（水聲工程專業(yè)論文）沉底目標(biāo)回波檢測(cè)方法研究.pdf

哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t t h i st h e s i sr e v o l v e st od e t e c tt h et a r g e te c h ot e c h n o l o g y t ol a u n c ht h er e s e a r c h b e c a u s et h er e v e r b e r a t i o ni st h em a i n b a c k g r o u n dd i s t u r b a n c ef o rd e t e c t i o nt h et a r g e to n t h eb o t t o m ，m u l t i a n a l y s i sr e v e r b e r a t i o nd i s t u r b a n c ea n di t sc h a r a c t e r i s t i c ，a n da i m e da t t h er e v e r b e r a t i o n st h en o n - s t a b i l i t ya n ds t r o n g l yc o l o r e d ，p r o p o s e do n em e t h o dw h i c h d on o tn e e dt h ep r i o r ik n o w l e d g et od e t e c tt h et a r g e te c h ou n d e rt h er e v e r b e r a t i o n b a c k g r o u n d _ ao r d e rb e s td e t e c t i o nm e t h o d ，t op a r t i t i o np r e w t f i t ec o p y - c o r r e l a t i o n d e t e c t i o nm e t h o d u s i n gg l r ( g e n e r a l i z e dl i k e l i h o o dr a t i o ) t oc o u n tt h es t a t i s t i cd i s t a n c e ，n a m e l y t h eg e n e r a l i z e dl i k e l i h o o dr a t i os t a t i s t i c s d i s t a n c e ，i sr e a s o n a b l ep a r t i t i o nt ot h e r e v e r b e r a t i o nd a t a ，a f t e rp a r t i t i o n i n g ，t h en e i g h b o r i n gt w os e c t i o n so fr e v e r b e r a t i o nd a t a m a yb ep a r t i a ls t e a d y e s t a b l i s h e st h ea rm o d e lt oe a c hs e c t i o no f r e v e r b e r a t i o n sd a t a , c a l c u l a t e st h ea rm o d e l st h ep a r a m e t e ru s i n gt h el e v i n s o na l g o r i t h m ，c a l c u l a t e st h e p o w e rs p e c m no ft h i ss e c t i o no fr e v e r b e r a t i o n sd a t 丑t h u ss t r u c t u r ep r e w “t e df i r n u m e r a lf i l t e r , t ow h i t et h ep r e c e d i n gs e c t i o no fr e v e r b e r a t i o n sd a t aa n dt r a n s m i t t i n g s i g n a l w h i t ep r o c e s s i n g ，n a m e l ye s t i m a t e dt h ek t hs e c t i o n s p o w e rs p e c t r u m ，t h e n a c c o r d i n gt ot h ek t hs e c t i o n sp o w e rs p e e t l x l ms 1 t u c 嘛a c t sw h i t e df i l t e rt ow h i t e d p r o c e s s et ot h ek + ls e c t i o na n dt h et r a n s m i t t i n gs i g n a l a f t e rw h i t e dp r o c e s s i n g ，w h i t e d t r a n s n r i t t i n gs i g n a la n dt h ew h i t e dr e v e r b e r a t i o nd a t as e g m e n tm a k ec o p y c o r r e l a t i o n p r o c e s s i n g ，i ft h i s s e c t i o no fd a t ah a st h et a r g e te c h o ，t h e np o s s i b l y a p p e a r st h e c o r r e l a t i o np e a k a tl a s tc o u n tt h i ss e c t i o no fd a t aa v e r a g ep o w e r , m a k e sn o r m a l i z e d p r o c e s s i n gt ot h i ss e c t i o no f d a t a r e p e a ta b o v ep r o c e s s i n gs t e p s ，u n t i lt h el a s ts e c t i o no f r e v e r b e r a t i o n sd a t a o nt h eb a s i so ft h i sm e t h o da n dd e t e c t i o np r i n c i p l e ，a n da c c o r d i n gt oa c t u a