幾類不同增長的函數(shù)模型的教學設計及反思.doc

“幾類不同增長的函數(shù)模型”的教學設計與反思臺州市第一中學 蔣 茵一、教學內(nèi)容與內(nèi)容解析幾類不同增長的函數(shù)模型是必修1第三章“函數(shù)的應用”的重要內(nèi)容.它比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異,并結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.對于函數(shù)增長的比較分為三個層次：（1）以實例為載體讓學生切實感受不同函數(shù)模型的增長差異；（2）采用圖、表兩種方法比較三個函數(shù)（）的增長差異；（3）將結論推廣到一般的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異.其中（1）為第一課時的內(nèi)容,（2）、（3）為第二課時的內(nèi)容.學生在本節(jié)內(nèi)容學習之前,已經(jīng)有了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的相關知識,在這里進一步研究幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異有著承上啟下的作用.讓學生在應用函數(shù)模型的過程中,體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點與差異,同時將感受到的這種差異應用在后續(xù)的函數(shù)模型實例中.二、教學目標與目標解析1教學目標：（1）借助信息技術,利用函數(shù)圖像及數(shù)據(jù)表格,比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異.（2）結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.（3）恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、表格）,并借助信息技術解決一些實際問題.（4）在實際問題解決過程中,體會數(shù)學的作用與價值,形成分析問題、解決問題的能力.2. 教學目標解析：目標（1）、（2）是教學的重點,落實好目標（1）、（2）是實現(xiàn)教學目標（3）、（4）的前提與保證.落實目標（1）、（2）的過程中可以創(chuàng)設問題情景,并通過層層遞進的問題串,讓學生在不斷觀察、思考和探究的過程中,弄清幾個函數(shù)間的增長差異,并培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力,實現(xiàn)目標（4）.目標（3）要求“恰當運用”對于學生初學時是不易達到的目標,教學時通過學生自主探究,相互交流,教師適時提問引導,合作完成.另外利用信息技術工具,就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異還使學生接觸到更多的數(shù)學知識和思想方法.三、教學問題診斷分析診斷:本課中,學生對指數(shù)爆炸的認識缺乏一定的基礎,本課先讓學生利用表格讀表,并在分析表格的過程中發(fā)現(xiàn)要分析增加量,通過數(shù)據(jù)對指數(shù)爆炸有了一種感性認識,再結合圖像分析,從感性認識上升到理性認識,實現(xiàn)自我完善.診斷：在公司獎勵模型問題的解決過程中,教材中對判斷模型二是否滿足約束條件是采用了“構造函數(shù)的思想方法”,我認為就高一年級學生而言,這種處理方法在理解上會有困難,所以宜采用兩種方法進行求解：方法一,利用數(shù)形結合,學生能很直觀地感受在圖像的上方；有此基礎后,再講解方法二,即“構造函數(shù)的思想方法”,通過板書詳細分析這一過程,幫助學生對“構造函數(shù)的思想方法”留下一個美好又深刻的第一印象.診斷:本節(jié)課教學的內(nèi)容為教材中的例、例,為了激發(fā)學生的學習興趣,并保障課堂的連續(xù)性,設計了“大學生自主創(chuàng)業(yè)情境”、“公司獎勵情境”,可將例題的題意較好地表達出來,并符合學生的認知規(guī)律.診斷:學生在學習時,可能會因更多地關注解決數(shù)學計算問題而忽略數(shù)學思想的提煉,這個教學問題的解決,需要教師有目的地進行引導.四、教學支持條件.在進行幾類不同增長的函數(shù)模型的教學時,學生已經(jīng)學習了函數(shù)概念、表示法及性質,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的相關知識,這些內(nèi)容是學生分析不同函數(shù)增長差異的重要條件,因此教學時應予以充分注意,引導學生多進行歸納與概括.為了能很好地幫助學生理解、反思學習內(nèi)容,體會新學知識的要點,教學中需要用函數(shù)表格、圖象來幫助學生理解分析問題,所以ppt和幾何畫板是重要的支持條件.教學時充分注意這一條件,不僅可以加強幾何直觀,節(jié)省大量時間用于學生思考,而且可以對實際問題中的數(shù)據(jù)不加“修飾”地進行分析 五、教學設計過程：1.創(chuàng)設情景 引入課題 問題1 在日常生活中,增長的話題比比皆是,而我們學過的函數(shù)中有沒有呈增長態(tài)勢發(fā)展的呢？如果都是增長型函數(shù),那么它們增長的態(tài)勢是否都一樣呢？