創(chuàng)新教育數學大課堂案例.doc

【創(chuàng)新教育數學大課堂案例】與學生談數學湖北省羅田縣三里畈中學“初中創(chuàng)新教育的研究與實踐”課題組何國炎 晏紹安 范美良 何先忠李怡書 何群科 鄂盛林 豐軍明(此系列鄂東晚報2005年春陸續(xù)選載) 目錄1.數學課文也要閱讀 2. 數學世界的奇、妙、趣、美3. 大局思想，整體方法 4. 淺談數學復習中的整合5.數形結合 開啟思維的航船 6.分類討論，放飛思維7. 逆向思維與應用 8. 數學解題原則9.談“空間與圖形”的入門學習 10. 談數學學習方法11.由一個學生課堂錯誤想到的 12.類比與聯想，展開思維的翅膀【“與學生談數學”之一】數學課文也要閱讀羅田縣三里畈初中 范美良“讀課文”似乎是語文學科的專利，中間加上“數學”二字，乍一聽覺得有點別扭，其實靜靜地想一想，數學課文不僅要認真地讀，而且要仔細地讀。數學課本是數學知識的載體，是同學們學習數學的依據，它是由文字、數學符號、圖形、表達式等有機構成，千姿百態(tài)，變化無窮。其中蘊含了十分豐富的數學思想、數學原理、方法，小史等知識，字字有含義，處處存邏輯，抽象而嚴密。在學習中若有毫厘之疏忽，其結果就會產生千里之謬誤。所以同學們在學習數學時只聽老師的講是不夠的，還需要自己逐字、逐行、全面準確地讀數學課本原文，以便正確學，學正確。這也是同學們學習數學的一種方法閱讀法。認真地讀數學課文對提高同學們的數學成績是無可非議的，無怪乎，數學教材中專門為同學們增設了“讀一讀”的“短文”，但我認為同學們絕對不能僅限于只讀這些“短文”，還要讀各章節(jié)的“引言”、“小結復習”、“新穎的刊頭圖語”，對于每章節(jié)的內容更應做到以下幾點：一、 課前初讀，自悟其意“學貴自悟”，有目的預習讀書是學好數學的良好開端。同學們通過初讀，要能大致理解每章節(jié)所學內容，明確學習目標，要掌握什么？有哪些重要概念、法則、公式？是否能夠初步運用？并結合這些問題書寫簡明讀書筆記，且做到堅持不懈，這樣才能讀有所悟。二、 課堂精讀，悟出要點課堂學習是同學們學習過程的主陣地，通過自己的初讀，結合課堂上教師的講解，使自己在初讀時的疑難問題得到逐步解決，通過精讀、深鉆，準確把握各章節(jié)中的重點、難點與關鍵，使知識條理化、系統化，從中悟出知識要點。三、 課后復讀，鞏固提高讀數學課文不能淺嘗輒止，如果這樣，易于返生，課后復讀正是突破這一障礙的主要途徑，因此課后復讀一遍本章節(jié)的主要內容，研究一下例題的解題過程和分析方法，提高解決問題的能力，同時堅持寫一寫課后讀書筆記，總結每章節(jié)學習的得失，談談學習體會，都能夠收到良好的效果。總之，讀數學課文要貫穿整個學習過程的始終。課前讀，以作預習，課中讀，以作學習，課后讀，以作復習。讀書的方式，可以默讀，也可以朗讀，但要邊讀邊想，弄通其中的道理；邊讀邊記，記憶有關概念、公式、法則、定理等基礎知識；邊讀邊解，掌握解題、證題的方法等基本技能，邊讀邊畫，達到既會作圖，又會識圖的要求【“與學生談數學”之二】數學世界的奇、妙、趣、美羅田縣三里畈中學 何國炎數學是人類文明的結晶。從表面看，數學符號單調，數學公式枯燥，數學證明繁復，數學運算麻煩，然而正是這些，構成了數學大廈的美麗與壯觀，使一代代學子為之深鉆苦讀，一個個數學家如醉如癡，為之貢獻畢生的心血。是什么力量支配看他們？因為數學的魅力。只要潛心于數學世界，就會發(fā)現它的新奇，它的巧妙，它的情趣，它的美麗。如果你深入數學世界，就能勇敢地獵“奇”，大膽地探“妙”，多角度地賞“趣”，創(chuàng)造性地審“美”。人們常說大千世界，無奇不有，而數學世界更是千奇百妙，變化萬千。就從學習代數式來看，神奇的變化就讓人嘖嘖稱嘆。請看下列代數式：（）；可變?yōu)?。數字不變，可表達方式卻不一樣。數的立方還會出現“黑洞”，詭異難測。例如：；這些奇妙的數字稱為“水仙花”數。它們的新奇，肯定會你躍躍欲試。只要你“從代數式中找規(guī)律，列代數式表示”，就會自覺去獵“奇”，就具備了探索精神和歸納能力。數學來源于生活，產生于生產實踐，是生活中奇的濃縮，是實踐中妙的結晶。數學的運算，妙趣橫生。請你觀察這幾個數字，看出缺哪一個數字嗎？回答是缺“”。而乘以的運算結果你知道是多少？回答是：。有的是“”吧！表面無“”，而結果都是“”。再看一個算式：。這么整齊的對稱數字，你說妙不妙？數學與生活，誰也離不開誰。、，一個星期接著一個星期，周而復始。而一個月的周歷表中，任意三橫三列排成正方形的個數的和，總是等于中的哪個數的倍。這難道不妙？