2019_20學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.4.1空間圖形的基本關(guān)系與公理課件北師大版.pptx

4 空間圖形的基本關(guān)系與公理,第1課時 空間圖形的基本關(guān)系與公理,1.空間點與直線、點與平面的位置關(guān)系,2.空間直線與平面的位置關(guān)系,【做一做1】 把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上. (1)A,a . (2)=a,P且P . (3)a,a=A . (4)=a,=c,=b,abc=O . 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B,名師點撥直線與平面平行和直線與平面相交統(tǒng)稱為直線在平面外,即,3.空間圖形的公理,知識拓展根據(jù)公理1,可以得到以下3個推論,它們都可以作為在空間中確定平面的依據(jù).,【做一做2】 下列說法正確的是( ) A.三點確定一個平面 B.四邊形一定是平面圖形 C.三角形一定是平面圖形 D.平面和平面有不同在一條直線上的三個交點 解析:本題考查平面的基本知識.A選項,當三點共線時有無數(shù)多個平面;B選項,四邊形有空間四邊形與平面四邊形之分;C選項,三角形的三個頂點不共線,根據(jù)公理1可知三角形的三個頂點確定一個平面;D選項,若具有D選項中的條件,則與重合.故選C. 答案:C,【做一做3】 如圖所示,點A在平面內(nèi),點B也在平面內(nèi),點C在直線AB上. (1)用符號語言表示上述位置關(guān)系; (2)判斷點C與平面的關(guān)系. 分析:由公理2可知AB在平面內(nèi),而點C在直線AB上,所以點C在平面內(nèi). 解:(1)A,B,CAB. (2)因為A,B,所以AB. 又因為CAB,所以C.,4.空間平面與平面的位置關(guān)系(除重合外),5.空間兩條直線的位置關(guān)系,【做一做4】 已知a,b是異面直線,直線ca,則c與b ( ) A.一定是異面直線 B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線 解析:若a,b異面,ca,則c與b相交或異面,故C正確. 答案:C,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)如果直線a與直線b是異面直線,直線b與直線c也是異面直線,那么直線a與直線c也一定是異面直線. ( ) (2)如果兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面必重合. ( ) (3)平面與平面會只有一個公共點. ( ) (4)不共線的四點最多可確定4個平面. ( ) (5)兩兩相交的三條直線必共面. ( ),探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,證明:如圖所示,已知l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C. 方法一(同一法) l1l2=A,l1和l2確定一個平面. l2l3=B,Bl2.又l2,B. 同理可證C.又Bl3,Cl3,l3. 直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).,探究一公理1的應(yīng)用 【例1】 證明:兩兩相交,且不共點的三條直線在同一平面內(nèi).,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,方法二(重合法) l1l2=A,l1,l2確定一個平面. l2l3=B,l2,l3確定一個平面. Al2,l2,A. Al2,l2,A. 同理可證B,B,C,C. 不共線的三個點A,B,C既在平面內(nèi),又在平面內(nèi).平面和重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,反思感悟1.公理1的主要作用有兩個:一是作為確定平面的依據(jù),判斷若干個點或線能否確定平面,確定幾個平面等;二是證明點線共面. 2.證明點線共面問題的基本方法主要有以下兩種:,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,延伸探究(1)把【例1】中的“不共點”刪掉呢?這三條直線是否共面? (2)把【例1】中“三條直線”改為“四條直線”呢?這四條直線是否共面?試證明你的結(jié)論. 解:(1)不一定共面. 若三條直線兩兩相交,且過同一個點. 這三條直線在同一個平面內(nèi)相交,如圖. 這三條直線不共面.如圖.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,若三條直線兩兩相交,且不共點,由【例1】可知,這三條直線共面. (2)共面. 已知:a,b,c,d四條直線兩兩相交,且不共點. 求證:a,b,c,d四線共面. 證明:無三線共點情況,如圖. 設(shè)ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S. 