l s i t u a t i o n ，j o i n i n gb a n d p a s sf i l t e r , b e a mf o m a i n gp r e t r e a t m e n tm e t h o da n ds oo n , i n t e g r a t ed e t e c t i o ns y s t e mf o rd e t e c t i o nt h et a r g e te c h oo nt h eb o t t o m ，a n du s et h e s o r w a r em e t h o dt or e a l i z ei t f o rc o n f i r m i n gt h i sm e t h o d ，m a k el a k ee x p e r i m e n ti no c t o b e r ，0 4 t h e nu s et h i s 哈爾濱_ r ：程大學(xué)碩士學(xué)位論文 。i l l l l l l l l l 。j i i i i i i i ；# 日；= ；目；_ _ _ z _ _ i i i i i i i i i i i i i ；i i i i i i # z i i _ i i i _ d e t e c t i o ns y s t e mt oc a r r yo np o s t p o s i t i o n e dp r o c e s s i n gt o e x p e 血n e n t a ld a t a ，a n d c o m p a r i n gt h ep r e w h i t ec o p y - c o r r e l a t i o nd e t e c t i o np r o c e s s i n gr e s u l tw i t ht h eb e a m f o r m i n gr e s u l t ，a s , w e l l a sc o m p a r i n gt h i sm e t h o d p r o c e s s i n gr e s u l t w i t hd i r e c t c o p y - c o r r e l a t i o np r o c e s s i n gr e s u l ta f t e rb e a mf o r m i n g ，t h ec o m p a r i s o nr e s u l tp o w e r f u l l y s u p p o r t st h ep a r t i t i o n e dp i e - w h i t e dc o p y - c o r r e l a t i o nd e t e c t i o nm e t h o dv a l i d i t ya n di t s g o o dp e r f o r m a n c e ， k e y w o r d s ：t a r g e te c h o ；p a r t i t i o n ；p r e - w h i t e d ；c o p y - c o r r e l a t i o n 哈爾濱工程大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：本論文的所有工作，是在導(dǎo)師的指導(dǎo) 下，由作者本人獨(dú)立完成的。有關(guān)觀點(diǎn)、方法、數(shù)據(jù)和文 獻(xiàn)的引用已在文中指出，并與參考文獻(xiàn)相對(duì)應(yīng)。除文中已 注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已 經(jīng)公開發(fā)表的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè) 人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到 本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 作者( 簽字) ： 緣五聾 日期：年月日 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 引言 第1 章緒論 水下兵器中水雷的性價(jià)比最高且作戰(zhàn)時(shí)使用方便，它被廣泛的裝備于各國(guó) 海軍。水雷以對(duì)港口、航道、航線的布雷封鎖，阻止船舶進(jìn)出港口和登陸作 戰(zhàn)、切斷航線為目的，在屢次戰(zhàn)爭(zhēng)中長(zhǎng)盛不衰。即使在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，水雷的 作用依然不可忽視，例如美國(guó)對(duì)伊拉克的作戰(zhàn)中，武備處于劣勢(shì)的伊拉克海 軍使用m e s a 沉底水雷迫使美國(guó)龐大的航空母艦作戰(zhàn)群后退幾百海里。因此， 各國(guó)海軍愈來(lái)愈重視反水雷，尤其是沉底水雷和掩埋雷。 1 2 探測(cè)沉底目標(biāo)的研究概況 我國(guó)從六十年代開始就有不少單位相繼展開了探測(cè)和識(shí)別水雷目標(biāo)的工 作并且取得了不少成績(jī)，但是，反水雷的研究還是相對(duì)落后，即使是國(guó)外同 行對(duì)反水雷的研究也比水雷的研制相對(duì)落后。到了八十年代，我國(guó)又開始了 對(duì)沉底水雷的探測(cè)與識(shí)別的研究，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，有了一定的技術(shù)儲(chǔ)備。 然而，探測(cè)水雷，特別是探測(cè)沉底水雷，仍是水聲工作者面臨的艱巨任務(wù)。 探測(cè)沉底目標(biāo)具有與探測(cè)其它水下目標(biāo)不同的特點(diǎn)，主要表現(xiàn)在： ( 1 1 目標(biāo)反射強(qiáng)度小 ( 2 ) 目標(biāo)靜止不動(dòng)，無(wú)法用多普勒效應(yīng)進(jìn)行探測(cè) ( 3 1 目標(biāo)體積小，形狀多樣化 ( 4 ) 海底混響干擾強(qiáng) 因此，在探測(cè)沉底水雷時(shí)將面臨很多困難，如海底地質(zhì)未知、要求作用 距離遠(yuǎn)、信噪( 混) 比低，尤其是主動(dòng)聲納工作在淺海水域，混響干擾更為 嚴(yán)重，大大增加了探測(cè)的難度，對(duì)整個(gè)探測(cè)系統(tǒng)提出了更高的要求。