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重慶大學材料力學答案 2.9 題圖 2.9 所示中段開槽的桿件，兩端受軸向載荷P 的作用，試計算截面1-1 和 2-2 上的應力。已知： P = 140kN，b = 200mm，b0 = 100mm，t = 4mm 。 題圖 2.9 解：(1) 計算桿的軸力 kN140 21 PNN (2) 計算橫截面的面積 2 1 mm8004200tbA 2 02 mm4004)100200()(tbbA (3) 計算正應力 MPa175 800 1000140 1 1 1 A N MPa350 400 1000140 2 2 2 A N (注：本題的目的是說明在一段軸力相同的桿件內(nèi)，橫截面面積小的截面為該段 的危險截面 ) 2.10 橫截面面積 A=2cm 2 的桿受軸向拉伸， 力 P=10kN，求其法線與軸向成30 的及 45斜截面上的應力及，并問 max發(fā)生在哪一個截面？ 解：(1) 計算桿的軸力 kN10PN (2) 計算橫截面上的正應力 MPa50 1002 100010 A N (3) 計算斜截面上的應力 MPa5 .37 2 3 5030cos 2 2 30 MPa6 .21 2 3 2 50 )302sin( 2 30 MPa25 2 2 5045cos 2 2 45 MPa251 2 50 )452sin( 2 45 (4) max發(fā)生的截面 0)2c o s( d d 取得極值 0)2c o s ( 因此： 2 2，45 4 故： max發(fā)生在其法線與軸向成 45的截面上。 （注：本題的結(jié)果告訴我們， 如果拉壓桿處橫截面的正應力，就可以計算該處任 意方向截面的正應力和剪應力。 對于拉壓桿而言， 最大剪應力發(fā)生在其法線與軸 向成 45的截面上，最大正應力發(fā)生在橫截面上，橫截面上剪應力為零） 2.17 題圖 2.17 所示階梯直桿AC，P=10kN，l1=l2=400mm，A1=2A2=100mm 2， E=200GPa。試計算桿 AC 的軸向變形 l。 題圖 2.17 解：(1) 計算直桿各段的軸力及畫軸力圖 kN10 1 PN（拉） kN10 2 PN（壓） (2) 計算直桿各段的軸向變形 mm2. 0 1001000200 400100010 1 11 1 EA lN l（伸長） mm4.0 501000200 400100010 2 22 2 EA lN l（縮短） (3) 直桿 AC 的軸向變形 mm2.0 21 lll（縮短） (注：本題的結(jié)果告訴我們，直桿總的軸向變形等于各段軸向變形的代數(shù)和) 2.20 題圖 2.20 所示結(jié)構(gòu)，各桿抗拉（壓）剛度EA 相同，試求節(jié)點 A 的水平和 垂直位移。 ( a)(b) 題圖 2.20 (a) 解： (1) 計算各桿的軸力 以 A 點為研究對象，如右圖所示，由平衡方程可 得 0X，PN2( 拉 ) 0Y，0 1 N (2) 計算各桿的變形 0 1 l EA Pl EA Pl EA lN l 245cos/ 22 2 (3) 計算 A 點位移 以切線代弧線， A 點的位移為： EA Pll xA 2 45cos 2 0 A y (b) 解： (1) 計算各桿的軸力 以 A 點為研究對象， 如右圖所示， 由平衡方程 可得 0X，PN2 1 ( 拉 ) 0Y，PN2( 壓 ) (2) 計算各桿的變形 EA Pa EA aP EA lN l 222 11 1 ( 伸長 ) EA Pa EA aP EA lN l 22 2 ( 縮短 ) (3) 計算 A 點位移 以切線代弧線， A 點的位移為： EA Pa EA Pa EA Pa l l ACABxA) 122( 22 45cos 2 1 EA Pa ly A2 注：本題計算是基于小變形假設(材料力學的理論和方法都是基于這個假設)， 在此假設下， 所有桿件的力和變形都是沿未變形的方向。計算位移的關(guān)鍵是以 切線代弧線。) 2.15 如題圖 2.15所示桁架， =30 ，在 A點受載荷 P = 350kN，桿 AB 由兩根 槽鋼構(gòu)成，桿AC 由一根工字鋼構(gòu)成，設鋼的許用拉應力MPa160 t ，許用 壓應力MPa100 c 。試為兩根桿選擇型鋼號碼。 