向量組的線性相關(guān)性ppt課件

一 相關(guān)性的定義,第11講 向量組的線性相關(guān)性,相關(guān)性的判別,定理判別,幾個(gè)特殊定理,三 一個(gè)結(jié)論,定義判別,1,向量組之間的線性關(guān)系,向量組 B 能 由向量組 A 線性表示,向量組 A 與 向量組 B 等價(jià),向量 b 能由 向量組 A 線性表示,2,向量b 能否由 向量組 A： a1, a2, , am 線性表示,判斷 R (A, b ) 與R (A) 是否相等,R (A) R (A, b ),（2）b不能由向量組 A線性表示,（1）b 可由向量組 A: a1，a2， ，am線性表示，且表示式唯一,b 可由向量組 A: a1，a2， ，am線性表示，且表示式不唯一,R (A)=R (A, b ) m,R (A)=R (A, b ) = m,3,例3 給定向量組:,及向量,問(wèn)：k為何值時(shí)，(1) b 能由1, 2, 3 線性表示?,解,0 0 k-2 -4,0 1 -1 3,1 0 2 -1,(A ),A,(2) b 不能由1, 2, 3 線性表示?,4,一 相關(guān)性的定義,第11講 向量組的線性相關(guān)性,相關(guān)性的判別,定理判別,幾個(gè)特殊定理,三 一個(gè)結(jié)論,定義判別,5,一、 相關(guān)性的定義,向量組 A ：a1, a2, , am 線性相關(guān)： P87定義4 k1a1 + k2a2 + + kmam,=O,如果存在不全為零的實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，使得,否則稱它是線性無(wú)關(guān)的,6,注：,向量組a1，a2， ，am線性相關(guān),P87,證明,設(shè)向量組a1，a2， ，am線性相關(guān),則存在k 1，k2， ，km 不全為0,使得,k1a1k2a2 kmamo,不妨假設(shè),則,k1a1= - k2a2 - -kmam,a1= - a2 - - am,7,注：,向量組a1，a2， ，am線性相關(guān),P87,證明,向量組有一個(gè)向量(不妨假設(shè)為am) 能由其余向量線性表示,則存在k1， ，km-1,，使得,因此: 向量組a1，a2， ，am線性相關(guān),8,一、 相關(guān)性的定義,等式成立當(dāng)且僅當(dāng) k1 =k2 = =km=0,例：向量組A:,線性相關(guān),=O,例：向量組B:,線性無(wú)關(guān),9,一、 相關(guān)性的定義,注:,1.對(duì)于任一向量組，不是線性無(wú)關(guān)就是線性相關(guān).,3.向量組含有兩個(gè)向量時(shí)：相關(guān),對(duì)應(yīng)分量成比例P87,2、向量組只包含一個(gè)向量時(shí)，,例:,向量組A:,10,注：4、,向量組a1，a2， ，am線性相關(guān),4向量組a1，a2， ，am線性無(wú)關(guān),P87,11,1、定義 2、定理判定定理 3、幾種特殊的判定定理,12,例 設(shè) 線性無(wú)關(guān),證明 也是線性無(wú)關(guān)的。,a1，a2，a3,1、定義判別,證明 ：設(shè)有一組實(shí)數(shù) 使得,則,故 線性無(wú)關(guān)。,P89例6,13,例2 設(shè),證明,線性相關(guān),證明 ：設(shè)有一組實(shí)數(shù) 使得,取,故：向量組 b1，b 2，b 3 線性相關(guān),可以不全為零,14,例 判斷向量組A是否線性相關(guān),解：設(shè)有一組實(shí)數(shù) 使得,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次方程組 是否有非零解？,A=（a1, a2 , a3）是由向量組構(gòu)造的矩陣,15,定理1,向量組構(gòu)成的矩陣的秩 向量個(gè)數(shù),R(A) m,2、定理判別,P88定理4,相關(guān),無(wú)關(guān),R(A) = m,定理2,16,特別地，若向量組構(gòu)成的矩陣 A 為方陣,向量組A : 線性相關(guān),2、 定理判定,向量組A : 線性無(wú)關(guān),17,解,例1 判斷向量組是否線性相關(guān),向量組 a1，a 2，a 3 線性相關(guān),向量組對(duì)應(yīng)的矩陣為,向量個(gè)數(shù)3,R(A) (=) 向量個(gè)數(shù),18,例3,試討論向量組 a1, a2, a3 及向量組a1, a2 的線性相關(guān)性,解：,可見(jiàn) R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量組 a1, a2, a3 線性相關(guān)；,同時(shí)，R(a1, a2 ) = 2，故向量組 a1, a2 線性無(wú)關(guān),19,例4 已知向量組 線性相關(guān),求k 值,解:,線性相關(guān),k 2 2,2 2 k,2 k 2,A 為方陣,20,3、幾種特殊的判定定理,（1）向量組含有零向量,相關(guān),（2) 向量組里有兩個(gè)向量成比例,相關(guān),（3）部分相關(guān),整體相關(guān),（4）整體無(wú)關(guān),部分無(wú)關(guān),（5）向量的維數(shù)向量的個(gè)數(shù),相關(guān),n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān),P90 定理5,21,結(jié)論 若向量組 線性無(wú)關(guān)，,而 線性相關(guān),