這就要 求制作低頻寬帶窄波束大功率的換能器基陣，更先進(jìn)的空、時(shí)信號(hào)處理方法， 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 和更佳的波形設(shè)計(jì)，來(lái)增大作用距離，有效的抑制混響干擾提高信混比。 早期的水聲信號(hào)處理系統(tǒng)主要是由放大、變頻、濾波和檢波各部分組成， 四十年代開始研究相關(guān)處理，五十年代出現(xiàn)了極性相關(guān)器的時(shí)間壓縮技術(shù)， 六十年代開始出現(xiàn)譜分析、相關(guān)匹配濾波和多波束形成等技術(shù)。隨著信號(hào)處 理算法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理承擔(dān)了水聲信號(hào)處理的全部任務(wù)。 在現(xiàn)代的信號(hào)處理技術(shù)中，波束形成已構(gòu)成信號(hào)處理的一部分。波束形 成器的作用是進(jìn)行空間濾波，獲取抗噪聲和抗混響的空問(wèn)增益，并測(cè)定目標(biāo) 方位。本論文也把波束形成作為目標(biāo)回波檢測(cè)系統(tǒng)的必要組成部分。 由于混響是目標(biāo)檢測(cè)的主要背景干擾，所以選擇聲納信號(hào)應(yīng)以抗混響為 出發(fā)點(diǎn)。通過(guò)分析信號(hào)的模糊度函數(shù)可知寬帶信號(hào)探測(cè)靜止或低速目標(biāo)具有 抗混響效果，因此，線性調(diào)頻信號(hào)是本檢測(cè)方法首選的信號(hào)形式。 隨著聲納技術(shù)的提高和信號(hào)處理理論的快速發(fā)展，以及建立了混響數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì)模型，探測(cè)沉底物體的手段和信號(hào)處理方法均得到了發(fā)展，如參量聲納 技術(shù)( 參量聲納就是利用高強(qiáng)度聲波在水中的非線形傳播特性，在波束重疊 區(qū)域互作用產(chǎn)生低頻差頻聲波，優(yōu)點(diǎn)是波束窄、海底混響小、頻帶寬、 有較高的空間分辨力) 旁掃多波束聲納技術(shù)，還有合成孔徑聲納技術(shù)。合成 孔徑聲納在較遠(yuǎn)的距離，如大于l k m 處具有很高的分辨能力( 1 0 c m ) ，且在方 位向具有恒等向分辨力，因此對(duì)海底精確描繪，其性能大大優(yōu)于旁掃聲納。 最近有文獻(xiàn)報(bào)道，獵雷聲納有向旁視+ 參量+ 合成孔徑聲納技術(shù)方向發(fā)展，取 得了一些令人矚目的成果。在信號(hào)處理方面，多種信號(hào)分析處理方法各顯其 能，匹配檢測(cè)理論的擴(kuò)展應(yīng)用，提出了一種次最佳檢測(cè)器，并將接收信號(hào)分 成小段，段與段之間認(rèn)為是局部平穩(wěn)的，每小段利用自回歸模型對(duì)混響時(shí)間 序列進(jìn)行建模，然后利用估計(jì)的a r 系數(shù)構(gòu)造白化濾波器，對(duì)混響進(jìn)行預(yù)白化 處理，并將白化后的數(shù)據(jù)用于匹配濾波檢測(cè)器檢測(cè)。時(shí)頻分析濾波，提出了 一種時(shí)頻空聯(lián)合探測(cè)方法，它利用合成孔徑聲納數(shù)據(jù)，先作匹配濾波，再做 時(shí)頻濾波，時(shí)頻濾波是該方法的核心，巧妙的完成了聲特性提取功能?？臻g 處理是一種非相干合成孔徑處理，這種方法的檢測(cè)能力優(yōu)于合成孔徑聲納技 術(shù)。利用改進(jìn)的時(shí)間反轉(zhuǎn)法使聲能在有界面的情況下聚焦，提出了一種改進(jìn) 的時(shí)問(wèn)反轉(zhuǎn)法即換元接收的時(shí)間反轉(zhuǎn)法，這時(shí)界面反射波和目標(biāo)反射波相干 疊加的相干峰將消失，因此它可以實(shí)現(xiàn)在有界面時(shí)目標(biāo)是否存在的鑒別。有 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 學(xué)者還研究了水下波導(dǎo)中聲波時(shí)間反轉(zhuǎn)自適應(yīng)聚焦問(wèn)題，分別在半無(wú)界流體 介質(zhì)和置于半無(wú)界剛性介質(zhì)之上的流體層中開展了時(shí)間反轉(zhuǎn)法的理論和實(shí)驗(yàn) 研究工作。理論上采用射線近似方法分析了時(shí)間反轉(zhuǎn)的聲場(chǎng)特性，實(shí)驗(yàn)上采 用實(shí)驗(yàn)實(shí)模擬實(shí)驗(yàn)。理論和實(shí)驗(yàn)證明，聚焦增益可以提高1 2 d b 以上。跳頻編 碼信號(hào)等在探測(cè)沉底物體的效果也是很好的。最近幾年，關(guān)于水中混響的混 沌屬性分析的研究，初步證明了混響也具有混沌的屬性，可以預(yù)見混沌檢測(cè) 在抗混響研究中將發(fā)揮巨大的作用，即用非線性動(dòng)力學(xué)的理論和方法分析實(shí) 驗(yàn)水池混響、湖水混響以及海洋混響的時(shí)間序列，分析結(jié)果表明混響可在低 至4 維的動(dòng)力學(xué)空間中展現(xiàn)不自交的動(dòng)力學(xué)軌道，相近軌道按指數(shù)規(guī)律擴(kuò)展 或斂聚，其最大l y a p u n o v 指數(shù)是正的且小于0 3 。該結(jié)果為混h 向的非線性動(dòng) 力學(xué)建模和基于混沌的非線性處理奠定基礎(chǔ)。還有學(xué)者采用5 種不同的底質(zhì) 的湖底混響數(shù)據(jù)探討了高頻混響具有的混沌特性，該結(jié)果有助于提高混響背 景下信號(hào)檢測(cè)性能。 1 3 混晌及混響信號(hào)特性 1 3 1 混響 海洋本身及其界面包含著許多不同類型的不均勻性，其尺度小至灰塵那 么大的粒子，它使深海成為藍(lán)色，大至海水中的魚群，和海底上的峰谷與海 底山脈。這些不均勻性形成介質(zhì)物理上的不連續(xù)性，因而就阻擋照射到它上 面的一部分聲能，并把這部分聲能再輻射出去。這種聲的再輻射稱作散射， 而來(lái)自所有散射體的散射成分的總和稱為混響。混響聲聽起來(lái)像一陣長(zhǎng)的、 慢慢變?nèi)醯摹㈩潉?dòng)的聲響，它緊跟在主動(dòng)式聲納的發(fā)射脈沖之后。海中產(chǎn)生 混響的散射體有三種不同的類別。一種散射體存在于海水本身或體積之中， 它引起體積混響。海洋中海洋生物和非生物體以及海水本身的不均勻結(jié)構(gòu)就 是產(chǎn)生體積混響的散射體的一些實(shí)例。海面混響是由位于海面上或海面附近 的散射體產(chǎn)生的，而海底混響是在海底上或海底附近的散射體所引起的。