留數(shù)定理計(jì)算積分.ppt

1,復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件,DepartmentofMathematics,第二節(jié)用留數(shù)計(jì)算定積分,2,留數(shù)定理的應(yīng)用-積分的計(jì)算:,（2）、利用留數(shù)計(jì)算積分，沒(méi)有一些通用的方法，我們主要通過(guò)例子進(jìn)行討論；（3）我們只討論應(yīng)用單值解析函數(shù)來(lái)計(jì)算積分，應(yīng)用多值解析函數(shù)來(lái)計(jì)算積分在課本中有討論。由于時(shí)間的關(guān)系，我們不討論應(yīng)用多值解析函數(shù)來(lái)計(jì)算積分的問(wèn)題，同學(xué)們可以自學(xué)。,利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)：（1）、利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從而大大化簡(jiǎn)了計(jì)算；,3,思想方法:,封閉路線的積分.,兩個(gè)重要工作:,1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化,2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化,把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條,形如,4,z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.,包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).,注:,5,例1,解,故積分有意義.,6,7,因此,8,注:,此時(shí),例2計(jì)算積分,解,則,9,10,由留數(shù)定理,例3計(jì)算,解,11,由留數(shù)定理,12,注:,例4計(jì)算積分,解,13,14,在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算反常積分的值，如,數(shù)學(xué)分析計(jì)算這些積分麻煩,無(wú)統(tǒng)一方法;用留數(shù)計(jì)算,較簡(jiǎn)捷.,15,1引理6.1,證明,因?yàn)?于是有,16,于是有,17,2定理6.7,18,證明,由條件(1),(2)及數(shù)學(xué)分析的結(jié)論,知,根據(jù)留數(shù)定理得:,19,或?qū)懗?因?yàn)?20,解,例5,21,22,解,例6,23,24,引理6.2,25,證明,于是就有,于是由Jordan不等式,26,將(6.13)化為,應(yīng)用引理6.2,完全和證明定理6.7一樣可得,27,2定理6.8,則有,注:將(6.14)分開(kāi)實(shí)虛部,就可得到形如,的積分.,28,證明,根據(jù)留數(shù)定理得:,29,或?qū)懗?因?yàn)?30,例7計(jì)算積分,解,且在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn),31,32,四計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分,引理6.3,證明,因?yàn)?于是有,33,于是有,34,例8計(jì)算積分,解,即,35,由引理6.2知,由引理6.3知,36,解,五雜例,例9,它是一個(gè)整函數(shù),則,37,而,38,比較兩端實(shí)部與虛部即得,弗萊聶爾(frensnel)積分,即,39,本節(jié)結(jié)束謝謝