數字還能變?yōu)槊烂畹囊魳贰Ｓ?、七個數字，體現多、來、米的聲音高低與變化，組合成變化無窮的樂曲，表達人們喜、怒、哀、樂的豐富情感。按素質教育和新課改的要求，學生的課業(yè)負擔減輕了，有了充足的富余的時間。如果養(yǎng)成了自學的習慣，走進數學的奇妙世界，在生活、生產中尋找數學的妙用，有利于培養(yǎng)智力和能力。如果能夠大膽探“妙”，哪怕是“異想天開”，對于開發(fā)數學思維、培養(yǎng)想象能力來說，必然是收效顯著。在開放的課外活動中，你要去品賞數學之“趣”，讓興趣伴隨自己學習、鉆研、探索的全過程。閱讀數學家故事，能激發(fā)我們學習先哲們的鉆研奉獻精神，繼承先人的科學成就。參加數學辨論會，能培養(yǎng)我們的探索精神，訓練思維的嚴密、細致和敏捷。參加智力賽和擂臺賽，能鍛煉我們的數學運用能力，發(fā)揚敢于爭先的精神。通過各種充滿情趣的活動，養(yǎng)成愛數學、學數學的良好習慣，全面提高數學能力，應該成為同學們必要的方式和方法。數學是人類從生產生活和大自然中結晶出來的，其結構、圖形、布局和形式，無一不體現數學美，連數學的方法也是與美相對應的。閱讀邏輯美；演算精確美；觀察布局美；思考潛在美；類比相似美；聯想和諧美；猜想啟示美；探索成功美；轉化變換美；發(fā)現奇異美；構造創(chuàng)造美。數學不但體現了科學美，也體現了藝術美。例如，用電化手段作幾何圖形的旋轉或對稱練習，用塑泥制作各種形體，用卡紙或電線制作各種圖形，通過作圖畫出美麗的圖案等?！傲嘛w雪”就是把一個等邊三角形的邊分為三等份，以中間一等份為邊向形外作等邊三角形，如此繼續(xù)下去，所得圖形就象一個六角形的“雪花”。“羊年吉祥”是以正方形的一邊為斜邊，向外作正方形，依此畫下去，所得圖形就象一個“羊頭”。這些圖形，都體現了對稱的藝術美。由動腦到動手，在親手制作體會數學美，繼而利用數學來設計創(chuàng)造美，這是數學美的升華。在獵奇中培養(yǎng)探索發(fā)現能力，在探妙中培養(yǎng)創(chuàng)造的靈感，在賞趣中培養(yǎng)熱愛數學的情感，在審美中培養(yǎng)創(chuàng)新的本領。數學的神秘世界等待著無數的志士仁人去開發(fā)。【“與學生談數學”之三】大局思想，整體方法 羅田三里畈初中 何國炎華人諾貝爾物理學獎獲得者楊振寧博士說：“做物理就像作一幅大的畫，你要有本領把局部結構畫得很精細，但是更要能總體把握，這兩點都要做到才行?！苯鈹祵W題也是這樣，在加強對局部基本知識的學習、研究、分析的基礎上，從大局著眼，整體上把握問題，即所謂整體達到，它就是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，觀察和發(fā)現問題的整體的結構和特征，把一些式子和圖形看成一個整體，把握他們之間的聯系，進行有目的、有意識的整體處理，起到事半功倍而意想不到的效果。一、代數式化簡求值中的整體代入法求代數式的值，就是把代數式中的每一個字母用數字代替后，再計算出結果。但是有些代數式求值不知道某個字母的取值，而另一些字母取值不知，這就要用整體代入的方法。如：已知，當x=-2時，代數式ax3+bx+1的值為6，那么當x=2時，代數式ax3+bx+1的值_。將x=-2代入式中得-8a-2b+1=6,8a+2b=-5,當x=2時，ax3+bx+1=8a+2b+1=-5+1=-4 ,而有些求值，則只有一些字母的關系式，這就更要有縱觀大局思想，運用整體代入的方法求值。如：x+2y+3z=10, 4x+3y+2z=15,則100-(10x+10y+10z)=_,觀求式系數相同，察已知兩式系數也有關系，故兩式相加得5x+5y+5z=25。 等式兩邊同乘以2后整體代入即能簡單的求出值來。二、解方程中的整體換元法在解方程中，用上了整體的方法，使分式方程、無理方程換元后化難為易，求解簡單、快捷、準確。而解方程組和不定方程中，整體疊加疊乘處理，換元整體構造方程，更是整體方法的妙用。如：求系數a、b、c間的關系式，使方程組有實數解。解：將三個方程疊加，得（a+b+c)x2+(a+b+c)x+a+b+c=0，即(a+b+c)(x2+x+1)=0,而 x2+x+1（x+）2+0 a+b+c=0；當a+b+c=0時，方程組有實數解x=1.此解法既有整體疊加，又有a+b+c=0整體討論求解。而解方程組更是將x+=, y+=，整體換元后，以、為兩根，構造一元二次方程為z2-10z+24=0,求解更易。三、幾何中大局構造思想和整體方法幾何是培養(yǎng)邏輯思維能力和空間想象能力的學科，因此大局思想，整體方法更是解決復雜幾何問題茶館用的方法。