題圖 2.15 解：(1) 計算桿的軸力 以 A 點為研究對象，如上圖所示，由平衡方程可得 0X，0coscos 12 NN 0Y，0sinsin 21 PNN kN350 1 PN(拉) kN350 12 NN(壓) (2) 計算橫截面的面積 根據(jù)強度條件： max A N ，有 21 1 mm5 .2187 160 1000350 2 t N A， 2 1 mm75.1093A 22 2 mm3500 100 1000350 c N A (3) 選擇型鋼 通過查表，桿 AB 為 No.10 槽鋼，桿 BC 為 No.20a工字鋼。 (注：本題說明，對于某些材料，也許它的拉、壓許用應力是不同的，需要根據(jù) 桿的拉、壓狀態(tài)，使用相應得許用應力) 2.25 題圖 2.25 所示結(jié)構(gòu)，AB 為剛體，載荷 P可在其上任意移動。 試求使 CD 桿 重量最輕時，夾角應取何值？ 題圖 2.25 解：(1) 計算桿的軸力 載荷 P 在 B 點時為最危險工況，如下圖所示。 以剛性桿 AB 為研究對象 0 A M，02sinlPlNCD sin 2P N CD (2) 計算桿 CD 橫截面的面積 設桿 CD 的許用應力為，由強度條件，有 sin 2 PNN A CD (3) 計算夾角 設桿 CD 的密度為，則它的重量為 2coscossin 2 cos PlPll ACDAVW 從上式可知，當45時，桿 CD 的重量 W最小。 （注：本題需要注意的是：載荷P 在 AB 上可以任意移動，取最危險的工作狀 況（工況）； 桿的重量最輕，即體積最小。 ） 2.34 題圖 2.34 所示結(jié)構(gòu)，AB 為剛性梁，1 桿橫截面面積 A1=1cm 2， 2 桿 A 2=2cm 2， a=1m，兩桿的長度相同， E=200GPa，許用應力 t=160MPa，b=100MPa， 試確定許可載荷 P。 題圖 2.34 解：(1) 計算桿的軸力 以剛性桿 AB 為研究對象，如下圖所示。 0 A M，032 21 aPaNaN 即：PNN32 21 (1) 該問題為一次靜不定，需要補充一個方程。 (2) 變形協(xié)調(diào)條件 如上圖所示，變形協(xié)調(diào)關(guān)系為 2l1 =l2 (2) (3) 計算桿的變形 由胡克定理，有 1 1 1 EA aN l； 2 2 2 EA aN l 代入式 (2)得： 2 2 1 1 2 EA aN EA aN 即： 2 2 1 1 2 A N A N (3) (4) 計算載荷與內(nèi)力之間關(guān)系 由式(1)和(3)，解得： 1 1 21 3 4 N A AA P(4) 或 2 2 21 6 4 N A AA P(5) (5) 計算許可載荷 如果由許用壓應力 b決定許可載荷，有： )4( 3 1 3 4 3 4 211 1 21 1 1 21 bbb AAA A AA N A AA P )(30)(30000100)2004100( 3 1 kNN 如果由許用拉應力 t決定許可載荷，有： )4( 6 1 6 4 6 4 212 2 21 2 2 21 ttt AAA A AA N A AA P )(24)(24000160)2004100( 6 1 kNN 比較兩個許可載荷，取較小的值，即 )(24 , minkNPPP tb （注：本題需要比較由桿1 和桿 2 決定的許可載荷， 取較小的一個值， 即整個結(jié) 構(gòu)中，最薄弱的部位決定整個結(jié)構(gòu)的許可載荷。） 2.42 題圖 2.42 所示正方形結(jié)構(gòu)，四周邊用鋁桿(Ea=70GPa，a=21.610 -6 -1 ) ； 對角線是鋼絲 (Es=70GPa，s=21.610 -6 -1 ) ，鋁桿和鋼絲的橫截面面積之比為 2:1 。若溫度升高 T=45時，試求鋼絲內(nèi)的應力。 題圖 2.42 解：(1) 利用對稱條件對結(jié)構(gòu)進行簡化 由于結(jié)構(gòu)具有橫向和縱向?qū)ΨQ性，取原結(jié)構(gòu)的 1/4 作為研究的結(jié)構(gòu)如下圖所 示， (2) 計算各桿的軸力 以 A 點為研究對象， 如右圖所示， 由平衡方程 可得 0X，045cos as NN 即： as NN2 (3) 變形協(xié)調(diào)關(guān)系 如上圖所示，鋁桿與鋼絲的變形協(xié)調(diào)關(guān)系為： as ll2 鋼絲的伸長量為： (設鋼絲的截面積為A) )( 2 2 AE lN lT AE lN lTl s s