因為ad=M,所以a,d可確定一個平面. 因為Nd,Qa,所以N,Q, 所以NQ,即b. 同理,c,所以a,b,c,d共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,有三線共點的情況,如圖. 設(shè)b,c,d三線相交于點K,與a分別交于N,P,M且Ka, 因為Ka,所以K和a確定一個平面,設(shè)為. 因為Na,a,所以N.所以NK,即b. 同理,c,d. 所以a,b,c,d共面. 由知,a,b,c,d共面.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,【例2】 如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中,M,N分別是所在棱的中點,連接DM,并延長交CB的延長線于點E,連接CN并延長,交CB的延長線于點F. 求證:直線EF平面BCCB.,分析:要證明直線在平面內(nèi),需說明直線上有兩個點在這個平面內(nèi). 證明:B平面BCCB,C平面BCCB, 直線BC平面BCCB. 又CNCB=F,FCB,F平面BCCB. 同理可得E平面BCCB. 直線EF平面BCCB.,探究二公理2的應(yīng)用,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,反思感悟公理2的作用有兩個:(1)用直線檢驗平面;(2)判斷直線是否在平面內(nèi).要證明直線在平面內(nèi),只需要在直線上找到兩個點,證明這兩個點都在這個平面內(nèi),直線就在這個平面內(nèi),解決問題的關(guān)鍵就在于尋找這樣的點.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓練1若l1l2,l3與l1,l2分別相交于點C,B.求證:l1,l2,l3在同一平面內(nèi). 證明:l1l2,l1,l2確定一個平面記為. l1l3=C,Cl1. l1,C. l2l3=B,Bl2.l2,B. Bl3,Cl3,l3,即l1,l2,l3在同一平面內(nèi).,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,【例3】 如圖所示,在棱長均相等的正三棱錐A-BCD中,E,G分別為BC,AB的中點,點F在CD上,點H在AD上,且有DFFC=DHHA=23,求證:EF,GH,BD交于一點. 分析:先證明GH和EF共面且交于一點O,再說明O是平面ABD和平面BCD的公共點,而平面ABD和平面BCD相交于直線BD,根據(jù)公理3,兩個平面相交,有且只有一條交線.因此點O在交線上,即點O在直線BD上.從而證明了直線EF,GH,BD都過點O.,探究三公理3的應(yīng)用,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,證明:因為E,G分別為BC,AB的中點,所以FHGE,FHGE. 所以四邊形EFHG是一個梯形. 設(shè)GH與EF相交于點O,則O在平面ABD內(nèi),又在平面BCD內(nèi),所以O(shè)在平面ABD與平面BCD的交線上,而這兩個平面的交線是BD,且交線只有一條, 所以點O在直線BD上.所以EF,GH,BD交于一點.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,反思感悟1.公理3的主要作用:(1)判斷兩個平面是否相交;(2)證明點在直線上;(3)證明共線問題;(4)證明共點問題. 2.證明多點共線通常利用公理3,即兩個相交平面的交線的唯一性,通過證明點分別在兩個平面內(nèi),證明點在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點確定一條直線,證明其他點也在這條直線上. 3.證明三線共點問題可先把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線,再證兩條直線的交點在此直線上,此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點,再證點重合,從而得三線共點.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓練2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C與平面BDC1交于點M,BD與AC交于點O,則( ) A.MBC1 B.MDC1 C.MC1O D.MB1B 解析:因為MA1C,A1C平面A1ACC1, 所以M平面A1ACC1. 因為M平面BDC1,且平面A1ACC1平面BDC1=C1O,所以MC1O.故選C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,【例4】 如圖所示,點P是ABC所在平面外一點,點D,E分別是PAB和PBC的重心.