設計意圖：通過提問比較自然地引導學生給出一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),同時開門見山,直擊主題“增長”,自然引出課題.師生活動：教師提問,學生回答,相互補充,教師點評并板書課題：幾類不同增長的函數(shù)模型.2.組織引導 合作探究同學們,現(xiàn)在越來越多的大學生畢業(yè)以后選擇了自主創(chuàng)業(yè),將來你們中的一些也可能會辦公司,做老板.現(xiàn)在給大家一個模擬的投資情境. 案例假設你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0 .4元,以后每天的回報比前一天翻一番請問,你會選擇哪種投資方案？問題2 你會選擇哪種投資方案？選擇投資方案的依據(jù)是什么？請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由.設計意圖：提此問題讓學生先選擇好解題的依據(jù),是每天回報量還是累計回報量？還讓學生找出問題中的數(shù)量關系,也就是函數(shù)關系.師生活動：(1) 教師提問,通過學生討論,具體計算后讓學生說說自己會選擇哪種投資方案？選擇投資方案的依據(jù)是什么？用怎樣的方式表達數(shù)量關系?學生1：選擇累計回報量,用函數(shù)解析式表達數(shù)量關系；學生2：選擇累計回報量,直接用函數(shù)圖像表達數(shù)量關系；學生3：選擇每天回報量,先寫出函數(shù)解析式再用列表的方式表達.(2) 教師針對學生的回答,點評指出：選擇投資方案的依據(jù)是累計回報量,但為了看累計回報量,可以先看每天回報量；另外,用解析式、表格及圖像三種方式表達數(shù)量關系均可,但表達的同時有所區(qū)別：解析式較抽象,圖表較直觀.(3) 教師引導,學生參與并利用計算器得出：1.函數(shù)解析式；2.每天回報表；3.結論表問題 每天回報表（表）中“”部分仍是方案三最大嗎？設計意圖：開始切入主題,通過引導使學生體會到表格中每一列數(shù)據(jù)增長的速度是不同的,從而使學生關注增加量,列出增加量,引出表,同時也為累計回報量與每天回報量之間的關系埋下伏筆,進而培養(yǎng)學生分析解決數(shù)學問題的能力.師生活動：(1)學生思考并回答:我發(fā)現(xiàn)到第天的時候,方案三最多,那么只要方案三數(shù)據(jù)的增長最快或者說增加量最多,即可解決這一問題.(2)教師適時給出表,師生共同補充完整表格,讓學生初步體會各種函數(shù)增長的差異.表問題 你能根據(jù)表中增加量的數(shù)據(jù),概括出這幾種常見函數(shù)的增長特點嗎?設計意圖：進一步引導學生關注增加量,感受增長差異,尤其是對“指數(shù)爆炸”含義的理解；在與學生交流和解決問題的過程中,使學生體會函數(shù)列表法的優(yōu)點.師生活動：學生回答,教師加以完善.幾種常見函數(shù)的增長特點：常數(shù)函數(shù)沒有增長,一次函數(shù)勻速增長,指數(shù)函數(shù)爆炸增長.問題 通過表格比較了每天回報量的大小,得出相應結論,但這一案例解決完整了嗎?設計意圖：雖然本節(jié)課的主題是研究“增長”,但必須要回歸問題本身,選擇一個最佳的投資方案.師生活動：教師利用幻燈片快 速給出累計回報表(表),學生根據(jù)表3得出相應結論.表問題 通過列表法己經(jīng)得出案例的結論及對常見函數(shù)增長特點的初步體會,能否通過圖像法來進一步認識？請大家畫出這三個函數(shù)的圖像？并根據(jù)圖像說明結論與增長特點？設計意圖：本節(jié)課的主要教學任務就是要體會幾類不同函數(shù)的增長差異.讓學生自己去概括總結出從圖像上直觀體會到的增長特點是本節(jié)課的一個重要環(huán)節(jié),也作為一種完整的小結.與此同時,培養(yǎng)學生良好的畫圖習慣,遵循列表、描點、連線畫圖三步驟,以及對函數(shù)定義域的關注,從中還能體會到數(shù)形結合思想是數(shù)學解題的一個重要的思想方法.師生活動:(1)學生畫圖,教師糾錯得出（圖1）: 1.函數(shù)圖像為什么是孤立點？ （定義域為N*）2.為什么用光滑的虛線連接？（方便看增長趨勢）(2)教師用多媒體動畫演示連接孤立的點. 學生通過圖像得出案例結論:學生通過圖像用不同的語言概括增長特點: 常數(shù)函數(shù)保持不變,一次函數(shù)直線上升,指數(shù)函數(shù)指數(shù)爆炸.過渡語:現(xiàn)在你已經(jīng)建好了公司,公司尋求回報,你的員工也要尋求回報.為了激勵員工,你需要對他們實行獎勵,你制定了這樣一個公司獎勵模型.公司獎勵模型問題: 圖1你的公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加,但獎金不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%現(xiàn)有三個獎勵模型： 其中哪個模型能符合公司的要求？問題 大家認真審題,能否用數(shù)學符號語言將公司的要求（或條件）描述出來?設計意圖：解決實際問題的第一步就是審題,并將之數(shù)學化.在此更進一步培養(yǎng)學生解決實際問題的能力.師生活動：個別學生回答,教師在黑板上列出：條件1：；條件2：；條件3：；條件：增函數(shù).問題 我們可以如何驗證?設計意圖：引導學生如何利用題目條件,從數(shù)和形兩方面解決數(shù)學問題,既鞏固應用前面學到的數(shù)學方法,又為下面問題的解決提供方向.