s ss ss sss 鋁桿的伸長量為： )2( 4 1 AE lN lT AE lN lTl a a a aa aa aaa 由式，可解得： AT EE EE N sa sa sa s )( 22 22 (4) 計算鋼絲的應力 T EE EE A N sa sa sas )( 22 22 )(3.4445)107 .11106.21( 10200107022 10200107022 66 33 33 MPa 3.8 題圖 3.8 所示夾剪，銷釘 B 的直徑 d=5mm,銷釘與被剪鋼絲的材料相同， 剪切 極限應力 u=200Mpa， 銷釘?shù)陌踩禂?shù) n=4， 試求在 C 處能剪斷多大直徑的鋼絲。 解：設 B,C 兩點受力分別為 1 F , 2 F 。 剪切許用應力為： u n =50Mpa 對 B 點，有力矩和為零可知： B M=0，即： 1 F =4P 由力平衡知： 1 F +P= 2 F 2 F = 5 4 1 F 其中： 2 F =A=12.5 2 d 故： 1 F =10 2 d 又由強度要求可知： u 1 1 F A 即：d 1 1 4 u F =5=2.24mm 3.11車床的轉(zhuǎn)動光桿裝有安全聯(lián)軸器，當超過一定載荷時， 安全銷即被剪斷。已 知安全銷的平均直徑為5mm，其剪切強度極限 b=370Mpa，求安全聯(lián)軸器所能 傳遞的力偶矩 m. 解：設安全銷承受的最大力為，則：F = b 21 4 d 那么安全聯(lián)軸器所能傳遞的力偶矩為：m = F D 其中 b=370Mpa，b=5mm，D=20mm， 代入數(shù)據(jù)得： 力偶矩 m=145.2N m 4.7 求題圖 4.7中各個圖形對形心軸z 的慣性矩 z I。 解： （1）對 I 部分： 1 z I = 3 80020 12 4 mm I z I= 1 z I+ 2 aA= 3 80020 12 + 2 20 50 2 2080 4 mm=287.57 4 cm 對 II 部分： 2 z I= 3 20120 12 4 mm II z I= 2 z I+ 2 aA= 3 20 120 12 + 2 120 2052 2 20 120 4 mm=476.11 4 cm 所以: z I = I z I+ II z I=763.73 4 cm (2) 對完整的矩形： 1 z I= 3 12 bh = 3 120200 12 =8000 4 cm 對兩個圓： II z I=2 4 2 64 D a A =2 4 2240 5020 64 =653.12 4 cm 所以： z I = 1 z I II z I=7346.88 4 cm 4.9 題圖 4.9 所示薄圓環(huán)的平均半徑為r，厚度為 t（rt）.試證薄圓環(huán)對任意直徑 的慣性矩為 I = 3 r t ，對圓心的極慣性矩 p I= 2 3 r t。 解： （1）設設圓心在原點，由于是圓環(huán)，故慣性矩對任意一直徑相等，為： I = 4 4 1 64 D 其中= d D 所以： I = 4 4 2 21 642 rt rt rt = 22 828 64 rtrt r t I = 2 88 64 rrt= 3 r t (2) 由一知：極慣性矩 p I= 2 I = 2 3 r t 5.7 (1) 用截面法分別求題圖5.7 所示各桿的截面1-1,2-2和 3-3 上的扭矩，并畫 出扭矩圖的轉(zhuǎn)向 ; (2)做圖示各桿的扭矩圖 解： （1） 1 m = 2 m =-2kN m， 3 m =3kN m （2） 1 T =-20kN m， 2 T =-10kN m， 3 T =20kN m 5.11一階梯形圓軸如題圖5.11 所示。已知輪 B 輸入的功率 B N =45kW，輪 A 和輪 C 輸出的功率分別為 A N =30Kw, C N =15kW；軸的轉(zhuǎn)速n=240r/min, 1 d =60mm, 2 d =40mm;許用扭轉(zhuǎn)角=2/ m，材料的=50Mpa,G=80Gpa.試校核軸的強 度和剛度。 解： （1）設 AB,BC 段承受的力矩為 1 T , 2 T .計算外力偶矩： A m =9549 A N n =1193.6N m C m =9549 C N n =596.8N m 那么 AB,BC 段的扭矩分別為： 1 T = A m =1193.6N m 2 T .