由“殘部”想“整體”補復雜的圖形為悉知的圖形，是幾何中整體方法的具體表現。如圖，在四邊形ABCD中A135，BD90，BC2，AD2，則四邊形ABCD的面積為_。解本題，如果只在四邊形內想辦法作輔助線后計算，不但不能簡單解決，現飯作輔助線后反而把已知角的條件破壞不能用。如果從整體上觀察，BD90，ABCDEC180A45，聯想到直角三角形，并補形延長BA、CD交于點E，則為兩個等腰直角三角形。BCE和ADE，問題非常簡單的得到解決，充分的體現整體方法的奇效。大局思想，整體方法，不但能使解題簡單明了，而且真正理解掌握知識，更重要的是開闊了眼界，發(fā)散了思維，培養(yǎng)了能力?！尽芭c學生談數學”之四】淺談數學復習中的整合羅田縣三里畈中學 晏紹安 數學復習是一個將平時所學的知識、解題方法、思維進行的鞏固，再熟練強化，形成一種穩(wěn)定習慣為再創(chuàng)造提供知識和技能意識基礎的過程。而知識、解題方法，思維的鞏固，必須通過題目這一載體，運用解題這種形式來實現，要達到再熟悉強化的目的，必須將題目根據知識、方法和思維訓練的要求進行相對的集中，重新組合，打破平時教學的時限性、階段性的限制，這就是整合。一是知識點的整合。理解掌握基本的知識是最起碼的要求，也是運用知識解決問題，遷移知識的前提條件。牽涉到某一問題的知識不可能在某一章節(jié)全部出現，而是分散在不同年級不同章節(jié)中，學生不可避免地有蔬漏，復習的目的是要把這些分散的知識集中串起來，根據不同的題目條件運用不同的知識解決不同的問題，在比較中理解、掌握、運用知識。如：對于線段中點這一知識點涉及到的知識有：（）中點兩等分線段；（）三角形的中線；（）中位線定理；（）垂經定理；（）中垂線定理。如圖：（）在DABC中，ABAC，D、E在BC上，且DEEC，過D作DFAB交AE于點F，DFAC，求證：AE平分BAC。（2）如圖：DABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE，G是垂足。求證：(1)G是CE的中點；(2)B2BCE。（3）如圖，AB是圓O的直徑，直線L切圓O于E，過A、B分別作直線L的垂線，垂足分別是C、D，求證CODO，ABACBD。求證：CODO。第題，過點作的平行線與的延長線相交于點，利用中點兩等分線段可構造全等三角形，進而證明對應角，對應線段相等或是轉化為其他的相等關系；第題連結，利用中點結合直角，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”；結合已知條件和定理“到中線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，”可以證明，。第題運用“過梯形一腰的中點平行于兩底的直線必平分另一腰”，梯形中位線定理，線段中垂線性質定理，同時可穿插復習三角形中位線定理。這樣可以通過復習具體的知識，讓知識系統化、細密化，在運用中將知識深化、活化，有效化。二是解題方法規(guī)律的整合訓練。初中數學復習的內容多，如果運用簡單重復的題海戰(zhàn)術，不光效率低下，枯燥單調，而且極易使學生疲勞，解題的效果反復無常，甚至是以前解對的題目也很費力才能解答，焦慮不安，喪失信心。要從題海跳出來，提高效率，達到舉一反三的目的，必須掌握同類型題目解法的內部規(guī)律并形成自覺的運用的習慣。如：題一，AB為圓O的直徑，BC切圓于點，AC交于圓O于P，E在BC上，且CEBE，求證：PE是圓O的切線。題二，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，垂足為A，以腰BC為直徑半圓O切AD于E點，連結BE，若BC6，EBC30，求梯形ABCD的面積。 這兩個題都涉及到直經和切線問題，而解決有關直徑的問題常常作輔助線構成直徑所對的圓周角；解決有關切線的問題常常作過切點的半徑。運用到這兩個規(guī)律，這兩個題目就會迎刃而解。訓練自覺運用規(guī)律，可以養(yǎng)成學生最后不自覺的運用規(guī)律甚至主動總結規(guī)律的良好習慣，最終學生會站在更高的角度，以高屋建瓴的思維，更開闊的思維審視題目，能夠不需要詳細的解題，而知道題目如何解答，極大地提高復習效率，產生更大的成功感和濃厚的興趣，樹立起堅定的自信心，應考時能夠正常發(fā)揮甚至是超常發(fā)揮。三是思維整合訓練。