師生活動：學生思考并個別回答：學生：根據(jù)條件：增函數(shù),只需驗證當時, 即可,通過計算發(fā)現(xiàn)： 、都不符, 符合.學生：通過圖像直觀觀察得出.問題 如何驗證?設計意圖：在的驗證過程中,始終不脫離本課主題,回歸到函數(shù)的“增長特征”上去,并充分體現(xiàn)數(shù)形結合、構造函數(shù)的思想方法.師生活動: 學生思考并個別回答,教師適時提問：(1)學生:將圖像放大后觀察函數(shù)與的圖像,發(fā)現(xiàn)在都滿足.(2)在教師的引導下,學生加以補充 學生：只需將代入計算,是符合條件的；再結合圖像發(fā)現(xiàn)直線的增長比對數(shù)函數(shù)快,對數(shù)函數(shù)增長較為平緩所以都滿足.(3) 教師根據(jù)以上學生回答板書方法一：數(shù)形結合法 令, 當時, 給合圖(2)得對恒成立圖2 并通過幾何畫板動畫演示BC=的變化情況,引導學生構造函數(shù). (4) 學生三回答,教師繼續(xù)板書方法二：構造函數(shù)法令由圖(3)得在上單調遞增.所以,即對恒成立圖33總結反思 歸納提升問題 通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲？請你對本節(jié)課作一總結.設計意圖：歸納總結本節(jié)內(nèi)容.師生活動：學生思考交流,教師幫助總結以下內(nèi)容：（1）知識：對函數(shù)的性質有了解：我們體會到同是增長型函數(shù),但其增長差異卻很大:：常數(shù)函數(shù)沒有增長,一次函數(shù)直線上升,指數(shù)函數(shù)爆炸增長,對數(shù)函數(shù)平緩增長.（2）方法：建模的思想,數(shù)形結合思想,構造函數(shù)思想等等.六、目標檢測設計1. 教科書P98,練習、.設計意圖：讓學生鞏固函數(shù)增長特征這一知識點.2.探究題：請利用計算器或計算機從圖、表兩方面對函數(shù) 的增長差異進行比較.設計意圖:：引出下一課時內(nèi)容,為下面研究一般指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的增長差異奠定了探究的方向.七、教學體會與反思(1)數(shù)學問題解決教學應該從創(chuàng)設問題情景開始，本設計的情境創(chuàng)設比較成功.“日常生活中，增長的話題比比皆是，而我們學過的函數(shù)中有沒有呈增長態(tài)勢發(fā)展的呢？如果都是增長型函數(shù)，那么它們增長的態(tài)勢是否都一樣呢？”短短幾句話，不但交代了本課的研究主題，而且比較自然地引導學生引出一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，開門見山，直擊“增長”.實際教學中大多以真實的或虛擬的“生活化”材料為載體創(chuàng)設教學情境，如用教材章頭圖中的兔子問題或其它情景作為素材,以迎合“能讓學生體會到數(shù)學源于生活，增長學生的應用意識”，注重“數(shù)學教育應該與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系”這一現(xiàn)代教學理念.本課的教學內(nèi)容是通過兩個實際問題解決，讓學生體會幾類不同類型的函數(shù)增長的差異，執(zhí)教教師就地取材，將書本中的例1為素材得到了一個虛擬的“生活化”材料，教學過程中不但自然地出示了例1，而且激發(fā)學生的學習和解決問題的興趣，為學生的觀察、歸納、猜想和證明提供了基礎.(2)問題的解決圍繞著“弄清問題擬定計劃實現(xiàn)計劃回顧”進行教學，教學中充分發(fā)揮了學生的主體作用.在例題教學中既有動手操作的實踐活動，又有動腦思考和數(shù)學思維活動.例1的教學過程中，抓隹關鍵詞“回報”，從不同的角度看待回報，讓學生辨別“每天回報量”、“累計回報量”；從函數(shù)表達的三種不同形式入手，建立函數(shù)模型，讓學生經(jīng)歷從解析式到表格、圖象的全過程.在這個過程中，讓學生感受到圖表的直觀，解析式的抽象.在求累計回報量時，由于學生不會求等比數(shù)列的和，選取對函數(shù)模型列表計算作出判斷和選擇，處理有詳有略，讓學生體會到了常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與指數(shù)型函數(shù)的增長差異.例2中在判斷是否滿足“約束條件”時，考慮到教課書上介紹的構造函數(shù)法學生理解比較困難，教師先用利用數(shù)形結合，學生能很直觀地感受在圖像的上方，有此基礎后，再講解方法二，即“構造函數(shù)法”，通過板書詳細分析求解過程，幫助學生對“構造函數(shù)法”的理解，給學生留下一個深刻的印象.整個例2教學讓學生經(jīng)歷了觀察、歸納、猜想、證明的完整過程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.商討之處：(1)教學內(nèi)容不能只局限于課本中兩個例題,要適當進行拓展延伸,不僅鞏固新知,而且讓學生感覺數(shù)學是有用的,數(shù)學就在我們身邊.如果對例2進行拓展延伸，效果更佳.如:為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加,要求如下：10萬50萬，獎金不超過2萬；50萬 200萬,獎金不超過4萬；200萬 1000萬