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第二章 Z變換2-7 Z變換一.Z變換定義： 序列的Z變換定義如下：*實(shí)際上，將x(n)展為z-1的冪級(jí)數(shù)。二.收斂域1.定義: 使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域。2.收斂條件：X(z)收斂的充要條件是絕對(duì)可和。3.一些序列的收斂域(1).預(yù)備知識(shí) 阿貝爾定理: 如果級(jí)數(shù) ，在 收斂,那么,滿足0|z|z+|的z,級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。|z+|為最大收斂半徑。 同樣,對(duì)于級(jí)數(shù) ，滿足 的z， 級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。 |z_|為最小收斂半徑。(2) 有限長(zhǎng)序列(3)右邊序列*第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù), 第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域?yàn)?|z|；第二項(xiàng)為z的負(fù)冪次級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知, 其收斂域?yàn)?Rx-|z|；兩者都收斂的域亦為Rx-|z|; Rx-為最小收斂半徑。(4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域?yàn)椋?5)左邊序列(6)雙邊序列 雙邊序列指n為任意值時(shí),x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。第一項(xiàng)為右邊序列(因果)其收斂域?yàn)椋旱诙?xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋寒?dāng)Rx-Rx+時(shí)，其收斂域?yàn)?-8 Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系1.理想抽樣信號(hào)的拉氏變換設(shè) 為連續(xù)信號(hào)， 為其理想抽樣信號(hào)，則序列x(n)的z變換為 ，考慮到 ,顯然，當(dāng) 時(shí)，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉氏變換。2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系( S、Z平面映射關(guān)系） S平面用直角坐標(biāo)表示為： Z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有因此， ；這就是說，Z的模只與S的實(shí)部相對(duì)應(yīng),Z的相角只與S虛部相對(duì)應(yīng)。二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號(hào)經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=j的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號(hào)傅氏變換。用數(shù)字頻率作為Z平面的單位圓的參數(shù)， 表示Z平面的輻角，且 。所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。三.序列的傅氏變換1.正變換:2.反變換:2-9 Z反變換一.定義： 已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z反變換。z變換公式：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線。二.求Z反變換的方法1.留數(shù)法 由留數(shù)定理可知： 為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)， 為c外的第m個(gè)極點(diǎn)，Res 表示極點(diǎn)處的留數(shù)。留數(shù)的求法： 1、當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：2-10 Z變換的基本性質(zhì)和定理1 線性如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。2. 序列的移位如果 則有：3. Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果 ，則4. 序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果 ，則5. 共軛序列如果 ，則6. 翻褶序列如果 ，則7. 初值定理8. 終值定理9. 有限項(xiàng)累加特性證明：10.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理) 證明：11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線。12.帕塞瓦定理(parseval)如果：則有：其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。*幾點(diǎn)說明：2-12系統(tǒng)函數(shù)一.系統(tǒng)函數(shù):線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣響應(yīng) H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。二.因果穩(wěn)定系統(tǒng) 我們知道,一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對(duì)可和：|h(n)|。 z變換H(z)的收斂域由滿足|h(n)z-n|的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時(shí)則有|h(n)| ，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列， 其收斂域?yàn)镽+|z|；而因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域?yàn)?1|z|，也就是說,其全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：對(duì)上式因式分解，四.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義 系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅氏變換也即單位上的變換 稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。對(duì)于線性移不變系統(tǒng)： 也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。五.頻率響應(yīng)的幾何確定1.頻響的零極點(diǎn)表達(dá)式六.IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)1.無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響