2016_2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)習(xí)題課新人教版選修.docx

習(xí)題課導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用明目標(biāo)、知重點(diǎn)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(多項(xiàng)式次數(shù)不超過三次)1若函數(shù)yx22bx6在(2,8)內(nèi)是增函數(shù)，則()Ab0 Bb2答案A2已知yasin xsin 3x在x處有極值，則() Aa2 Ba2Ca Da0答案B3設(shè)函數(shù)g(x)x(x21)，則g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為()A1 B0 C D.答案C解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與g(x)的變化情況如下表：x01g(x)0g(x)0極小值0所以當(dāng)x時(shí)，g(x)有最小值g.4.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能為()答案D解析應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系來判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象5若f(x)在(a，b)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則“f(x)0”是“f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減”的_條件答案充分不必要解析對(duì)于導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)f(x)，若f(x)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，反過來，函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，不一定恒有f(x)0，如f(x)x3在R上是單調(diào)遞減的，但f(x)0.題型一函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系例1對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是_答案2n12解析由ky|x22n1(n2)，得切線方程為y2n2n1(n2)(x2)，令x0，求出切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0(n1)2n，所以2n，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn2n12.反思與感悟找切點(diǎn)，求斜率是求切線方程的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練1如圖，曲線yf(x)上任一點(diǎn)P的切線PQ交x軸于Q，過P作PT垂直于x軸于T，若PTQ的面積為，則y與y的關(guān)系滿足()AyyByyCyy2Dy2y答案D解析SPTQy|QT|，|QT|，Q(x，0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，kPQyy2y.故選D.題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值例2已知函數(shù)f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(3)當(dāng)x1,5時(shí)，求函數(shù)的最值解函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，得ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x2b0恒成立，解得a1，b0；(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的遞減區(qū)間為(4,4)，遞增區(qū)間為(，4)和(4，)，f(x)極大f(4)128，f(x)極小f(4)128.(3)由(2)知，函數(shù)在1,4上單調(diào)遞減，在4,5上單調(diào)遞增，對(duì)f(4)128，f(1)47，f(5)115，所以函數(shù)的最大值為47，最小值為128.小結(jié)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性首先要求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)解f(x)0得增區(qū)間，解f(x)0得減區(qū)間(2)求極值時(shí)一般需確定f(x)0的點(diǎn)和單調(diào)性，對(duì)于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn)(3)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)yax3bx2，當(dāng)x1時(shí)，有極大值3.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的極小值；(3)求函數(shù)在1,1的最值解y3ax22bx，當(dāng)x1時(shí)，y|x13a2b0，y|x1ab3，即，a6，b9.(2)y6x39x2，y18x218x，令y0，得x0，或x1，y極小值y|x00.(3)由(1)知，函數(shù)yf(x)6x39x2，又f(1)15，f(0)0，f(1)3，所以函數(shù)的最大值為15，最小值為0.題型三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)f(x)3x2a，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)x31在R上單調(diào)遞增，符合題意所以a的取值范圍是(，0(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，則f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因?yàn)樵?1,1)上，03x23，所以a3.當(dāng)a3時(shí)，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，若函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)，則yf(x)0.3設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，則當(dāng)axf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a)答案C解析由條件，得0.在(a，b)上是減函數(shù)f(b)g(x)4函數(shù)f(x)x3x22x5，若對(duì)于任意x1,2，都有f(x)m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(7，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.可判斷求得f(x)maxf(2)7.f(x)7.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題，都可以通過導(dǎo)數(shù)得以解決不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的各種方法一、基礎(chǔ)過關(guān)1函數(shù)f(x)xcos x的導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間，上的圖象大致是()答案A解析f(x)xcos x，f(x)cos xxsin x.f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除C選項(xiàng)由f(0)1可排除D選項(xiàng)而f(1)cos 1sin 10，從而觀察圖象即可得到答案為A.2函數(shù)yxcos xsin x在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()A. B(，2)C. D(2，3)答案B解析ycos xxsin xcos xxsin x，若yf(x)在某區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，只需在此區(qū)間內(nèi)y恒大于或等于0即可只有選項(xiàng)B符合題意，當(dāng)x(，2)時(shí)，y0恒成立3已知函數(shù)f(x)ln x，則有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(2)f(e)f(3)4函數(shù)yf(x)的圖象如下圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是()答案D解析由yf(x)的圖象知，f(x)在(，0)，(0，)上都為減函數(shù)，在(，0)，(0，)上，f(x)0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上單調(diào)遞增，則a的最大值為_答案3解析由題意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3.6若函數(shù)yx3x2m在2,1上的最大值為，則m_.答案2解析y3x23x3x(x1)由y0，得x0或x1.f(0)m，f(1)m.又f(1)m，f(2)86mm2，f(1)m最大m.m2.二、能力提升7已知函數(shù)f(x)、g(x)均為a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，在a，b上連續(xù)且f(x)g(x)，則f(x)g(x)的最大值為()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)答案A解析設(shè)F(x)f(x)g(x)，F(xiàn)(x)f(x)g(x)0時(shí)，有f(x)0，g(x)0，則當(dāng)x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0時(shí)，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上遞增x0時(shí)，f(x)遞增，g(x)遞減x0，g(x)1)在區(qū)間1,1上的最大值為1，最小值為2，則f(x)的解析式為_答案f(x)x32x2110已知函數(shù)f(x)x3ax23x6，若x3是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求f(x)在0，a上的最值解f(x)3x22ax3，由已知得f(3)0，396a30.a5，f(x)x35x23x6.令f(x)3x210x30，得x1，x23.則x，f(x)，f(x)的變化關(guān)系如下表.x03(3,5)5f(x)00f(x)6遞增6遞減3遞增21f(x)在0,5上的最大值為f(5)21，最小值為f(3)3.11設(shè)函數(shù)f(x)xax2bln x，曲線yf(x)過P(1,0)，且在P點(diǎn)處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)2x2.(1)解f(x)12ax.由已知條件得即解得(2)證明因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.設(shè)g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，則g(x)12x.當(dāng)0x0，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0時(shí)，g(x)0，即f(x)2x2.三、探究與拓展12已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(