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第十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽得分 初二 第2試2005年4月17日 上午830至1030一、選擇題(每小題5分,共50分)以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中,僅有一個(gè)是正確的,請(qǐng)將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號(hào)內(nèi).1、若a,b均為正整數(shù),m=ab(ab),則( )Am一定是奇數(shù) Bm一定是偶數(shù) C只有當(dāng)a,b均為偶數(shù)時(shí),m是偶數(shù) D只有當(dāng)a,b一個(gè)為偶數(shù),另一個(gè)為奇數(shù)時(shí),m是偶數(shù)2、設(shè),則等于( )A B C3 D33、Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,then the value of is( )A14 B13 C12 D 11(英漢詞典 positive integers:正整數(shù). prime numbers:質(zhì)數(shù))_4、購買鉛筆7支,作業(yè)本3個(gè),圓珠筆1支共需3元;購買鉛筆10支,作業(yè)本4個(gè),圓珠筆1支共需4元,則購買鉛筆11支,作業(yè)本5個(gè),圓珠筆2支共需( )A4.5元 B5元 C6元 D6.5元5、計(jì)算機(jī)將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)來處理.二進(jìn)制是“逢二進(jìn)一”,如二進(jìn)制數(shù)(1101)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是123122021120=13,那么二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是( )A220041 B22005 C220051 D220051 6、已知ABC的三個(gè)內(nèi)角的比是m(m1) (m2),其中是m大于1的正整數(shù),那么ABC是( )A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形7、已知ABC的三條高的比是345,且三條邊的長均為整數(shù),則ABC的邊長可能是( )A10 B12 C14 D168、已知兩位數(shù)能被3整除,它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的乘積等于它的個(gè)位數(shù)字,且它的任意次冪的個(gè)位數(shù)字等于它的個(gè)位數(shù)字。這樣的兩位數(shù)共有( )A1個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)9、放成一排的2005個(gè)盒子中共有4010個(gè)小球,其中最左端的盒子中放了a個(gè)小球,最右端的盒子中放了b個(gè)小球,如果任何相鄰的12個(gè)盒子中的小球共有24個(gè),則( )Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1,b=2 Da=2,b=110、已知整數(shù),滿足,且那么x2y2z2的值等于( )A2 B14 C2或14 D14或17二、填空題(每小題5分,共50分.含兩個(gè)空的小題,前空3分,后空2分.)11、如果|a|=3,|b|=5,那么|ab|ab|的絕對(duì)值等于 .12、已知,則= .13、某汽車從A地駛向B地,若每分鐘行駛a千米,則11點(diǎn)到達(dá),若每分鐘行駛a千米,則1120時(shí)距離B地還有10千米;如果改變出發(fā)時(shí)間,若每分鐘行駛a千米,則11點(diǎn)到達(dá),若每分鐘行駛a千米,則1120時(shí)已經(jīng)超過B地30千米。A、B兩地的路程是 千米。14、若是一個(gè)六位數(shù),其中a,b,c是三個(gè)互異的數(shù)字,且都不等于0,1,2,3,又M是7的倍數(shù),那么M的最小值是 .15、分解因式: .16、若在凸n(n為大于3的自然數(shù))邊形的內(nèi)角中,最多有M個(gè)銳角,最少有m個(gè)銳角,則M= ;m= .17、如圖1,等腰RtABC的直角邊長為32,從直角頂點(diǎn)A作斜邊BC的垂線交BC于D1,再從D1作D1D2AC交AC于D2,再從D2作D2D3BC交BC于D3,則AD1D2D3D4D5D6D7D8D9= 圖1ABCD1D2D3D4D5 ;D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10= .ABCDEFG圖4ABCFE圖2圖318、如圖2,將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖3(其中EFBC),已知圖3的面積與原三角形的面積之比為34,且陰影部分的面積為8平方厘米,則原三角形面積為 平方厘米。19、如圖4,ABC中,BCAC=35,四邊形BDEC和ACFG均為正方形,已知ABC與正方形BDEC的面積比是35,那么CEF與整個(gè)圖形的面積比等于 .20、如果正整數(shù)n有以下性質(zhì):n的八分之一是平方數(shù),n的九分之一是立方數(shù),它的二十五分之一是五次方數(shù),那么n就稱為“希望數(shù)”,則最小的希望數(shù)是 .甲甲圖5乙乙AB三、解答題(每題10分,共30分) 要求:寫出推算過程.21、圖5是一個(gè)長為400米的環(huán)形跑道,其中A、B為跑道對(duì)稱軸上的兩點(diǎn),且A、B之間有一條50米的直線通道。甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),甲按逆時(shí)針方向以速度v1沿跑道跑步,當(dāng)跑到B點(diǎn)處時(shí)繼續(xù)沿跑道前進(jìn),乙按順時(shí)針方向以速度v2沿跑道跑步,當(dāng)跑到B點(diǎn)處時(shí)沿直線通道跑回A點(diǎn)處。假設(shè)兩人跑步時(shí)間足夠長。求:如果v1v2=32,那么甲跑了多少路程后,兩人首次在A點(diǎn)處相遇?如果v1v2=56,那么乙跑了多少路程后,兩人首次在B點(diǎn)處相遇?22、如果a是小于20的質(zhì)數(shù),且可化為一個(gè)循環(huán)小數(shù),那么a的取值有哪幾個(gè)?如果a是小于20的合數(shù),且可化為一個(gè)循環(huán)小數(shù),那么a的取值有哪幾個(gè)?圖6ABCDP23、如圖6,正三角形ABC的邊長為a,D是BC的中點(diǎn),P是AC邊上的點(diǎn),連結(jié)PB和PD得到PBD。求:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),PBD的周長;PBD的周長的最小值。第十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)初中二年級(jí) 第2試一、選擇題(每小題5分) 題號(hào)12345678910答案BCDBCABCAA二、填空題(每小題5分,含兩個(gè)空的小題,前空3分,后空2分) 題號(hào)11121314151617181920答案6544683213;031;3116215320512三、解答題21、設(shè)甲跑了n圈后,兩人首次在A點(diǎn)處相遇,再設(shè)甲、乙兩人的速度分別為v1=3m,v2=2m,由題意可得在A處相遇時(shí),他們跑步的時(shí)間是 (2分)是 (3分)因?yàn)橐遗芑氐紸點(diǎn)處,所以應(yīng)是250的整數(shù)倍,從而知n的最小值是15,(4分)所以甲跑了15圈后,兩人首次在A點(diǎn)處相遇 (5分)設(shè)乙跑了米,甲跑了米時(shí),兩人首次在B點(diǎn)處相遇,設(shè)甲、乙兩人的速度分別為v1=5m,v2=6m,由題意可得,即 , (7分)所以,即(p,q均為正整數(shù))。所以p,q的最小值為q=2,p=4, (8分)此時(shí),乙跑過的路程為2504200=1200(米)。 (9分)所以乙跑了1200米后,兩人首次在B點(diǎn)處相遇。 (10分)22、小于20的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19 (2分)除了2和5以外,其余各數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù), (4分)所以a可以取:3,5,7,11,13,17,19。 (5分)由可知,只要合數(shù)a的因數(shù)中含有2或5以外的質(zhì)數(shù),那么該數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù),(8分)所以a可以取:6,9,12,14,15,18。 (10分)23、如圖1,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),BPAC,DPAB, (2分)所以 , (4分)即ABC的周長為BPDPBD=。 (5分)圖2ABCDPGFE圖1ABCDP如圖2,作點(diǎn)B關(guān)
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