后 面兩種混響，由于散射體的分布是二維的，也叫作界面混晌。探測(cè)沉底物體 哈爾濱工程大學(xué)碩十學(xué)位論文 時(shí)，海底混響是主要的背景干擾。 海底是一種有效的反射體和散射體，它能把投射到海底的聲波能量，從 新分配到海底上面的海洋中。由文獻(xiàn) 6 】可知，海底混響的等效平面波的混響 級(jí)的表達(dá)式為： 月l 。= 1 0 l o g ( r 一- 。4 s sp ( 口，妒) 6 徊，妒) d a ( 1 - 1 ) 其中，以是海底的散射面元，b ( o ，妒) 和b 1 ( 臼，妒) 是換能器的發(fā)射和接收指向 性函數(shù)，i 。為單位距離處的軸向強(qiáng)度，k 為單位面元一米處的反向散射強(qiáng)度， r 是距換能器的距離?？傻?6 1 d a ：c tr d ( 1 - 2 ) 2 式中，d c p 是以對(duì)環(huán)心所張的平面角，則混響級(jí)為 r l ，= 1 0 l o g 了i os 。等，6 ( 口，妒) 6 。( 臼，礦) d 妒) ( 1 - 3 ) 。 一0 當(dāng)換能器的聲軸于散射界面之間的夾角大時(shí)很難解析的計(jì)算這個(gè)積分。在一 般的通常的聲納中，當(dāng)聲軸對(duì)散射面稍有偏斜時(shí)，散射面差不多相應(yīng)于換能 器指向性圖0 = 0 的平面，則 地_ 1 0 l o g 母等r 2 j 6 ( o ，瑚。( 0 ，州咖 ( 1 _ 4 ) 所以等價(jià)的理想指向性圖的平面角為 p ( o ，妒) 6 ( o ，妒) = f l x l 卻= 。 ( 1 _ 5 ) 因而 甄= 1 0 1 0 9 專虬了c 2 ( 1 - 6 )rz 或 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 r ls = s l 一4 0 l o g r + s 。+ 1 0 l o g a 4 ：竺中r ( 1 _ 7 ) 2 面積a 等于處在理想束寬中內(nèi)散射強(qiáng)度為s 。的海底面積。圖1 1 中圖示了一 個(gè)向下的換能器接收混響面積為a 的海底混響，換能器卜方的p 點(diǎn)是圓環(huán)的 中心，在任意時(shí)刻只有寬度為巾r 、長(zhǎng)度為。的那部分a 產(chǎn)生混響回波。s ， 隨入射聲柬與海底界面之間的夾角0 而變。 圖1 1 接收海底混響示意圖 由式( 1 - 6 ) 式( 1 - 7 ) 可知，發(fā)射信號(hào)的脈寬越小、基陣束寬越窄、指向性 越尖，則接收到的混響干擾就越小，信混比就越高，然而增加發(fā)射信號(hào)強(qiáng)度 并不能提高信混比。提高信混比的物理途徑只能是基陣的孔徑要大，通頻帶 要寬，發(fā)射信號(hào)是窄脈沖。另外，當(dāng)海底地形或海底底質(zhì)的不同時(shí)產(chǎn)生的混 響強(qiáng)度也有所不同，且隨著入射角度和頻率的變化，混響的強(qiáng)度也隨之變化， 這些在文獻(xiàn) 6 】中均有詳細(xì)。 哈爾濱丁程大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 3 2 混響信號(hào)特性分析 1 混響的概率密度分布 一般的混響過(guò)程r ( t ) 的離散模型可表示為： r ( r ) = ；( r ) ( 1 - 8 ) j = i 其中是r 時(shí)刻接收點(diǎn)接收的散射信號(hào)個(gè)數(shù)，( r ) 是描述第i 個(gè)散射元信號(hào) 形成的一個(gè)函數(shù)，：( t ) 可表示為： ；( f ) = 口。e ( t 。) c ( t f 。，s ，)( 1 - 9 ) 其中口，是表示第f 個(gè)散射體散射性質(zhì)的隨機(jī)變量，妒( f ，) 是描述信號(hào)在海水介 質(zhì)中傳播時(shí)衰減情況的一個(gè)確定函數(shù)，c ( r ) 是描述發(fā)射信號(hào)的一個(gè)函數(shù)，s ，是 元散射信號(hào)的形狀所確定的隨機(jī)變量，一般情況s ，可忽略。 把發(fā)射信號(hào)設(shè)為： c ( f ) = 。( f ) c o s 0 9 0 f + ( ，) 】( 1 1 0 ) 把式( 1 - 9 ) 、( 1 - 1 0 ) 代入式( 1 8 ) ： r ( r ) = 甜，旭) d ( r t c o s o ) 。( f - t ，) + 妒( f - i ，) 】 ( 1 - 1 1 ) 其中a 作為表示第i 個(gè)散射體散射性質(zhì)的隨機(jī)變量，完全可以認(rèn)為是相互獨(dú) 立的，由中心極限定理，可得出結(jié)論：任一時(shí)刻的r ( t ) 值應(yīng)該服從高斯分布。 而混響作為聲納主動(dòng)工作方式下特有的現(xiàn)象，應(yīng)該屬于“窄帶信號(hào)處理”范 疇，聯(lián)系隨機(jī)信號(hào)分析理論，可以得到如下結(jié)論1 15 1 ：混響信號(hào)的包絡(luò)應(yīng)該服 從瑞利分布，相位服從均勻分布。 ( 1 ) 、經(jīng)典理論認(rèn)為i ”】，混晌瞬時(shí)值r ( t 1 滿足高斯分布規(guī)律： 朋，= 志唧( - 籌 r e r 哈爾濱工群人學(xué)碩士學(xué)位論文 式中：a 。2 混響信號(hào)瞬時(shí)值方差 ，z ?；祉懶盘?hào)瞬時(shí)值均值 ( 2 ) 、經(jīng)典理論認(rèn)為 15 1 ，混響信號(hào)的包絡(luò)滿足瑞利分布，在此將混響信 號(hào)表示為準(zhǔn)正弦信號(hào)： r ( t ) = e ( t ) c o s 2 n f i + 妒( r ) 】 ( 卜1 3 ) 式中：f a ( t 1 混響信號(hào)的瞬時(shí)相位 e ( f ) 混響信號(hào)的包絡(luò) 則混響信號(hào)包絡(luò)分布的理論公式為： f ( e ) ：之e x p f _ 等1 e o ( 1 - 1 4 ) o e l2 0 e 式中：盯。2 混響信號(hào)包絡(luò)的方差 ( 3 ) 、經(jīng)典理論認(rèn)為1 1 5 1 ，混響信號(hào)的瞬時(shí)相位滿足均勻分布： f ( c p ) = = l _ 一口妒療 ( 1 - 1 5 ) 2 混響的相關(guān)特性 水聲信道可以看作一聲源與接收水聽器之間的濾波器，它是一個(gè)時(shí)變、 空變的復(fù)雜的隨機(jī)濾波器，大量的海上測(cè)量表明，水下聲信道可以看作“緩 慢時(shí)變、空變的相干多途信道”。