中學生的思維訓練主要是轉化的數學思維，發(fā)散思維創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與訓練。轉化的數學思想是解答靈活多變的題目的前提條件。如：在RtABC中，ACB90，AD平分CAB交BC于D。過作CEAD，垂足為E，CE的延長線交AB于F。求證EFCE。根據題目條件可知將證明EFCE轉化成三角形三角形，根據條件按這種轉化思路問題是能夠得到證明的。如：中，于，是上點。于，于。求證：。這個問題可以運用“截長補短”的輔助線來解決。但考慮、都是垂線段，是高，、可以轉化成三角形的高，而三角形的高與面積有關。連結，因此轉化成、的面積問題解決。發(fā)散思維的訓練關鍵是對題目已知條件進行發(fā)散，如：四邊形ABCD中，BD平分ABC，與互補，那么和是否相等?先假設ADCD。在尋求證明該結論時根據題目的兩個條件，發(fā)散不同的條件就可以得到不同的證明方法：根據BD平分ABC可以考慮運用角平分線性質定理來證明，過D點分別作BA、BC的垂線，垂足分別為E、F，證明。根據互補這一條件，考慮到圓內接四邊形對角互補，因此A、B、C、D四點共圓。因此、兩相等的圓周角所對的兩弦、相等。發(fā)散題目條件可以讓學生更好地熟悉題目，更有效地將題目條件和發(fā)散結論重新配置、組合，更快地解決問題。創(chuàng)新思維沒有固定的訓練方法，在某種程度上說主要來自于靈感。靈感源于平時基本知識的熟練靈活運用和創(chuàng)新意識。因此在平常訓練中要有意引導學生創(chuàng)新，鼓勵學生創(chuàng)新。如已知滿足方程，則。聯想到原方程可化為，、互為倒數，若一元二次方程abc（a）的兩根之積X1X2，則兩根互為倒數，因此、可以看成是方程X27的兩根，所以7/2；這是一種聯想創(chuàng)新。 如：X2有幾個解，可以用解方程的方法解答，但比較繁瑣，考慮到求兩函數圖象的交點可以轉化成解方程的問題，因此這個問題就可變成拋物線yX2與雙曲線y的交點問題，通過分析圖象可以解答，這是一種將數與形結合的創(chuàng)新?！尽芭c學生談數學”之五】數形結合 開啟思維的航船 羅田縣三里畈初中 何國炎“數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘：幾何代數流一體，永遠聯系莫分離?！比A羅庚關于數形結合的這一段精辟論述，正是我們要學習的數學思想和開啟思維的好方法。一、以形助數，簡明直觀數是形的抽象概括，形是數的直觀表現，用形幫助解決數的問題，我們早已熟知，應用題中用畫線段圖幫助分析理解數量關系，就是數行結合的初現。例1：修一條公路，現已完成全長的離中點還有16.5千米，問已修完多少米？解法一：（算術法）16.5 （ ） 33 （千米）解法二：（代數法）設已修公路為x千米，則列方程為 xx16.5,解得x33解法三：（數形結合法） 16.52=33 （千米）將全長畫為線段AB看作“1”，將其三等份，每段為，E為AB中點 ，也為CD中點，即CF=ED=16.5，所以全長的即已修成為16.5233（千米）。三種方法，數形結合既直觀明了，又簡單易算，足見形助數的奇效。個人所得稅是一個分段計稅的問題，不易理解，很容易算錯，如果畫出下列這樣的線段圖就直觀簡單。二、用數解形，細致入微幾何直觀形象，但代數表達及其運算，全面、精辟、入微，而“形題數解”往往可以使求解思路新穎，且?guī)缀沃卸嘟鈫栴}可以通過轉化為解方程或方程組求出來，而不必進行分類討論，這就是數形結合優(yōu)越性的再現。例2：等腰三角形的面積為2，腰長為5 ，底角為 ，求tan 。此題為一幾何求值題，用幾何方法解，必須以頂角為銳角、直角、鈍角進行分類討論，才不漏解，但用下面的代數方法求解就全面細致且不漏解。解：過A作ADBC 于D，設BDx,ADy,則有x2y2() 2 又有SABC BCAD 2xy2，即xy2 ，由組成方程組，求解并檢驗后得 tan 或2，詳細求出多解。 ( 例2圖) （例3圖）三、數形結合顯神奇形助數，數解形，數形結合見神奇。看：一個實數可以用數軸上的點表示，而平面上的點可以用一對有序實數點的坐標（x,y）表示。通過平面直角坐標系這個數形結合的橋梁，一條直線就可以用數式ykxb(k0)表示，而函數yax2bxc（c0）的圖象則是 一條拋物線，數形在此成為一體。數形結合，既可以將數的問題轉化為形，也可以將幾何圖形的問題轉化為代數問題。例3：已知：ABC中， C90，CD是高，求證：AC2ADAB證明：如圖，設A , cos,AC2ADAB這本是一道“用相似三角形”知識來證明的幾何問題，但通過設“元” ，利用三角函數，將幾何問題代數化，更顯出數形結合的神奇。