= c m =596.8N m （2）檢查強度要求 圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件為： max max t T W 可知：(其中 3 16 t d W， 1 d =60mm, 2 d =40mm) 代入 1max 1max t T W 和 2max 2max t T W 得： 1max=28.2Mpa, 2max=47.5Mpa 故： max =47.5Mpa （3）檢查強度要求 圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件式為： maxmax max 4 180180 32 p TT GI Gd 所以： 1max= 1max 4 1 180 32 T d G =0.67m 2max = 1max 4 1 180 32 T d G =1.7m 故： max=1.7 m 5.13 題圖 5.13 所示，汽車駕駛盤的直徑為520mm，駕駛員作用于盤上的力 P=300N，轉(zhuǎn)向軸的材料的許用剪應力=60Mpa。試設計實心轉(zhuǎn)向軸的直徑。 若改用= d D =0.8 的空心軸，則空心軸的內(nèi)徑和外徑各位多大？并比較兩者的 重量。 解： （1）當為實心轉(zhuǎn)向軸時 外力偶矩 m=pl=156N m 則扭矩 T=156N m 圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件為： max max t T W 可知： (其中 3 16 t d W) max 3 16T d=23.6N m (2) 當改為 d D =0.8 的空心軸時 圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件為： max max t T W 可知： (其中 3 4 1 16 t D w) D28.2mm d22.6mm 故：空心軸 D=28.2mm,d=22.6mm (3) 實心軸與空心軸的質(zhì)量之比就應該是兩者的橫截面積之比，即： 22 2 1 1 4 = m d 4 D mA A 實實 空空 = 0.514 5.16 題圖 5.16所示鉆探機鉆桿的外徑D = 60mm ，內(nèi)徑 d = 50mm，鉆入的深度 l=40m;A 端輸入的功率 A N =15Kw，轉(zhuǎn)速 n=180r/min，B 端鉆頭所受的扭轉(zhuǎn)力矩 B M =300kN m；材料的= 40MPa，G = 80GPa，假設土壤對鉆桿的阻力沿桿 長度均勻分布，試求： （1）單位長度上土壤對鉆桿的阻力距m。 （2）作鉆桿的扭矩圖，并校核其扭轉(zhuǎn)強度。 （3）A,B 兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角。 解： （1）鉆探機 A 端的偶矩為： A M =9549 n A N =795.75mN 那么單位長度的阻力矩為： m= AB MM l =12.4 N/m （2）圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件為： max max t T W 得：(其中 3 4 1 16 t D w) max 36.2Mpa40MPa 所以滿足強度要求 （3）由兩截面之間的相對轉(zhuǎn)角為： 0 l p T dx GI 其中 44 32 p IDd=1.59 74 10m 所以： 0 l p T dx GI = 40 0 495.75 795.75 40 p x dx GI = 0.416 rad A，B 兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角為0.416 rad 6.6 求題圖 6.6 中各梁的剪力方程和彎矩方程，作剪力圖和彎矩圖，并求 |Q|max和|M|max。 b) 解： 支座反力： XB=0，YB = P = 200N, MB=950N, 剪力方程： Q(x) = -200N. 彎矩方程： AC 段：M(x) = -PX = - 200X1 (0 X2m)； CB 段：M(x) = -PX - M0 = -(200X +150) (2mX24m) 因此： |Q|max = 200 N； |M|max = 950 N m (f) 解： 支座反力： 39 0,=qa 44 AAB XYqa Y 剪力方程： AB 段： qxqaxQ 4 3 )( ，(0 x 2a) BC 段：)3()(xaqxQ，(2a x 3a) 彎矩方程： AB 段： 2 2 1 4 3 )(qxqaxxM ，(0 x 2a) BC 段： 2 )3( 2 1 )(xaqxM ，(2a x 3a) 因此： qaQ25. 