§1 常微分方程的基本概念.doc

第十三章 常微分方程簡(jiǎn)介本章介紹微分方程的有關(guān)概念及某些簡(jiǎn)單微分方程的解法。微分方程是包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。由微分方程能夠求出未知函數(shù)的解析表達(dá)式，從而掌握所研究的客觀現(xiàn)象的變化規(guī)律和發(fā)展趨勢(shì)。因此，掌握這方面的知識(shí)，用之分析解決問題是非常重要的。由于在大多數(shù)情況下，微分方程很難求出初等解（即解的形式是初等函數(shù)）。那么，就需要研究解的存在理論，借助計(jì)算機(jī)求出微分方程的數(shù)值解。本章的內(nèi)容，僅僅包含常微分方程的一些最初步的知識(shí)，特殊的一階和部分二階微分方程的初等解法；最后一節(jié)討論微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用。1 常微分方程的基本概念像過去我們研究其他許多問題一樣，首先通過具體實(shí)際例子來引入微分方程的概念。1.1 兩個(gè)實(shí)例例1.1 設(shè)某一平面曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處橫坐標(biāo)的2倍，且曲線通過點(diǎn)，求該曲線的方程。 解 平面上的曲線可由一元函數(shù)來表示 設(shè)所求的曲線方程為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題意得 （這是一個(gè)含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程）。另外，由題意，曲線通過點(diǎn)，所以，所求函數(shù)還滿足。從而得到 為了解出，我們只要將(1.1)的兩端積分，得，我們說 對(duì)于任意常數(shù)都滿足方程(1.1)。 再由條件(1.2)，將代入，即 。故所求曲線的方程為。再看一個(gè)例子：例1.2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)以勻加速度作直線運(yùn)動(dòng)，且時(shí)。求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系。解 這是一個(gè)物理上的運(yùn)動(dòng)問題。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系為。則由二階導(dǎo)數(shù)的物理意義，知，這是一個(gè)含有二階導(dǎo)數(shù)的方程。再由題意，因此，應(yīng)滿足問題要解這個(gè)問題，我們可以將(1.3)兩邊連續(xù)積分兩次，即， (1.5)，即 ， (1.6)其中為任意常數(shù)。由條件(1.4)，因?yàn)?，代?1.6)，得；再由，代入(1.5)，得。故得 為所求。 下面我們將通過分析這兩個(gè)具體的例子，給出微分方程的一些基本概念。1.2 微分方程的基本概念總結(jié)所給出的兩個(gè)具體的例子，我們看到：(1) 例1.1的式和例1.2 的式都是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等式（例1含一階導(dǎo)數(shù)，例2含二階導(dǎo)數(shù)）；(2) 通過積分可以解出滿足這等式的函數(shù)；(3) 所求函數(shù)除滿足等式外，還滿足約束條件（例1中的式和例2 中的式）（初始條件：例1有一個(gè)初始條件，例2有兩個(gè)初始條件）。由此，我們得到如下的概念。1 微分方程的概念 定義1.1 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。注 (1) 方程中強(qiáng)調(diào)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，它是反映未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程在微分方程中未知函數(shù)幾自變量可以不單獨(dú)出現(xiàn)，但必須出現(xiàn)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(2) 微分方程中的自變量由問題而定。如的自變量是，的自變量是，的自變量是。(3) 微分方程中只含一個(gè)自變量的叫常微分方程。例如，是常微分方程；不是微分方程；是偏微分方程（本章不研究）。2 微分方程的階定義1.2 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階。例如，是一階微分方程；是二階微分方程；是三階微分方程；是一階微分方程；一般地，是一階微分方程的一般形式是 ， (1.7)其中F是個(gè)變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程(1.7)中，是必須出現(xiàn)的，而等變量則可以不出現(xiàn)。例如階微分方程中，除外，其他變量都沒有出現(xiàn)。如果能從方程(1.7)中解出最高階導(dǎo)數(shù)，得微分方程 。 (1.8)以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且(1.8)式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。3 微分方程的解定義1.3 如果把某函數(shù)代入微分方程，能使方程成為恒等式，那么稱此函數(shù)為微分方程的解。確切地說，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，那么函數(shù)就叫做微分方程(1.7)在區(qū)間上的解。例如 是的解； 也是的解； 是的解； 也是的解。定義1.4(通解、特解) 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。確定了通解中任意常數(shù)，就得到了微分方程的特解。如 ，是通解。，是特解。注 (1) 微分方程的解有三種形式：顯式解 或；隱式解 由方程確定的函數(shù)關(guān)系（通積分）；參數(shù)方程形式的解 。 (2) 微分方程的通解：是指含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解。(3) 微分方程的通解也不一定能包含它的一切解。如的通解為，但也是微分方程的解，但它不包含在通解中，因?yàn)闊o論取何值都得不到。 4 微分方程的初始條件 在例1.1中，當(dāng)時(shí)，通常記為或； 在例1.2中，當(dāng)時(shí) 即，當(dāng)時(shí)即這些用來確定任意常數(shù)的條件為初始條件。一般來說，一階微分方程有一個(gè)初始條件；二階微分方程有兩個(gè)初始條件與； 二階微分方程有個(gè)初始條件。5 初值問題求微分方程滿足初始條件的特解，稱為初值問題。如例1.1中的、；例1.2中的、。一般一階微分方程的初值問題記作； (1.9) 二階微分方程的初值問題記作 。 (1.10) 6 微分方程解的幾何意義 常微分方程的特解的圖形為一條曲線，叫做微分方程的積分曲線； 微分方程的通解的圖形是以為參數(shù)的曲線族，且同一自變量對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)處處切線的斜率相同。初值問題(1.9)的解的幾何意義是微分方程通過點(diǎn)的那條積分曲線。初值問題(1.10)的解的幾何意義是微分方程通過點(diǎn)且在該點(diǎn)的斜率為的那條積分曲線。例1.3 驗(yàn)證：函數(shù) (1.11)是微分方程 (1.12)的解。解 求出所給函數(shù)(1.10)的導(dǎo)數(shù) (1.13)把 及 的表達(dá)式代入方程(1.11)得+函數(shù)(1.10)及其導(dǎo)數(shù)代入方程(1.11)后成為一個(gè)恒等式，因此函數(shù)(1.10)是微分方程(1.11)的解。例1.4 已知函數(shù)(1.10)當(dāng) 時(shí)是微分方程(1.11)的通解，求滿足初始條件的特解。解 將條件“ 時(shí)，”代入(1.10)式得。將條件“ 時(shí)，”代入(1.12)式，得。把的值代入(1.10)式，就得所求的特解為。練習(xí)13.11選擇題：（1）微分方程是_。（A）齊次的；（B）線性的；（C）常系數(shù)的；（D）二階的。（2）微分方程的通解是_。（A）； （B）；（C）； （D）。（3）下列方程中是一階微分方程的有_。（A）； （B）（C）； （D）。（4）下列等式中是微分方程的有_。（A）； （B）；（C）； （D）。2填空題：（1）方程是_階微分方程。（2）方程的通解是_。（3）方程的通解是_。（4）方程的通解是_。（5）設(shè)，是線性微分方程的兩個(gè)特解，則該方程的通解為_。（6）函數(shù)，所滿足的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為_。3指出下列微分方程的階數(shù)：（1）； （2） ；（3） ； （4） 。4驗(yàn)證微分方程后所列的函數(shù)是否為微分方程的解，是否是通解（1） ，； （2） ，； （3）