如果說數學是知識海洋中的一艘船，若數是舵，那么三角形，四邊形不正像船上的帆，掌好數的舵，揚起形的風帆，數形結合開啟思維的航船，駛向知識的大洋。 【“與學生談數學”之六】分類討論，放飛思維羅田縣三里畈初中邊 何國炎你會化簡x-1嗎？你會求出 的值嗎？很多同學一定都會回答，解這些題一定要分類討論才能完成。確實如此，在解決某些數學問題時，要將問題中的對象按一定的標準，分成若干類，然后逐類討論，最后總結得出正確的結論，這就是分類討論法。怎樣運用分類討論法解題呢？關鍵是如何正確分類，重點做到分類既不重復，又不遺漏，這就需要我們根據所學知識，按下列常見形式分類討論。一、根據范圍或條件的限制進行分類討論一般的定義、定理、公式和法則都有一定的范圍或條件的要求，因此，按要求分類討論，才能正確完整解答問題。如：絕對值的法則中分為正數、零、負數三方面討論，而等比性質中 ，如：嚴重abc0,并且 p,求p的值，由等比性質得， p,當a+b+c0時，p2；當a+b+c0時，即abc,p1.是按a+b+c0和a+b+c0兩種情況分類討論 。二、根據題設條件中含有字母的不同取值進行分類討論。分類討論中含有變量或字母系數，必須按不同的取值進行分類討論。字母系數的一元一次方程ax+b=0和一元一次不等式axb中，系數的不同取值，直接影響解答的方法和結果，一般按數的正、零、負進行討論。而一元二次方程解的討論，也是按判別式的正、零、負進行討論。而是否什么方程，則看系數為零不為零決定方程的次數來討論。如：求滿足如下條件的所有k值，使關于x的方程kx2+(k+1)x+(k1)0的根都是整數。此題含字母系數的方程是關于x的二次方程，還是一次方程直接受系數的影響，應分類討論。當k0且不等于0.5時，為一次方程；當k0時為二次方程，還要考慮判別式，再分類討論，這是一個雙重討論的問題，分類方法更為重要。三、根據圖形位置或形狀不確定進行分類討論幾何中圖形形狀、大小、位置是研究的對象，當這些對象不確定時，只有通過討論才能定形定性，誰結論完整正確。三角形根據銳角、直角、鈍角分類而高有形內、直角邊上、形外三種類型；等腰三角形由于底、腰的不確定而周長需要分類討論得出；全等、相似三角形的對應邊不確定要分類討論；點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系由于相互間距離與半徑的不定關系也都分為三種類型討論；而圓中的兩條平行弦間的距離，則根據兩弦在圓的同側還是兩側而分類得出兩種不同的距離。四、根據問題條件沒有明確給出或結論不唯一進行分類討論這類問題，只有通過分類討論，才能保證解答的嚴密性和結論的完整性。如：已知為銳角，比較sin,cos的大小。條件中的銳角又不明確，根據正弦與余弦隨角度大小變化規(guī)律，當45，兩函數值相等為界，分為045、45、4590分類討論得出sincos、sincos 、sincos.而在坐標系中點的坐標的不確定，致使結論的不唯一，更要通過分類討論來保證結論的完整。如：已知x軸上有點A（-2，0），B（4，0），點P為直線y x+2上一點，其橫坐標為m，問：若APB為直角三角形，則m為何值？此題中APB的邊AB位置已定，而使APB為直角三角形，則需要考慮到哪個角為直角，故分APB90、ABP90、BAP90三類進行討論即可。此外，對于自然數問題可按奇，偶分類或剩余類分類討論；而中考壓軸題經常用到的分類有：由點的不確定引起分類討論；由圖形全等或相似的對應關系不確定性引起分類討論；由圖形運動導致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論。分類討論既是一種重要的教學思想，更是一種常用的解題方法。它不但考察我們掌握基本概念和基本技能的程度，而且能培養(yǎng)我們思維的周密性和靈活性，使我們思考問題更加全面、嚴謹、周密，且靈活準確 ?！尽芭c學生談數學”之七】逆向思維與應用羅田縣三里畈初中 李怡書在初中數學教材中有許多互逆關系的內容，學生在學習知識的過程中應該經常用逆向思維的方法去幫助理解，學會分析解答，鞏固所學知識與方法，養(yǎng)成勤檢查的良好學習習慣，培養(yǎng)學生學習的主動性，對自己充滿信心。在學習計算法則時，如減法法則、除法法則、開方法則分別是加法法則、乘法法則和乘方法則的應用逆運算。學習理解它們時，新知識建立在舊知識的基礎上，結合互逆的關系，學習起來淺顯易懂。如224 （2）24 那么什么數的平方等于4？4的平方根有哪些？