1 max ； 2 max 32 9 qaM 6.10 不列剪力方程和彎矩方程，作題圖6.10 中各梁的剪力圖和彎矩圖，并求出 |Q|max和|M|max。 (b) 解： 支座反力： 因此：qaQ max ； 2 max 4 5 qaM (f) 解： 支座反力： 因此： qaQ 6 7 max ； 2 max 6 5 qaM 6.12 作題圖 6.12 中各構(gòu)件的內(nèi)力圖 （b） 解： (d) 解： 13. 設梁的剪力圖如題圖613所示，試做彎矩圖和載荷圖，已知梁上沒有作用 集中力偶。 (b) 解： 6.14 已知梁的彎矩圖如題圖6.14 所示，是做梁的載荷圖和剪力圖。 (b) 解： 7.920a 工 字 鋼 梁 的 支 承 和 受 力 情 況 如 題 圖7.9 所 示。 若 =160Mpa，試求許可載荷 P的值。 圖 7.9 解： （1）求支座反力 PRR BA 3 1 （2）畫出彎矩圖 PM 3 2 max （3）求許可載荷 查表， 20a工字鋼的 33 10237mmWZ z W M max max kNWPz9.56 2 3 7.11 題圖 7.11 所示一鑄造用的鋼水包。試按其耳軸的正應力強度 確定充滿鋼水時所允許的總重量。已知材料的許用應力 =100MPa， d=200mm 解： GlPlM 2 1 max z W M max max kN l d l W G z 523 32 1 2 2 3 7.14題圖 7.14所示軸直徑 D=280mm，跨長 L=1000mm，l=450mm， b=100mm。軸材料的彎曲許用應力=100NPa,求它能承受的 最大軋制力。 圖 7.14 解： （1）求支座反力 2 ql RR BA （2）畫出彎矩圖 ) 82 ( 82 22 max bbl q qbqbl M （3）求最大軋制力 max P z W M max max mmN bbl D bbl W q z /9069 82 32 1 82 2 3 2 因此：kNqbP9.906 max 7.15 鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如題圖7.15 所示。許用拉應力 t=40MPa，許用壓應力 e=160MPa。試按正應力強度條件校核梁 的強度。 解： （1）支座反力 30,10 BD RKN RKN （2）畫彎矩圖 由上面彎矩圖可知， B,D 兩個點可能為危險截面。 |MB| = 20 kNm;MC = 10kNm （3）強度校核 1122 12 157.5 cc c A yA y ymm AA 32 12 3 2 4 1 *20* 320*3* 20 15.75 1.5 12 1 *3* 303*20*(15.7510) 12 6012.5 ZZZ IIIcmcmcmcm cmcmcmcmcmcm cm B 截面下邊緣 52.4 Bc BC Z M y MPa I B 截面上邊緣 (230) 24.1 Bc Bt Z My MPa I C 截面下邊緣 26.2 Cc ct Z M y MPa I C 截面上邊緣 MPa I yM Z CC BC 05.12 )230( 所以 maxmax 52.4,26.2 cctt 安全 7.19 題圖 7.19 所示梁由兩根36a 工字梁鉚接而成。鉚釘?shù)拈g距為 s=150mm，直徑 d=20mm，許用剪應力 =90MPa。梁橫截面上的剪 力 Q=40KN,試校核鉚釘?shù)募羟袕姸取?解： 查表，單個工字梁的截面參數(shù)為： 4 15760cmI z ； 2 3.76cmA；cmh36 兩個工字梁重疊以后對中性軸的慣性矩 24 1 2()8096.2 2 zZ h IIAcm 兩個工字梁重疊后對中性軸的靜矩 2* 4.1373 cmyAydAS A z 設工字梁翼板的寬度為b，則中性層上的剪應力為 bI QS z z * 每一對鉚釘分擔的剪力為 kN I sQS bsQ z z 2.10 * 鉚釘?shù)募魬?MPaMPa A Q 902.16 2 所以安全 8.5 用積分法求題圖8.5 中各梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程以及指定的 轉(zhuǎn)角和撓度。