混響信道同樣作為隨機(jī)空變信道，研究其時(shí) 間、空間的相關(guān)性，對(duì)于波形選擇、混響信道特性分析、基陣設(shè)計(jì)、基陣的 信混比增益都有重要的意義。 對(duì)于窄帶隨機(jī)信號(hào)，其相關(guān)特性主要表現(xiàn)在信號(hào)的包絡(luò)變化上，一般以 信號(hào)包絡(luò)隨時(shí)間起伏的快慢來(lái)表征信號(hào)的相關(guān)性?；祉懶盘?hào)作為聲納主動(dòng)工 作方式下的特有現(xiàn)象，在發(fā)射信號(hào)為c w 和窄帶l f m 脈沖的條件下，混響 也可認(rèn)為屬于“窄帶隨機(jī)信號(hào)”范疇。 文獻(xiàn)【1 5 給出了混響信號(hào)包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)一定義： 蹦護(hù)等鬻 m 舊 n 。( ) 一“? l f ” 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 式中：a ( 0 混晌信號(hào)包絡(luò) 其中f ) 表示隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均，在各態(tài)歷經(jīng)條件下，用時(shí)間平均來(lái)代 替統(tǒng)計(jì)平均。文獻(xiàn) 1 5 給出了就混響信號(hào)包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)的詳細(xì)理論推導(dǎo)與 論述，就其結(jié)論性的東西總結(jié)一下： ( 1 ) 、對(duì)于發(fā)射正弦填充信號(hào)所引起的混響，其相關(guān)特性可以按發(fā)射信號(hào) 包絡(luò)的形狀單值地確定。設(shè)發(fā)射的正弦填充信號(hào)為： s ( 0 = a ( t ) s i n 慨t + 妒( f ) j ( 1 - 1 7 ) 則其包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)為： 州z 專陋( f ) 叩出 c o s 咿 o - 1 8 ) 式中：丁發(fā)射信號(hào)脈沖寬度，m s 量級(jí)。 對(duì)于不同的包絡(luò)形式有不同的時(shí)頻分辨率，即廠a t 1 4 z ，因此相應(yīng) 信號(hào)的有效時(shí)寬就取決于相應(yīng)的包絡(luò)形狀，等于t = k 廠，其中k 是不同形 式包絡(luò)所對(duì)應(yīng)的時(shí)頻寬度積常數(shù)。對(duì)于矩形包絡(luò)的正弦填充信號(hào)，時(shí)頻積為 廠a t = 1 ，所以有結(jié)論：矩形包絡(luò)的正弦填充信號(hào)的自相關(guān)時(shí)間半徑等于信 號(hào)帶寬的倒數(shù)，即信號(hào)的脈寬，即： r 。( r ) “( 1 一i f i t ) 2 l r l t ( 1 1 9 ) ( 2 ) 、對(duì)于發(fā)射線性調(diào)頻脈沖信號(hào)時(shí)，混響信號(hào)包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)的一般表 示式： 心( r ) = 睪e 呻) o + r ) c 。s ( 。協(xié)。x 2 1 z - + 2 - 2 凈】( 1 - 2 0 ) 其中a c o 。，t m 分別表示頻偏和頻率變化速度的參量。當(dāng)滿足時(shí)頻寬度的乘積 遠(yuǎn)大于1 的條件時(shí)，即國(guó)t 1 ，其中緲，t 分別表示信號(hào)的帶寬( 即頻偏) 和脈寬。有結(jié)論： 刪“籌 ( 1 _ 2 1 ) 可以證明，這時(shí)相應(yīng)的混響包絡(luò)的相關(guān)時(shí)間為： f k 出 ( 1 2 2 ) 其中k 是與調(diào)頻律和包絡(luò)形式有關(guān)常數(shù)。特別有當(dāng)a c o - t 5 時(shí)，混晌包絡(luò)的 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 相關(guān)區(qū)間或混響信號(hào)相關(guān)函數(shù)的包絡(luò)的區(qū)間為： f 丌國(guó) 或 f 1 ( 1 - 2 3 ) 結(jié)論：混響瞬時(shí)值的自相關(guān)函數(shù)與信號(hào)自相關(guān)函數(shù)很接近；混響包絡(luò)的 時(shí)間相關(guān)半徑與發(fā)射信號(hào)的帶寬成反比。 1 4 論文工作內(nèi)容介紹 本文以在淺?；鞚崴蛱綔y(cè)沉底目標(biāo)為背景，圍繞沉底目標(biāo)回波檢測(cè)技 術(shù)展開研究，研究?jī)?nèi)容具有很強(qiáng)的工程實(shí)用性。由于混響是檢測(cè)沉底目標(biāo)時(shí) 的主要背景干擾，基于混晌特性的分析，針對(duì)混響干擾的非平穩(wěn)特性、強(qiáng)有 色特性，提出一種次最佳的檢測(cè)沉底目標(biāo)回波的檢測(cè)方法分段預(yù)白化拷 貝相關(guān)檢測(cè)方法 2 1 4 1 。該方法通過(guò)分段預(yù)白化處理，使混響干擾轉(zhuǎn)化為局 部平穩(wěn)的白噪聲，然后與白化后的發(fā)射信號(hào)作拷貝相關(guān)，最后通過(guò)歸一化及 平方包絡(luò)檢波來(lái)檢測(cè)目標(biāo)回波。 本論文共由六章組成。第1 章緒論主要介紹探測(cè)沉底目標(biāo)的研究概況以 及探測(cè)沉底目標(biāo)的主要干擾混響及其特性。第2 章信號(hào)的廣義似然比分 段，討論了采用g i r 分段技術(shù)，把接收數(shù)據(jù)合理分段，使相鄰兩段是局部平 穩(wěn)的，即相鄰兩段的統(tǒng)計(jì)特性非常相似。第3 章主要討論了分段預(yù)白化處理 方法，涉及到a r 模型譜估計(jì)和構(gòu)造f i r 白化濾波器等。第4 章推導(dǎo)了最佳檢 測(cè)器，最后將分段預(yù)白化處理方法和最佳檢測(cè)器，以及波束形成和帶通濾波 等預(yù)處理方法，集成為沉底目標(biāo)回波檢測(cè)系統(tǒng)。第5 章采用該檢測(cè)方法處理 松花湖實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將處理結(jié)果與其它檢測(cè)方法比較，驗(yàn)證了該方法的有效性 及其良好的性能。