拋物線的幾何性質

,拋物線的幾何性質,1、拋物線定義,在平面內,與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.,2、 拋物線的標準方程,(1)開口向右,y2 = 2px (p0),(2)開口向左,y2 = -2px (p0),(3)開口向上,x2 = 2py (p0),(4)開口向下,x2 = -2py (p0),焦點,準線,由拋物線y2 =2px（p0）,所以拋物線的范圍為,如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質?,類比橢圓和雙曲線可以從幾個方面來研究？,1、范圍,即點(x,-y) 也在拋物線上,故拋物線y2 = 2px(p0)關于x軸對稱.,則 (-y)2 = 2px,若點(x,y)在拋物線上, 即滿足y2 = 2px，,2、對稱性,定義：拋物線與坐標軸的交點稱為拋物線的頂點。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,則x=0.,即：拋物線y2 = 2px (p0) 的頂點是（0，0）.,3、頂點,拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率。,由定義知， 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1.,4 、離心率,F,A,B,y2=2px,2p,過焦點且垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，,利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖.,|AB|=2p,2p越大，拋物線張口越大.,5、通徑,連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。,焦半徑公式：,F,6、焦半徑,1、當焦點在x軸上時，,2、當焦點在y軸上時，,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,關于x軸對稱,關于x軸對稱,關于y軸對稱,關于y軸對稱,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,2p,2p,2p,2p,1,1,1,1,歸納: (1)、拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線； (2)、拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心; (3)、拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線； (4)、拋物線的離心率e是確定的為, 、拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.,例：已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M（， ），求它的標準方程，并用描點法畫出圖形。,所以設方程為：,因此所求拋物線標準方程為：,例題講解：,作圖：,(1)列表（在第一象限內列表）,(2)描點：,(3)連線：,對應訓練：,求適合下列條件的拋物線的方程：,（1）頂點在原點，焦點F為（0，5）; （2）頂點在原點，關于x軸對稱,并且 經過點M(5,-4).,探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。,拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉而成的曲面。,燈泡放在拋物線的焦點位置上，通過鏡面反射就變 成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的 設計原理。,平行光線射到拋物鏡面上，經鏡面反射后，反射光線都 經過拋物線的焦點，這就是太陽灶能把光能轉化為熱能 的理論依據(jù)。,光學性質：,例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源 位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深 40cm，求拋物線的標準方程和焦點位置。,(40,30),解:,設拋物線的標準方程為:y2=2px,由條件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求拋物線的標準方程為: y2= x,焦點為( ,0),1、已知點A（-2，3）與拋物線 的焦點的距離是5，則P = 。,2、拋物線 的弦AB垂直x軸，若|AB|= ， 則焦點到AB的距離為 。,4,2,鞏固提高：,3、求滿足下列條件的拋物線的標準方程： 焦點在直線x-2y-4=0上.,拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；,拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;,拋物線的離心率是確定的，等于；,拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；,拋物線的通徑為2P, 2P越大，拋物線的張口越大.,1、范圍：,2、對稱性：,3、頂點：,4、離心率：,5、通徑：,6、光學性質：,從焦點出發(fā)的光線，通過拋物線反射就變成了平行光束.,你學會了嗎？,過焦點弦長問題,例2：過拋物線y2=4x的 焦點作傾斜角為45度的 直線交拋物線與A，B 兩點，求AB,分析，求出A，B兩點坐標，然后利用兩點間的距離公式可得AB 解（法一）由條件可得F（1，0） 則直線的方程為：y=x-1 由 可得 解得 由兩點距離公式可得AB=8 （法二）利用方程，利用弦長公式同樣可得AB=8,分析：利用拋物線性質解決問題 解(法三)如圖可知設A(x1,y1),B(x2,y2) AB=AF+BF =x1+1+x2+1 =x1+x2+1+1 由上知x1，x2是方程 的兩根，故x1+x2=6，所以 AB=6+2=8,一般地:若過拋物線y2=2px(p0)的焦點的直線交拋物線A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則 AB有最小值嗎？ 若有又為多少？,想一想？,運用2、過拋物線 的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為？,運用1、過拋物線y2=4x的焦點作直線交于A(x1,y1), B(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,求|AB|的值,練習、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸， 焦點在直線3x-4y-12=0上，求拋物線通徑長.,1、相離；2、相切； 3、相交（一個交點，兩個交點）,考點三、直線與拋物線位置關系,1、直線與拋物線的對稱軸平行,例：計算直線y = 6與拋物線y2 =4x的位置關系,計算結果：得到一元一次方程，容易解出交點坐標,2、直線與拋物線的對稱軸不平行,計算直線 y = x -1與拋 物線 y2 =4x 的位置關系,計算結果：得到一元二次方程，需計算判別式。相交。,例3、已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點P（-2，1）,斜率為k,當k為何值時，直線l與拋物線： （1）兩個公共點； （2）沒有公共點。 （3）只有一個公共點；,考點四、與弦長、中點有關的問題