已知抗彎剛度EI 為常數(shù)。 圖 8.5 解： （1）求支座反力 0 l A M R,向上， 0 l B M R，向下。 （2）以 A 為原點，寫出彎矩方程： 0 ( ) M M xx l （3）求撓曲線方程 30 6 M EIyxCxD l 帶入邊界條件0 AB yy得 0l =,0 6 M CD 故轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為 22 00 2 000 (),() 266 , 6316 ABC MMxxlx yl EIlEIl MlMlMl y EIEIEI 8.7 寫出題圖 8.7 所示各梁的邊界條件。其中(b）圖的 k 為彈簧剛度 （N/m） 。 （a） 題圖 8.7 解： 11 1 0, 22 , 2 AAB B qlql yRR R lqll l EAEA 當 x=l 時， 1 2 B qll y EA 邊界條件： 1 0, 2 AB qll yy EA 8.12用疊加法求題圖 8.12 所示各梁截面 A 的撓度和截面 B 的轉(zhuǎn)角。 已知 EI 為常數(shù)。 （f） 題圖 8.12 解： 先假設， CD 段為剛性，則 AC 段可視為在 C 段固定的懸臂梁。 在 2 2 ql M 作用下， EI ql yA 4 2 1； EI qal B 2 2 1 再將 AC 視為剛性，則查表可得： EI ql EI Ml C 63 3 1； EI ql C 24 3 2 因此： EI ql CCC 24 5 3 21 )512( 24 2 211 la EI ql CCBB 由于截面 C 的轉(zhuǎn)動，使截面A 有一向上撓度，為： 2 212 5 24 ACC qal ya EI 因此： 2 12 (65 ) 24 AAA qal yyyal EI 8.15一直角拐如題圖 8.15 所示。AB 段橫截面為圓形， BC 段為矩形； A 端固定， B 端為滑動軸承， C 端的作用力 P=60N；已知材料的 E=210GPa ，G=80GPa。試求 C 端的撓度。 題圖 8.15 解：用疊加法，首先P 在 C 點引起的直接撓度由表查得： EI Pl y BC C 3 2 1 4 3 3 1250 12 105 m mII Z mmyC17.6 3 1250 2100003 30060 3 1 然后 P在 B 點的等效轉(zhuǎn)矩下引起AB 桿發(fā)生扭角為： rad D G lPl GI lT ABBC p ABB 16.7 32 3 所以,C 點的總撓度為 mmlyy BCCC 32.8 1 8.19如題圖 8.19所示懸臂梁 AD 和 BE 的抗彎剛度均為 EI=24*10 6Nm2，由鋼桿 CD 相連接。 CD 桿的 l=5m，A=3*20-4， E=200GPa。若 P = 50kN，試求懸臂梁 AD 在 D 點的撓度。 題圖 8.19 解：設 CD 桿上的軸力為 F，則由 F 引起 C 和 D 點的撓度分別為： EI Fl y AD D 3 3 （1） EI Fl y BC C 3 3 1 （2） 由 P 引起 D 點的撓度為： EI llPl y BCBEBC C 6 )3( 2 2（3） CD 桿的伸長為： EA Fl l CD CD （4） 幾何相容關(guān)系為： DCCCD yyyl 12（5） 將式（ 1）（4）式代入式（ 5）得： EI Fl EI Fl EI llPl EA Fl ADBCBCBEBCCD 336 )3( 332 BEADBC lll 2 1 11 10243 22 102103 5 10246 25 3 2 6 5 6 3 94 6 3 2 2 P P EI l EA l EI Pl F BCCD BC 因此： m mm EI Pl EI Fl y ADAD D 5.500505.0 102433 21050 333 6 3333 8.21 題圖 8.21所示四分之一圓環(huán)， 其平均半徑為 R，抗彎剛度為 EI。 試用用莫爾定理求截面B 的垂直位移與水平位移。 題圖 8.21 解： （1）求彎矩方程 在四分之一圓環(huán)上取一截面m-m，求截面上的彎矩方程。 在外力作用下：)1()(CosPRM 水平單位力作用下： )1()( 1 CosRM 水平單位力作用下：SinRM)( 2 （2）用莫爾積分求位移 水平位移： EI PR dCos EI PR dl EI MM x l B 3 2 0 2 3 0 1 356. 