根據(jù)對(duì)該檢測(cè)方法及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果進(jìn)行分析，總結(jié)出 它優(yōu)點(diǎn)和不足以及提出以后的研究重點(diǎn)和方向。 9 哈爾濱t 程大學(xué)碩士學(xué)位論文 第2 章信號(hào)的廣義似然比分段 本文提出的目標(biāo)回波檢測(cè)方法的主要思路是，將接收信號(hào)根據(jù)一定的分 段原則分成若干段，使相鄰兩個(gè)信號(hào)段是局部平穩(wěn)的，估計(jì)第女段數(shù)據(jù)的功 率譜，進(jìn)而利用該功率構(gòu)造白化濾波器去白化第k + l 段的信號(hào)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為在白噪聲中的信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題，由此可見分段預(yù)白化處理的關(guān)鍵前提是如何 合理的分段。本章將討論如何將接收信號(hào)合理分成若干段，這里“合理”的 意思是相鄰兩段信號(hào)是局部平穩(wěn)的。下面介紹廣義似然比( g l r ，g e n e r a l i z e d l i k e l i h o o dr a t i o ) 分段技術(shù)。 2 1 g l r 統(tǒng)計(jì)距離 g l r 分段技術(shù)是基于線性預(yù)測(cè)理論的一種計(jì)算兩段信號(hào)的統(tǒng)計(jì)距離的測(cè) 量技術(shù)，即對(duì)兩段信號(hào)( 檢驗(yàn)信號(hào)和參考信號(hào)) 建立a r 模型進(jìn)而估計(jì)a r 模 型的參數(shù)，再利用估計(jì)出來(lái)的a r 模型的參數(shù)和信號(hào)的自協(xié)方差計(jì)算這兩段信 號(hào)的統(tǒng)計(jì)距離，來(lái)定量的判斷這兩段信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征的相似性。g l r 距離的 定義如下【5 1 ： d c l r = 2 n i nc y ；一n ( 1 n o - ：+ i n o - ；) ( 21 ) 其中，是數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，盯。、a 。是參考信號(hào)方差和檢驗(yàn)信號(hào)方差，盯。是聯(lián)合 方差。詳細(xì)推導(dǎo)如下： 設(shè)有兩離散時(shí)間序列x 。( 參考信號(hào)) 、x 。( 校驗(yàn)信號(hào)) ，長(zhǎng)度均為n 。兩 者相互獨(dú)立，則對(duì)應(yīng)它們的自回歸模型為： 產(chǎn), a r i x r ( 一f ) ：盯。( 女) ( 2 2 ) p d s ，h ( 女一f ) = “s ( j i ) ( 2 3 j = 0 a r 和a s 是a r 模型的參數(shù)向量，p 是a r 模型的階數(shù)，“r 、“s 是正態(tài)分布 哈爾濱 ：程大學(xué)碩士學(xué)位論文 的隨即過(guò)程。x 。和x 。的協(xié)方差矩陣分別為： c r = c s = c r 0 0c r 0 1c r 0 2c r o 口 c r i oc r i lc r l 2c 剮口 c r p o c 砌l c r p 2 e r p p c s 0 0 c s i o c s o i c s i i c s 0 2 c s l 2 c s o p c s l p c oc s p lc s p 2 c s p p ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中心，= 志釜鼬卸小嘲 = o ，1 ，2 p ( 2 1 6 ) = 。志蘭i 鼬_ f ) 州h ) u = o ，1 ，2 p 7 ) x 。和x 。的聯(lián)合似然函數(shù)為： f _ ( 盯。4 7 7 ) 圳( c r s 壓) - 7e x p ( 一差出隔一霹n 呼ts 剛 8 ) 其中n j ：w 一，記，為任意參數(shù)設(shè)定時(shí)的最大似然度，則，?？捎孟率酱_定 f l = ( 盯r 瓦) 圳( o - s2 y 瓦- ) 圳e x p ( - n7 ) ( 2 9 ) 1 0 為兩段自回歸信號(hào)完全相同時(shí)，p , p = ，2 盯。時(shí)的最大似然度， 則，?？捎孟率酱_定： ，。= ( o - 。磊) “e x p ( 一) ( 21 0 ) 哈爾濱工程人學(xué)碩士學(xué)位論文 其中o - ；= a t c ，口，勺為聯(lián)合的協(xié)方差矩陣，有下面公式給出： c 。= ( 7 c r + 7 c s ) ( 2 ) ( 2 - 1 1 ) 最大似然比由下式給出： ， 丑= 魯= 仃：2 ”一d 多盯， ( 2 1 2 ) f i 定義兩段信號(hào)( 參考信號(hào)和檢驗(yàn)信號(hào)) 的統(tǒng)計(jì)距離測(cè)度為： d = 一2 1 n a ( 21 3 ) 把式( 2 - 1 2 ) 代入( 2 - 1 3 ) 得： d = 2 n l n c r ：一( j v l n c r ；4 - n l n a ；) ( 2 1 4 ) 式( 2 - 1 4 ) 就是g l r 統(tǒng)計(jì)距離的計(jì)算公式。當(dāng)d = o 時(shí)表示兩個(gè)信號(hào)完全相 同，d 值很小時(shí)表示兩個(gè)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性相似，反之d 值很大時(shí)表示兩個(gè)信 號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性差異很大。 2 2g l r 統(tǒng)計(jì)距離的計(jì)算【， 由定義和推導(dǎo)過(guò)程可知，要想得到兩段信號(hào)的統(tǒng)計(jì)距離d 值必須先求得 盯。、盯。的估計(jì)值，而要想估計(jì)、盯。則需要知道兩段信號(hào)的協(xié)方差c 。、c 。 以及a r 模型的參數(shù)向量a 。和以及階數(shù)p 。協(xié)方差c 。、g 可由式( 2 6 ) 、 式( 27 ) 、式( 2 - 4 ) 、式( 2 - 5 ) 求得。