形討論極值分布,25,解,26,27,設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X ,Y 相互獨(dú)立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y ,