0)1( )()( (向右) 垂直位移： EI PR dSinCos EI PR dl EI MM y l B 2 )1( )()( 3 2 0 3 0 2 (向下) 8.23 外伸梁受力作用如題圖8.23所示，梁的抗彎剛度為EI,使用圖 形互乘法計算外伸端D 的撓度。 題圖 8.23 解： （1）求支座反力 2 , 59 , 44()220 2 AB AB A RRqa Rqa Rqa a M BaRqaqa （2）畫彎矩圖 實際載荷和在 D 點單位力的彎矩圖如下所示： （3）圖形互乘法 23 11 23 22 23 33 23 44 34 33 155 ,* 3248 31 339 , 52 5 440 141 211 , 152 5 210 3111 , 4326 1539317 () 385 404 624 c c C C D a Maqaqa aa Mqaqa a Maqaqa a Maqaqa aqaaaqa yqaqa EIEI 9.7 在題圖 9.7 所示各單元中，使用解析法和圖解法求斜截面ab上的 應力，應力單位為MPa。 （C） 解：如圖所示， x 100,50 0,60 y o xy MPaMPa （1）解析法 xx =cos2sin 2 22 1005010050 (cos1200)62.5 22 yy xy o MPaMPa x10050 sin2cos2(sin1200) 22 21.7 yo xy MPa MPa （2）圖解法 作應力圓如下圖所示。 從圖中可量的D點的坐標，此坐標便是 和的數(shù)值。 9.8 已知如題圖 9.8 所示各單元的應力狀態(tài)（應力單位為MPa） 。試求 （1）主應力之值及其方向，并畫在單元體上； （2）最大剪應力之值。 (b) 解： max22 min 22 () 22 10201020 ()20 22 30 20 xyxy xy 所以123 30,0=20MPaMPa， ，方向如上圖所示。 0 13 max 2 2* 204 tan 2 10203 4 2arctan 3 3020 25 22 xy xy MPa 9.11鋼制受力構(gòu)件，其危險點應力狀態(tài)如題圖9.11所示，已知 =160MPa，試用第三強度理論校核其強度。 max22 min 22 () 22 400400 ()40 22 24.72a 64.72a xyxy xy MP MP 123 =40a24.72,64.72MPMPaMPa， 如題圖 9.11 解： x 40,40 40 xy z MPaMPa MPa 由圖可知， z是主應力（剪應力為0） 所以， 按照第三強度理論 13 =104.72a160aMPMP合格。 9.14 設地層為石灰?guī)r，如題圖9.14所示，泊松比 =0.2，單位體積 重=25kN/m 3。試計算離地面 400m 深處的主應力。 解： )(10)/(100. 1)(400)/( 273 3 MPamNmmkN 21（1） 由于單元體在地下某平面的四周受到均勻壓力，所以， 0 21 因此： 0)( 1 3211 E （2） 由式（ 1）和（ 2）解得， MPa5.2 2.01 )10(2 .0 1 3 1 9.17已知圓直徑 d =10cm，受力如題圖 9.17 所示，今測得圓軸表面的 軸向應變 4 0 103， 與軸線成 45 o 方向的應變 4 45 10375. 1， 圓軸材料 E = 200GPa，=0.25，許用應力， 120,GPa 試用第 三強度理論校核軸的強度。 解： 由于是拉伸和扭轉(zhuǎn)的組合變形，橫截面上僅有正應力和剪應力。 如下圖所示 (a）(b) (c) （1）求正應力 在軸向方向放置的單元體上 （上圖 b）,只有 x 方向上有正應力， 由廣義胡克定理： )( 1 0 0 zyx E 解得：MPaE x 60103102 45 0 0 （2）求剪應力 將單元體旋轉(zhuǎn) 45 0，如上圖（c）所示，由斜截面正應力計算公式： C o sSi nS i nC o s xyyx 2 22 有： xy x 2 0 45 xy x 2 0 135 由廣義胡克定理： )1()1( 2 1 1 1 000 1354545 xyx EE 解得： )1 ( 2 1 )1( 1 0 45 xxy E 60)25.01( 2 1 )10375. 1(102 )5. 