由文獻(xiàn) 5 知，p 值的大小對(duì)計(jì)算結(jié) 果影響不大，因此為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間和減小計(jì)算量可以適當(dāng)取p 值小一些( 如 p = 2 ) 。a r 模型的參數(shù)向量n 。和詠由下面的方法求得【5 1 ： a r 模型為 設(shè)口= 臼l 以2 ， q x ( k 一滬a u ( k ) ( 2 1 5 ) i = 0 口0 q d 2 = 嘲 ( 2 1 6 ) 哈爾濱工程大學(xué)碩一i ：學(xué)位論文 c 為x ( ) 的協(xié)方差矩陣，即 c = 舯。志。蚤? f ) “) c _ 凈 ， 印d c i o c 2 0 c p o ，d c 0 p c 1 p c p c 【lc 1 2 c 2 】c 2 2 ( 2 1 7 ) ( 2 一1 8 ) 由于在矩陣論中早已證明下式成立： 口= 一d1 d( 2 - 1 9 ) 整理得計(jì)算統(tǒng)計(jì)距離d 。的算法如下： 1 分別求出參考信號(hào)和校驗(yàn)信號(hào)的協(xié)方差矩陣c 。、c 。 2 分別取子矩陣d 。、d 。、d 。、d 。求得壕= 一環(huán)1 d 。和風(fēng)= 一l d 。， 從而得到a r 參數(shù)向量= 左 、= 盎 。 3 計(jì)算盯；= a ：c ?？凇?，盯；= 口；c s 岱s 。 4 由c p = ( 。c 。+ 。c s ) 2 n ?？捎?jì)算聯(lián)合協(xié)方差矩陣，得到 盯；= a g e ，口。，其中為參考信號(hào)的a r 模型參數(shù)。 5 t t g g l r 的統(tǒng)計(jì)距離，d o l r = 2 n l n o - ：一n ( 1 n o - ；+ l n 盯；) 。 2 3g l r 分段 對(duì)實(shí)際混響信號(hào)數(shù)據(jù)( 長(zhǎng)度1 0 0 m s ) 分段，分段長(zhǎng)度等于發(fā)射信號(hào)的長(zhǎng) 度( 2 ，5 m s ) ，計(jì)算出每相鄰兩段的統(tǒng)計(jì)距離如。 呈 他 田 駝 c c c l = “ 哈爾濱上程大學(xué)碩士學(xué)位淪文 圖2 1 對(duì)混響信號(hào)數(shù)據(jù)分段，并計(jì)算分段后相鄰兩段的g l r 統(tǒng)計(jì)距離 由上圖可知，g l r 分段后，混響干擾數(shù)據(jù)共分成了4 0 段，前三段信號(hào)的 統(tǒng)計(jì)距離很大，說(shuō)明他們的統(tǒng)計(jì)特性差異很大，而后面的各段之間的d 。值 均小于2 ，所以相鄰兩段之間基本符合準(zhǔn)平穩(wěn)化假設(shè)，即可以認(rèn)為相鄰兩段 之間是平穩(wěn)的。如果g l r 分段后每?jī)啥沃g的d 。值都很大，則我們需要改 變檢驗(yàn)窗或參考窗的長(zhǎng)度，直到每?jī)啥沃g的d 。值小于設(shè)定的門限值( 不 一定每個(gè)d 。值都小于門限值，只要他們的平均值d = 擊d 。，小t f q 限 v1 值就可以了) 。但要注意，改變窗的長(zhǎng)度時(shí)還要考慮回波信號(hào)的完整性，即不 要把回波信號(hào)分到兩段里，例如我們可以采用1 2 重疊分段。由于分段與預(yù) 白化處理關(guān)系緊密，所以本文中采用g l r 分段技術(shù)對(duì)混響信號(hào)分段的具體方 法將在下一章中詳細(xì)討論。 2 4 本章小結(jié) 采用g l r 分段技術(shù)，合理的對(duì)混響數(shù)據(jù)進(jìn)行分段局部平穩(wěn)化，即分段后 相鄰兩段數(shù)據(jù)可認(rèn)為是平穩(wěn)的，為構(gòu)造白化濾波器鋪平了道路。 哈爾濱1 一程大學(xué)碩士學(xué)位論文 第3 章預(yù)白化處理 前一章對(duì)混響信號(hào)進(jìn)行了g l r 分段處理，相鄰兩段混響信號(hào)之間是局部 平穩(wěn)的，從而就可以對(duì)每段信號(hào)建模，利用a r 模型譜估計(jì)方法估計(jì)出第k 段信號(hào)的譜，進(jìn)而構(gòu)造白化濾波器對(duì)第k + l 段信號(hào)進(jìn)行預(yù)白化處理，把有色 背景噪聲轉(zhuǎn)化為白噪聲，最后與白化后的發(fā)射信號(hào)作互相關(guān)處理，達(dá)到目標(biāo) 回波檢測(cè)的目的。所以預(yù)白化處理是本檢測(cè)方法的關(guān)鍵。本章分2 部分：一 采用a r 模型譜估計(jì)方法估計(jì)功率譜，二構(gòu)造白化濾波器進(jìn)行預(yù)白化處理。 3 1a r 模型譜估計(jì) 31 1a r 模型譜估計(jì) 由文獻(xiàn) 9 1 7 可知，a r 模型為 則a r 功率譜為 p x ( h ) = 一d k x ( n 一| i ) + “( ) ( 3 1 ) k = o s ，( 令：= e ，并將式( 3 2 ) 寫成 s 。( z ) = 盯“ 2 麗 ! ：盥駕盯： a ( z ) a ( z 。) ia ( z ) 1 2 。 注意到，a ( ：m ( ：一，) ：窆蘭q 巳：一，：1 1 + 圭q = 一i ，( 其中= 1 ) 。 i = 0 ，= 0j = l 這樣a r 譜可由下式構(gòu)成 ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 哈爾濱丁程大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 3 - 4 ) 顯然，只要將白回歸參數(shù)n ，( f = 1 , 2 p ) 求出可得到a r 信號(hào)模型的功率譜。 為求得a r 信號(hào)模型的參數(shù)d ，( f - 1 , 2 p ) ，可用x ( 一m ) 乘式( 3 1 ) 兩 邊，并取數(shù)學(xué)期望值，得 r ，( m ) 一吼r ，沏 取m = 1 ，p 將式( 3 4 ) 寫成矩陣形式，得 r ，( o ) r ，( 1 ) r ，( 一1 ) r ，( 0 ) r ，( p 一1 ) r ，( 一p 一2 ) r ， r ， 肼 一黲 ( 3 5 ) ( 3 - 6 ) 式( 3 - 6 ) u u 做尤拉沃克( y u l e w a l k ) 方程，是僅與a r 參數(shù)有關(guān)的線性方 程組。實(shí)際應(yīng)用中，真實(shí)自相關(guān)函數(shù)是不知道的，只能由有限個(gè)采樣數(shù)據(jù)序 列x f 1 來(lái)估計(jì)。