拉格朗日方程-振動.ppt

分析力學(xué)基礎(chǔ),1 自由度和廣義坐標(biāo),2 虛位移原理,3 動能和勢能,4 DAlembert原理,5 Lagrange方程,6 哈密爾頓原理,自由度 完全確定系統(tǒng)在任何瞬時位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度。,1 自由度和廣義坐標(biāo),分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),分析力學(xué) 分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點系平衡和運(yùn)動問題的工具。它從能量的觀點，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動能、勢能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，是研究靜動力學(xué)問題的一個普遍、簡單又統(tǒng)一的方法。,廣義坐標(biāo) 用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時的位置，則這組坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。,一般地，建立振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時廣義坐標(biāo)的數(shù)目與自由度相等。,約束 對質(zhì)點在空間的運(yùn)動所加的限制稱為約束。,質(zhì)點的自由度 質(zhì)點在空間需要3個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時的位置，因此，它的自由度為3。n個毫不相干、無任何約束的質(zhì)點組成的質(zhì)系自由度為3n。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),剛體的自由度 一個剛體在空間需要6個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時的位置，因此它的自由度為6。m個無約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為6m。,振動系統(tǒng)的自由度 振動系統(tǒng)力學(xué)模型中若有n個質(zhì)點和m個剛體，那么它的自由度DOF必定滿足下列方程：,DOF = 3 n + 6 m -（約束方程數(shù)）,例 1 圖 (a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（b）中質(zhì)量用一根長度為l，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2.1 自由度和廣義坐標(biāo),這樣，坐標(biāo) x 、 y 和 z 就再不獨(dú)立。若用球面坐標(biāo)r 、y 和j 來表示，必須滿足條件 r = l ，只要用y 和j 兩個坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬時的位置，即廣義坐標(biāo)數(shù)為2，自由度為2。,解 對圖（a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長，因此它的約束方程為零，自由度為3。,對圖（b）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長， 因此在空間的位置必須滿足質(zhì)量離懸掛點的距離保持不變的條件，即滿足下列方程約束方程：,(a) （b）,例 2 右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量m 1及剛性桿l 2和質(zhì)量m 2組成的兩個單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。,設(shè)剛性桿l 1與x軸的夾角為q 1 ，剛性桿l 2與x軸的夾角為q 2 ，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時的位置， q 1和q 2可以作為雙擺的廣義坐標(biāo)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而雙擺的長度l 1和l 2不變，即,利用自由度DOF計算的公式，可得到雙擺的自由度為,DOF ,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),完整約束 當(dāng)約束方程本身或約束方程通過積分后可以用下式所示的形式表示時，稱為完整約束。顯然，例1和例2的約束都是完整約束。,定常約束 當(dāng)約束方程與時間t 無關(guān)時，稱為定常約束。例1和例2的約束都是定常約束。,不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。,例 3 剛體A通過三個點放置在xoy 平面上，其中的兩個接觸點可在平面上作無摩擦自由滑動，而P點有一個刀片，使其只能沿刀片方向移動，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度。,解 由于剛體A在xoy平面中移動，因此需要三個廣義坐標(biāo)(x, y和q)描述其在任意時刻的位置。,而剛體A只能沿刀片方向移動，因此有約束方程：,自由度數(shù)為2，小于廣義坐標(biāo)數(shù)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2 虛位移原理,虛位移 所謂非自由質(zhì)點系的虛位移是指在某一固定時刻，約束所允許發(fā)生的坐標(biāo)微小改變量。,虛位移只是約束允許的可能位移 ，并不一定是系統(tǒng)的真實位移。它與時間t 的變化無關(guān)。,虛位移用d 表示，真實微小位移用d表示。,虛功 力在虛位移上的元功稱為虛功。,在系統(tǒng)運(yùn)動或平衡中處于主導(dǎo)地位。,約束作用于系統(tǒng)的力。,力的分類 作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和主動力。,理想約束 在虛位移上不做功的約束稱為理想約束。,虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條件是： 作用于質(zhì)點系所有主動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2 虛位移原理,虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條件是： 作用于質(zhì)點系所有主動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,其中，F(xiàn)i為作用于質(zhì)點系的主動力， dri為虛位移。上式也稱為虛功方程。,虛位移原理的另一種表述,若系統(tǒng)有n個自由度，任意一點的坐標(biāo)矢量可以用n個廣義坐標(biāo)和時間t來表示，即：,由于虛位移與時間無關(guān)，則有：,代入虛功方程，得：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2 虛位移原理,對換求和的次序，得：,其中， 為與廣義坐標(biāo)qk 對應(yīng)的廣義力。,這樣，虛功方程可以寫成：,由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成立時，有：,虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，n 個自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡的充要條件是n 個廣義力都等于零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動能和勢能,動能 設(shè)質(zhì)量為m i的質(zhì)點在某位置時的速度是 ，則質(zhì)點在此位置的動能為,其中,若振動系統(tǒng)由p個質(zhì)點組成，則系統(tǒng)的動能為,當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時，各質(zhì)點的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯含時間 t 。系統(tǒng)的動能可寫成：,改變求和的次序，得：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動能和勢能,或：,其中， 和 為廣義速度， 為廣義質(zhì)量系數(shù)， 。,引入廣義質(zhì)量矩陣 M ，并引入廣義速度列陣 ，則動能可表示為,顯然 有m k l = m l k。