21( 1 45 MPa40 （3）用第三強度理論校核強度 M P aM P a r 1 2 01 0 0404604 2222 3 強度滿足要求。 9.21直徑 d = 10 mm 的柱塞通過密閉的高壓容器（題圖9.21） ，并承 受扭矩 T0 = 80 N.m，容器內(nèi)壓 p = 500 MPa，其材料的拉伸和壓縮強 度極限為 bt = 2100 MPa，bc = 5120 MPa。試按莫爾強度理論計算 危險點處的相當應力。 題圖 9.21 解：由于柱塞處在壓力容器中，徑向受到壓力P，所以，柱塞上某一 點的應力狀態(tài)如下圖所示， 3 16 dW MPa W T 6.407 16 1014.3 1080 3 3 0 max MPa PP yz yz zyzy 2.228) 2 ( 2 ) 2 ( 2 22 22 max MPa PP yz yz zyzy 2.728) 2 ( 2 ) 2 ( 2 22 22 min 所以主應力為： MPa2.228 1 ；MPa500 2 ；MPa2.728 3 由莫爾強度理論得： MPa bc bt Mr 9.526)2 .728( 5120 2100 2.228 31 10.9題圖 10.9所示 AB 橫梁由 No.14 工字鋼制成。已知P=12kN，材 料=160Mpa。試校核該橫梁的強度。 題圖 10.9 解： 對于 No.14 工字鋼，查表有： W= 3 102cm ， A=21.5 cm2 由圖易知： 44 max= =1.2m=1.210mMMN 同時桿 DC 對 AC 段產(chǎn)生拉應力為 2P max max 32 21.2km2.4k =+129 pa160Mpa= 102cm21.5cm MPNN M WA 故：滿足強度要求 10.10題圖 10.10所示短柱子，已知 1 P=100kN， 2 P=45kN，b=180mm， h=300mm，試問 2 P偏心距為多少時截面上仍不會產(chǎn)生拉應力？ 題圖 10.10 解：設偏心距恰好為e時，不產(chǎn)生拉應力，那么由 2 P產(chǎn)生的彎曲力 M= 2 Pe 則產(chǎn)生的彎曲拉應力： 1= M W (其中 w= 2 33 2.7 10 6 bh m ) 由P和 2 P產(chǎn)生的壓應力： 2= 5 6 2 22 1.45 10 2.68 10/ 5.4 10 PPN Nm Am 當 12時，將不會產(chǎn)生拉應力。即 22 P ePP WA e=2 2 W P =161mm 故偏心距 e 為 161mm時將不產(chǎn)生拉應力 10.16 鐵道路標圓信號板，裝在外徑D=60mm 的空心圓柱上（如題 圖 10.16所示） ，信號板所受的最大風載p=2kN/ 2 m，材料的許用應力 =60Mpa，試按第三強度理論選定空心圓柱的厚度。 題圖 10.16 解：本結(jié)構(gòu)屬于彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合。易知只需判斷空心圓柱與地面接 觸的圓柱是否滿足第三強度理論。 設信號盤面積為A，水平空心圓柱長為 1 L，豎直空心圓柱長為 2 L 在空心圓柱與地面接觸處： 扭矩： T = 2 32 1 0.5 2mmm=m 2 P A L 彎曲：M = 2 322 2 0.5 2mmm= 2 P A LN m 按照第三強度理論： 221 MT W (其中 3 42t 1= 32 DD W D 和) 故有： 22 4 3 32 1- MT D 即： 22 4 3 32 11 2 MTD t D 代入數(shù)據(jù)可得： t 2.65mm 故選定空心圓柱的厚度為2.65mm 10.20 軸 AB 上裝有兩個輪子如圖10.20 所示，作用有 P=3kN 和 Q， 處于平衡狀態(tài)，已知軸的=60Mpa，試按第三強度理論選擇軸的直 徑。 題圖 10.20 解：由于軸在力 P和力 Q 的作用下處于平衡狀態(tài)。則有：Q=2P=6kN 設在 A，B 處的支座反力分別為RA 和 RB，由平衡條件，有： 0 B M，05.15.35QPRA，得：kNRA9. 3 0Y，0 BA RQPR，得：kNRB1. 5 分別作出M圖和T圖如下圖： 知：M=8.25 kN m；T = 6 kN m 由第三強度理論： 221 MT W 將 3 32 d W 代入可得： 22 3 32 MT d =125.6mm 故選擇的直徑為 126 mm 10.25 題圖 10.25所示圓截面桿受橫向力P和外力偶矩 m 作用。今 測 得A