象這樣反復對比、舉例，就不會掉解。再如計算 ，若直接通分非常復雜，甚至不可解。但如果逆用減法法則，計算起來就較為簡便。即原式象這樣根據這種互逆關系計算起來簡便，學習起來便可順理成章了。在學習運算性質時，要靈活運用這些性質進行恒等變形，注意性質的運用與反用，還要活用。如乘法的分配律與反分配律、冪的運算、二次根式的運算性質等。掌握性質的靈活多變，反復運用，體會到數學的靈活性與多變性。如xn=2,求x3n. 若想求出x和n來，此題不可解。若運用冪的性質，可化險為夷。即x3n（x3n）3=23=8 .再如二次根式的乘法、除法法則與積商的運算性質剛好互逆。有時靈活運用也可使計算簡便。如計算如果直接采取分子、分母同乘以分母的有理化因式比較麻煩。若仔細觀察可發(fā)現題中隱含有條件：x0,y0.所以x=,y= .從而使計算簡便。即原式。象這樣仔細觀察，恰當合理地運用一些性質，能夠走出困境，嘗到柳暗花明、成功的喜悅。在幾何中有許多定理也存在看互逆的關系，如平行線的判定和性質，切線的性質等。注意分清定理和逆定理。體會它們之間的區(qū)別，不能魚目混珠，分辨不清。甚至經常思考一些命題的逆命題該怎樣敘述并判斷真假，引起認知的沖突，有利于幫助他們對知識的理解和掌握，培養(yǎng)思維的深刻性和發(fā)散性，有利于發(fā)展學生的逆向思維能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性。在解答幾何題中，我們經常采取執(zhí)果索因法（分析法）去分析和尋找解題途徑。甚至貫穿在代數中，這也是逆向思維的具體體現。如“已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數根，是否存在實數k，使方程的兩個實數根互為相反數？如果存在，求出k的值。如果不存在請說明理由.”解題時，我們也是先假設存在符合要求的根，然后順著這條思路往下找。最后看是否有符合題意（包括隱含條件），還有諸如反證法，做選擇時用到的排除法。題目做完后倒過來檢查時，也是逆向思維的應用。總之，在平時的學習中，我們要進行一些反思，多學一點數學的思想方法，多一點分析的方法、多一點刨根問底的精神、多一點檢查的習慣，定會收到事半功倍的良好效果。【“與學生談數學”之八】數學解題原則 三里畈初中 何群科 解數學題，就其本身而言，也要有明確的目的性-實現題目的要求，始終想著目標，圍繞目標，進行變換，要抓住條件，緊扣目標，廣泛聯想，全面考慮問題，注意思維的廣闊性，多角度多側面的思考問題，若從一個方面看問題思路受阻，就應調整觀察分析問題的角度，從另一個側面思考問題，從不同的方向探索思路?！笆炷苌伞?，要想解決問題，必須深刻熟練地掌握知識，對知識形成條件反射，看到問題條件和目標，就能聯想到與此有關的知識，這是分析問題的基礎。 解數學題，實質上就是應用數學中各種思維方法與知識，對問題作出一系列恰當的、巧妙的轉換。這種轉換，要由具體問題決定，可變換題目的條件，導出目標；也可變換題目的目標，逆向追溯題設條件；也可同時變換題目的條件和目標，在變換中求得一致，得到解決。在轉化方向上，我們總是遵循一些原則。如簡單化原則、熟悉化原則、同一化原則、模式化原則等。自覺地遵循這些原則，能使我們更好地把解題方向，少走彎路，更快地打開解題思路。（一）簡單化原則 所謂簡單，就是把比較復雜的問題，通過變換，變成比較簡單的問題的問題，把解決復雜問題歸結為解決簡單的問題，或通過問題的簡單化，獲得解決復雜問題的思路。（二）熟悉化原則 在解題中，我們常常碰到非常陌生的問題，與所學的知識很難聯系，無從插手，在這種情況下，我們就要考慮能否將此問題轉化為我們所熟悉的、會解的問題，通過熟悉問題的解決，得到原問題的解決。（三）同一化原則 在解題中，常常需要減少不同元素，縮短條件和目標的距離，以此探索解題思路，這就是轉換的同一化原則。這種轉化，在數學中經常見到。如代數中解多元方程組，要消元，變成一元方程求解；解一元二次方程，要降冪，變成一元一次方程求解；解一元高次方程，可通過因式分解，變成一元一次方程或一元二次方程求解。在三角函數中，常常將不同名三角函數，變成同名三角函數，或盡量減少不同名三角函數的種數。將不同角變成相同角，或盡量減少不同角的種數。將高次變低次，盡量為使用三角公式創(chuàng)造條件?？傊诮忸}中，將元素統一，將條件和目標統一，將新問題和會解的問題統一，是更重要的解題思考方法。（四）模式化原則 在數學知識的學習和運用過程中，對知識結構和數學思想逐漸形成數學模式。