當(dāng)質(zhì)點在平衡位置附近作小振動時可近似地取其在平衡位置附近泰勒級數(shù)展開的第一項，即將m k l取為與廣義坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)。,顯然，動能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。,勢力場和勢力 質(zhì)點從力場中某一位置運(yùn)動到另一位置時，作用力的功與質(zhì)點經(jīng)歷的路徑無關(guān)，而只與其起點及終點位置有關(guān)，這就是所謂的勢力場。重力場、萬有引力場和彈性力場都是勢力場。在勢力場中質(zhì)點所受的力稱為勢力。,勢能 所謂勢能是把質(zhì)點從當(dāng)前位置移至勢能零點的過程中勢力所作的功。根據(jù)勢能的定義，特別需要強(qiáng)調(diào)的是：勢能大小與規(guī)定的勢能零點位置有關(guān)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動能和勢能,勢能 在線性系統(tǒng)中，勢能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù)。可用矩陣形式表示成：,例 4 右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量m 1及剛性桿l 2和質(zhì)量m 2組成的兩個單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微振動時的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。,解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取q 1和q 2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置 q 1q 2 0 作為勢能零點。,則系統(tǒng)的勢能為,其中， K 為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對稱、半正定矩陣。,微振動時，系統(tǒng)的勢能在平衡位置附近展開并保留廣義坐標(biāo)的二次項：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動能和勢能,系統(tǒng)的動能為,通常，系數(shù) m i j 一般不是常數(shù)，這里m 1 2和m 21是廣義坐標(biāo)的函數(shù),當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近作小運(yùn)動時，系數(shù) m i j 取其在平衡位置附近泰勒級數(shù)的第一項：,則系統(tǒng)的動能可寫成,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動能和勢能,將動能和勢能寫成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 4 DAlembert原理,質(zhì)系DAlembert原理 作用在質(zhì)系上的外力（主動力和約束反力）和慣性力構(gòu)成平衡力系。,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,其中，R i 為主動力F i和約束反力f i的向量和。,應(yīng)用DAlembert原理可將虛位移原理推廣到動力學(xué)問題。上式左邊可看成質(zhì)點上的合力，計算整個質(zhì)系的虛功，有,在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有,動力學(xué)普遍方程 作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動力和慣性力任意瞬時在虛位移上的虛功之和等于零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,Lagrange方程 拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來描述非自由質(zhì)點系的運(yùn)動，這組方程以系統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：,Lagrange方程為非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題提供了一個普遍、簡單又統(tǒng)一的方法。,式中：L 為Lagrange 函數(shù)，它是系統(tǒng)動能V和勢能U之差， L = V - U 。 而 和 ( i = 1, 2, , n) 是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度； 是耗散函數(shù)，其中c i j為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)q j方向有單位廣義速度時，在廣義坐標(biāo)q i方向產(chǎn)生的阻尼力； Q i 是在廣義坐標(biāo)方向q i的廣義力， ，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和 分別是對廣義坐標(biāo)和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， 是對時間求一次導(dǎo)數(shù)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5 右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量m 1及剛性桿l 2和質(zhì)量m 2組成的兩個單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微振動時的振動微分方程。,解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取q 1和q 2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置 q 1q 2 0 作為勢能零點。,由例4，系統(tǒng)的勢能與動能分別為：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,由于系統(tǒng)無阻尼、無外力，因此只要把前面得到的項代入方程相應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動微分方程,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動時，將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,寫成矩陣的形式,一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動時，將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 6 圖示系統(tǒng)中質(zhì)量M只能沿水平方向移動，一擺長為質(zhì)量為l 的單擺在O點與質(zhì)量M 鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動的方程。,質(zhì)量 M 的速度：,質(zhì)量m的速度：,系統(tǒng)的動能,系統(tǒng)的勢能,Lagrange函數(shù),耗散函數(shù),其他非保守力所做的功,解 建立廣義坐標(biāo)x和，坐標(biāo)x 的原點在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正 。 為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時針方向為正，擺桿處于鉛垂位置時為零。 系統(tǒng)靜平衡時勢能為零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,對廣義坐標(biāo)分別運(yùn)用lagrange方程得,當(dāng)很小時，有,對方程線性化,分析力學(xué)哈密爾頓原理,哈密爾頓原理是分析力學(xué)中的一個基本的變分原理，它提供了一條從一切可能發(fā)生的(約束所許可的)運(yùn)動中判斷真正的(實際發(fā)生的)運(yùn)動的準(zhǔn)則。,哈密爾頓原理 在任何時間區(qū)段中，動力學(xué)系統(tǒng)的動能、變形能、阻尼力和外力所作功的一次變分為零時，所得到的才是真實的運(yùn)動。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,對保守系統(tǒng)，哈密爾頓原理的表達(dá)式可簡化