求證:DEAC,DE= AC.,探究四公理4的應(yīng)用,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,證明:如圖所示,連接PD,PE,并延長分別交AB,BC于點M,N. 因為點D,E分別是PAB,PBC的重心,所以M,N分別是AB,BC的中點.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,反思感悟空間中證明兩條直線平行的方法: (1)借助平面幾何知識,如三角形的中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、成比例的線段平行. (2)利用公理4,即證明兩條直線都與第三條直線平行.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓練3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱A1A,C1C的中點,求證:四邊形MBND1為平行四邊形.,證明:取B1B的中點P,連接C1P,MP. 因為N為C1C的中點, 由正方體的性質(zhì)知C1NPB, 所以四邊形C1PBN為平行四邊形, 所以C1PBN. 又M,P分別為A1A,B1B的中點, 所以MPA1B1. 又由正方體的性質(zhì)知A1B1C1D1,所以MPC1D1, 所以四邊形D1MPC1為平行四邊形, 所以C1PMD1.所以MD1BN, 所以四邊形MBND1為平行四邊形.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,對點、線、面的位置關(guān)系考慮不全而致誤 【典例】 已知空間四點,如果任意三點都不共線,那么由這四點可以確定多少個平面?說明理由. 錯解因為不共線的三點確定一個平面,所以由題設(shè)條件中的四點可確定四個平面. 正解空間任意三點都不共線的四個點有兩種位置關(guān)系: 第一種,當由其中任意不共線的三點所確定的平面都過第四個點時,由這四個點只能確定一個平面; 第二種,當由其中任意不共線的三點所確定的平面都不過第四個點時,由這四個點可確定四個平面. 綜上所述,由題設(shè)條件中的四點可確定一個或四個平面.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,糾錯心得1.對于確定平面?zhèn)€數(shù)問題,在討論中要全面考慮,尤其要先分清給出幾個點的可能的位置關(guān)系,再進行分類討論. 2.可借助正方體、三棱錐等特殊幾何體進行直觀觀察.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓練已知空間不同的五個點. (1)若有某四點共面,則這五點最多可確定多少個平面? (2)若任意四點都在同一平面內(nèi),則這五點共能確定多少個平面?并證明你的結(jié)論.,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,解:(1)當共面的四點任意三點不共線,另一點不在該平面內(nèi)時,這五點確定的平面最多,如圖所示,最多可確定7個平面. (2)若任意四點都在同一平面內(nèi),這五點必共面. 證明如下:若A,B,C,D四點在平面內(nèi),又A,B,C,P在同一平面內(nèi),可分如下情況證明: 若A,B,C三點不共線,則平面為A,B,C確定的平面,所以點P在平面內(nèi),故五點共面. 若A,B,C三點在直線l上,則當點D或P也在l上時,五點共面;若點D,P都不在l上,則直線DP與直線AB必在A,B,D,P所在的平面內(nèi),故點C也在這一平面內(nèi),從而五點也共面.,1,2,3,4,5,1.如圖所示,該圖形用符號語言可表示為( ) A.=m,n,mn=A B.=m,n,mn=A C.=m,n,Am,An D.=m,n,Am,An 答案:A,1,2,3,4,5,2.有下列四種說法: 過三個點確定一個平面; 矩形是平面圖形; 三條直線兩兩相交,則它們確定一個平面; 兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域. 其中錯誤的序號是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 解析:只有不共線的三點才能確定一個平面,故錯;三條直線兩兩相交,交于三點時,確定一個平面;交于一點時,可確定一個或三個平面,故錯.故選B. 答案:B,1,2,3,4,5,3.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點,且AEEB=AFFD=14,H,G分別為BC,CD的中點,則( ) A.BD平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形 B.EF平面BCD,且四邊形EFGH是梯形 C.HG平面ABD,且四邊形EFGH是菱形 D.EH平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形,1,2,3,4,5,解析:如圖所示,連接BD. AEEB=AFFD=14, EF BD. EF平面BCD,BD平面BCD, EF平面BCD. 又H,G分別為B