如果用自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值來(lái)代替上面方程中的自相關(guān)函數(shù) 求解上式可得a r 參數(shù)估值a k ，k = 1 , 2 ，p 。 3 1 2a r 模型參數(shù)的計(jì)算 a r 模型譜估計(jì)的核心問(wèn)題是求解尤拉一沃克方程中的各參數(shù)。求解參數(shù) a 。是很困難的，因?yàn)檫@要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算，當(dāng)矩陣維數(shù)比較大時(shí)，其運(yùn)算 很麻煩，并且階數(shù)每增加一階，矩陣增加一維，需要全部重新計(jì)算。萊文森 ( l e v i n s o n ) 遞推算法對(duì)尤拉沃克方程提供了一種高效算法。下面詳細(xì)介紹萊 文森遞推算法 8 1 。 萊文森遞推算法可遞推求解尤拉沃克方程中的各參數(shù)，即m 階的參數(shù) 可由且4 ，階遞推求得。在介紹算法前，先簡(jiǎn)要介紹一下預(yù)測(cè)濾波器和預(yù)測(cè)誤 一 q 如； ri二iiiii。jiiiiiiii址 d 勁 ”； 卜卜 b 哈爾濱工程大學(xué)碩十學(xué)位論文 差濾波器。 a r 模型譜估計(jì)實(shí)際上是參數(shù)模型的辨識(shí)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題和線性預(yù)測(cè)理 論緊密相連。所湄預(yù)測(cè)是由隨即序列x ( n ) 過(guò)去和現(xiàn)在的m 個(gè)值來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè) 取樣值x ( n + 1 ) 。此時(shí)預(yù)測(cè)的估值可表示為 m x + 1 ) = 一n x ( n + l t ) ( 3 - 7 ) k = l 必須合理的選擇系數(shù)n y 的值，是預(yù)測(cè)均方誤差達(dá)到最小值。系數(shù)a 確定 了一個(gè)m 階f i r 數(shù)字濾波器，稱為數(shù)字預(yù)測(cè)濾波器，如圖3 1 所示?？芍` 差為 f p ( n ) = x ( n ) - x ( n ) = e 以1 x ( n t ) ( 3 8 ) k = 1 式中a 0 = 1 。使預(yù)測(cè)均方誤差達(dá)到最小，即令誤差功率p 為最小 p ：研e ( n ) z _ e l ( x ( ) 一；( ”) ) z 】 ( 3 9 ) 圖3 1 數(shù)字預(yù)測(cè)誤差濾波器 根據(jù)正交原理，估值均方誤差達(dá)到最小的條件是誤差與輸入數(shù)據(jù)列x ( n m ) 正交，即滿足 e e ( n ) x ( n 一，”) = e 【( x ( n ) 一x ( n ) ) x ( 一， ) 】= 0 m = 1 , 2 - m 或?qū)懽?哈爾濱t 程大學(xué)碩士學(xué)位論文 r ，= 一n 1 r ( m 一) 將上式寫成矩陣的形式 r ，( 0 ) r ，( 1 ) r ，( 1 ) r ，( 0 ) r ，( m 一1 ) r ，( m 一2 ) r 。( m 一1 ) r 。( m 一2 ) r ，( o ) r ，( 1 ) 尺，( 2 ) r ，( m ) 最小預(yù)測(cè)誤差功率為 m 砭等= 口：= e 1p ( n ) 1 2 = e p ( ) ( x ( h ) + d r ( n 一) ) = i m = e 【p ( n ) x + ( 蝴= e 【( x ( h ) + a r ( n 一女) ) x + ( n ) ( 3 1 0 ) = r ，( o ) + 口p r 。( 1 ) + 口r 。( 2 ) + + 口r ，( m ) ( 3 1 1 ) 這里只搿的上標(biāo)m 是m 階預(yù)測(cè)誤差濾波器的最小預(yù)測(cè)誤差功率a 將方程 ( 3 - 1 0 ) 左邊移到右邊，合并整理后得 r ，( 1 )r ，( 1 ) r ，( 2 )r ；( o ) r ，( m ) r 。( 吖一1 ) r ，( m ) 1 r x ( m 一1 ) 卜d ： l j r ，( o ) j l 一“拶 把式( 3 - 1 1 ) 代入，即添一行，得出 r 。( o ) r ，( 1 ) r 。( 2 ) l r 。( m ) 或?qū)懗?r 。( 1 ) r ，( o ) r ，( 1 ) r ：( 2 ) r 。( 1 ) r ，( o ) r ，( 吖1 ) r ，( m 一2 ) 一p 。r o ，。 0 0 o ( 3 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) 摯) 足m 塒：j 礎(chǔ)”o ( 3 - 1 4 ) 善?？秞 ( m 一2 ) 2 1 苫 聊! ：，2 ，i m 式中a 。( m = 1 。式( 3 - 1 3 ) 或式( 3 1 4 ) 是預(yù)測(cè)誤差濾波器方程式。 ；彤 一 一 一 riiiiiijii。ii址 d o 毛 脅肛；刪 哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 下面根據(jù)預(yù)測(cè)誤差濾波器的概念來(lái)詳細(xì)討論菜文森遞推算法。對(duì)于m 1 階的預(yù)測(cè)誤差濾波器可以用m 個(gè)方程來(lái)表示 m薈-1“；”_1)r，(，”一七)=尸raiink l p “；”。1 1 ，( ，”一| i ) = 1 。 = o 上式的矩陣形式為 r ，( 0 ) r ，( 1 ) r 。( 2 ) r 。( - 1 ) r ，( 0 ) r ，( 1 ) r 。( 一2 ) r ，( 一1 ) r ，( 0 ) l r ，( m 一1 ) r ，( m 一2 ) r ，( m 3 ) 此式通常稱為前向預(yù)測(cè)誤差濾波器方程。 珊= o ( 3 1 5 ) m = 1 , 2 m 一1 聰?shù)? 0 0 ： o ( 3 1 6 ) 為得出遞推算法，對(duì)式( 3 1 6 ) 進(jìn)行如下三次運(yùn)算。 ( 1 ) 在式( 3 - 1 5 ) 兩邊取復(fù)共軛，并注意到只黑。是正實(shí)數(shù)，且 r ：( m ) = r 。( 一m ) 。 ( 2 ) 用m 一1 一代替原式中的k ，則得到 r 。( m 一( m 1 一女) ) = r ，( 女一( m 一1 一m ) ) ( 3 ) 用m 代替m 一1 一m ，于是上式變成 r ，( k 一( m 一1 一女) ) = r 。