二項式定理解題技巧.doc

二項式定理1二項式定理：，2基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù).項數(shù)：共項，是關(guān)于與的齊次多項式通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。3注意關(guān)鍵點：項數(shù)：展開式中總共有項。順序：注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項減到，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。4常用的結(jié)論：令 令 5性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，二項式系數(shù)和：令,則二項式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值。系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。6二項式定理的十一種考題的解法：題型一：二項式定理的逆用；例：解：與已知的有一些差距， 練：解：設(shè)，則題型二：利用通項公式求的系數(shù)；例：在二項式的展開式中倒數(shù)第項的系數(shù)為，求含有的項的系數(shù)？解：由條件知，即，解得，由，由題意，則含有的項是第項,系數(shù)為。練：求展開式中的系數(shù)？解：，令,則故的系數(shù)為。題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式的展開式中的常數(shù)項？解：，令，得，所以練：求二項式的展開式中的常數(shù)項？解：，令，得，所以練：若的二項展開式中第項為常數(shù)項，則解：，令，得.題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式展開式中的有理項？解：，令,()得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，。題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為，求.解：設(shè)展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為 ,則有，,則有 將-得： 有題意得，。練：若的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為，求它的中間項。解：，解得 所以中間兩個項分別為，題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知，若展開式中第項，第項與第項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，。練：在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即，也就是第項。練：在的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？解：只有第項的二項式最大，則，即,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于例：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項()的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。例：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項？解：由解出,假設(shè)項最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項為,有練：在的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)項最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項為題型七：含有三項變兩項；例：求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項的系數(shù)？解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時，的展開式中才有x的一次項，此時，所以得一次項為它的系數(shù)為。解法： 故展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為240.練：求式子的常數(shù)項？解：，設(shè)第項為常數(shù)項，則，得, .題型八：兩個二項式相乘；例：解： .練：解：.練：解：題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：解：題型十：賦值法；例：設(shè)二項式的展開式的各項系數(shù)的和為，所有二項式系數(shù)的和為,若,則等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.練：若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展