利用已經建立的數學模式，不斷去認識新事物，解決新問題，反過來又會不斷豐富、完善以至改變原有的數學模式，一個人的解題思路是否開闊，在很大程度上取決于這個人建立數學模式的多少和運用數學模式的熟練程度。很多習題，只要仔細觀察，認真分析題型結構，或只須稍加變換，便可把它納入到某個統一的模式，思路明朗化，問題得到解決。 數學具有和諧美的特征，美與真在數學命題和數學解題中常常是統一的，因此，我們在數學解題，可以根據數、式、形的和諧美，去思考問題、猜測問題，幫助我們打開解題思路，指明解題方向?！尽芭c學生談數學”之九】談“空間與圖形”的入門學習三里畈初中 何先忠 豐軍明我們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“空間與圖形”的學習提供了大量現實有趣的素材，在學習時空要充分利用現實世界的物體，通過觀察大量豐富的立體、平面圖形，加強對圖形的直觀認識和感受，從中發(fā)現幾何圖形，歸納出常見幾何體的基本特征，從而更好地把握圖形。在初學“空間與圖形”這部分內容時應注意以下幾個方面：一、 注意概念間的聯系，在對比中加深理解在初學這部分內容時，涉及的概念比較多，大多數概念，前兩個學段我們都接觸過，許多概念之間都有著密切的聯系和區(qū)別，把握了這些聯系和區(qū)別，就能更好地理解這些概念。例如，直線、射線、線段三個概念聯系密切，它們是直的；同時它們之間又有區(qū)別，端點個數不同，因而長度有有限與無限之分。在學習線段的和、差、中點與研究角的和、差、角平分線，其內容方法都很相似，學習時把它們進行對比。例如，“點是線段的中點”可以寫成AMMB12AB；在學習角平分線時，可以寫出OB是AOC的平分線的式子AOBBOC12AOC，這樣在對比中學習可以更好地理解和掌握相關知識。二、 注意三種語言的互譯AMMmmmmMB數學語言是在數學思維中產生和發(fā)的，是數學思維不可缺少的重要工具，通常數學語言可以分為三種：文字語言、符號語言和圖形語言。圖形是將幾何模型第一次抽象后的產物，是形象、直觀的語言；文字語言是對圖形的描述、理解與討論；符號語言是對文字語言的簡化和再次抽象。在學習時要注意它們之間的互化。例如：在一段直跑道上取中點，其圖形語言為PA可以將其譯為文字語言：點M是線段AB的中點；用幾何語言表述：AMMB12AB。如AOPBOP，譯成圖形語言如圖：BO轉化為文字語言：OP是AOB的角平分線。三、 注意推理能力的訓練在學習的時候不僅要通過觀察、思考、探究等活動歸納出圖形的概念和性質，還要“說點兒理”，把它作為通過實驗探究得到結論的自然延續(xù)。AOBCDE例如：OB是AOC的平分線，OD是COE的平分線，如果AOB400，DOE300，那么BOD是多少度？在這里不僅會求出BOD的度數，還應明白這樣做的理由，能用數學語言表述出來。如果同學們在學習的時候，能加強以上幾個方面的訓練，就不愁學不好幾何噢！【“與學生談數學”之十】談數學學習方法羅田縣三里畈初級中學 鄂盛林剛剛步入初中的學生對如何學好數學，如何適應初中教師的課堂教學感到很困惑，往往因為一開始沒有調整好學習方法，或者是不適應初中數學學習而對數學學習失去了興趣，導致了學習成績的下降。針對這種情況，我就根據學生學習的幾個環(huán)節(jié)（預習、上課、復習鞏固與作業(yè)、總結），從宏觀上談談數學的學習方法。一、課前預習方法初一學生往往不善于預習，也不知道預習起什么作用，預習僅是流于形式，草草看一遍，看不出問題和疑點。我認為學生在預習時應該做到：一讀，先粗略瀏覽教材的有關內容，掌握本節(jié)知識的概貌。二分析，對重要概念、公式、 法則、定理反復閱讀、體會、思考，注意知識的形成過程，對難以理解的概念作出記號，以便帶著疑問去聽課。三準備，在課前就要做好上這堂課的準備，如學習用具（包括文具和自制的一些學具）、相關學習資料等等。例如：我們在學習幾何第一章平面圖形和立體圖形這一節(jié)課前，就可以先將教材瀏覽一遍，初步了解這一節(jié)知識是要學會認識一些平面圖形和立體圖形，以及平面圖形與立體圖形的聯系，然后就需要分析一下這一節(jié)課的知識要點應該是平面圖形與立體圖形的認識，而難點則是平面圖形與立體圖形的聯系，最后就是要為上課做好準備，如收集一些平面圖形和立體圖形的圖案和模型等等。總之我們只有做好了課前的預習，做到有的放矢，上起課來就會覺得很輕松。實踐證明，養(yǎng)成良好的預習習慣，能使我們變被動學習為主動學習，同時能逐漸培養(yǎng)自學能力。二、課堂學習方法課堂學習主要是要做到“聽講”、“思考”、“探究”、“記筆記”相結合?！奥犞v”包括聽老師講和聽同學講。聽老師講主要是聽知識的引入過程，對新知識學習的要求，以及對重點、難點、疑點的點撥。聽同學講就是要了解別人對問題的分析和解法，或者是對新知識學習的疑問?！八伎肌本褪撬季S。沒有思維，就不能真正的參與課堂學習。在思維方法上要注意以下幾點：（1）多思、勤思，隨聽隨思；（2）深思，即追根溯源地思考，善于大膽提出問題；（3）善思,由聽和觀察去聯想、猜想、歸納；（4）樹立批判意識，學會反思?！疤骄俊本褪且獙W會與同學交流合作。在探究的過程中應注意做到：（1）要明確探究的問題；（2）在“思考”的基礎之上要敢于發(fā)表自己的看法，要以理服人；（3）要學會聽取別人的意見，做到取長補短。（4）經過探究之后要找到解決問題的最佳方法，使自己的知識、能力得到升華?！坝浌P記”很多同學都能做到，但是初一學生一般不會合理記筆記，通常是教師黑板上寫什么學生就抄什么，往往是用“記”代替“聽”和“思”。有的筆記雖然記得很全，但收效甚微。因此我們在作筆記時應該做到：（1）記筆記服從聽講，要掌握記錄時機；（2）記要點、記疑問、記解題思路和方法；（3）記小結、記探究結論、記課后思考題等?？傊?，只有做好了以上幾個環(huán)節(jié)，我們在課堂學習中就會事半功倍，收到良好的學習效果。三、課后復習鞏固及完成作業(yè)方法。 初一學生課后往往容易急于完成書面作業(yè)，忽視必要的鞏固、記憶、復習。以致出現照例題模仿、套公式解題的現象，造成為交作業(yè)而做作業(yè)，起不到作業(yè)的練習鞏固、深化理解知識的應有作用。為此在這個環(huán)節(jié)我們應該每天先閱讀教材，結合筆記記錄的重點、難點，回顧課堂講授的知識、方法，同時記憶公式、定理（記憶方法有類比記憶、聯想記憶、直觀記憶等）。然后獨立完成作業(yè)，解題后再反思。在作業(yè)書寫方面也應注意“寫法”，在書寫格式上要規(guī)范、條理要清楚。為了作到這一點，我們應該注意訓練自己的一些做作業(yè)的能力：（1）將文字語言轉化為符號語言的能力；（2）將推理思考過程用文字書寫表達的能力； （3）正確地由條件畫出圖形的能力。這里可以根據教師的示范有意的模仿、訓練，逐步養(yǎng)成良好的書寫習慣，這對今后的學習和工作都十分 重要。 四、小結或總結方法。 在進行單元小結或學期總結時，初一學生容易依賴老師，習慣教師帶著復習總結。我認為從初一開始就應培養(yǎng)我們學會自己總結的習慣。一般要做到以下幾點：一看：看書、看筆記、看習題，通過看，回憶、熟悉所學內容；二列：列出相關的知識點，標出重點、難點，列出各知識點之間的關系，這相當于寫出總結要點；三做：在此基礎上有目的、有重點、有選擇地解一些各種檔次、類型的習題，通過解題再反饋，發(fā)現問題、解決問題，還應學會將所學的知識應用于生活，用來解決一些實際的生活問題。最后歸納出體現所學知識的各種題型及解題方法。應該說學會總結是數學學習的最高層次。作為初一年級的學生，我們只有掌握了科學的學習方法，并將這些方法應用于平常的學習當中，我們就一能學好數學?！尽芭c學生談數學”之十一】由一個學生課堂錯誤想到的羅田縣三里畈中學 晏紹安題記：教學分式的基本性質分式的分子、分母同時乘以（或除以）同一個整式（不為0），分式的值不變。通過與分數的基本性質類比感悟性質后，教學例題：填空YX（ ）X2（X0），一個同學填的是Y2。有幾位同學小聲嗤笑起來，犯錯誤的同學很沒面子。我說：“你犯了一個很好的錯誤?！蔽彝蝗幌氲剑簩W生好的錯誤是一種可遇而不可求的教學資源。課堂教和學的效果反饋信息有兩個來源：一是課堂上學生的解答；二是課后的作業(yè)。課后作業(yè)的反饋信息較為滯后，課堂上學生解答的反饋信息更及時一些。因此藝術地處理課堂上學生的錯誤，是及時調整教學的需要，也是對學生進行的挫折教育。一、 讓學生辨錯，教師不要輕易定論錯誤。課堂上學生愿意解答問題除了主動學習知識外，從心理上講是一種表現欲望和信心、興趣的體現,渴望得到同學特別是教師的肯定和表揚，有的錯誤是學生創(chuàng)新和探索而導致的。教師的否定在某種意義上說是一種傷害，教師所應該做的就是迅速而又很客氣地請同學坐下。其他同學如果沒有發(fā)現錯誤教師就用“仔細看看”之類的話語進行提醒。同學互相指出的錯誤更容易被接受，即使犯錯誤的同學不服氣也會和其他的同學一起認真聽其原因。這樣全體同學參與，互相辨駁、探討，就會越辨越明，找到錯誤原因，共同提高。二、 讓同學糾錯，教師不要輕易動手改錯。定論錯誤以后，全體同學渴求的是如何改正錯誤才能使解答正確？一般情況下學生首先想到的是