（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的方法研究及其機(jī)器實(shí)現(xiàn).pdfVIP

摘要 計(jì)算機(jī)代數(shù)又稱符號(hào)或代數(shù)計(jì)算( 或數(shù)學(xué)機(jī)械化) ，它研究用計(jì) 算機(jī)取代人類的大腦去處理各種復(fù)雜的符號(hào)計(jì)算和任何種類數(shù)學(xué)運(yùn) 算過(guò)程，也就是讓數(shù)學(xué)的研究走向機(jī)械化的過(guò)程。這一研究課題旨 在讓人類將大量繁瑣的計(jì)算問(wèn)題交給計(jì)算機(jī)去處理。從而使人類從繁 瑣的計(jì)算工作中解放出來(lái)，而將自己的聰明才智與創(chuàng)造能力貫注到更 有意義的腦力勞動(dòng)上去。伴隨著微分方程在現(xiàn)代科技、工程領(lǐng)域中日 益顯著的重要作用，與此同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)微分方程的求 解問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜卻又是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，尋找簡(jiǎn)便可行的計(jì)算方法在 微分方程模型求解的實(shí)際應(yīng)用和研究中的重要作用勿容置疑。 本課題研究用計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的理論與方法及其機(jī)器 實(shí)現(xiàn)。本文的第三章研究了基于吳特征列方法的雙曲正切函數(shù)展開(kāi) 法，給出了求解比較復(fù)雜的偏微分方程的通用求解過(guò)程；在第三章， 我們?cè)赼 d o m i a n 分解原理的基礎(chǔ)上，給出了利用a d o m i a n 分解原理求 解一類奇異初值問(wèn)題的算法及其m a p l e 環(huán)境下的程序，解決了用手工 過(guò)程求解無(wú)法實(shí)現(xiàn)的求解問(wèn)題：本文的第四章研究了微分代數(shù)方程的 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法和p a d e 級(jí)數(shù)近似解，給出了相應(yīng)的機(jī)器求解過(guò)程，并給 出了p a d e 級(jí)數(shù)的精確解和近似數(shù)值解在同一坐標(biāo)系下的圖形，給出 了二者的逼近比較：第五章作出了將符號(hào)計(jì)算方法和數(shù)值計(jì)算方法結(jié) 合起來(lái)求解微分方程的研究工作，這是求解比較復(fù)雜的偏微分方程的 新途徑。這一章的意義在于引導(dǎo)我們求解復(fù)雜的偏微分方程的新思維 和新視角。本文在求解過(guò)程中，運(yùn)用了計(jì)算機(jī)代數(shù)的有關(guān)知識(shí)并且借 助了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)中的m a p l e 和m a t l a b 軟件求解過(guò)程相對(duì)手工過(guò) 程而言，具有極大優(yōu)勢(shì)。 關(guān)鍵詞計(jì)算機(jī)代數(shù)，微分方程，求解，方法，機(jī)器實(shí)現(xiàn) c o m p u t e ra l g e b r a i sa l s oc a l l e ds y m b o l i co ra l g e b r ac o m p u t a t i o n ( o r m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ) t h es u b j e c tt r i e st od e a lw i t hm a t h e m a t i c si n ac o n s t r u c t i v ea n d a l g o r i t h m i cm a n n e rs o t h a tt h er e a s o n i n gb e c o m e m e c h a n i c a l a u t o m a t c da n ds om u c ha sp o s s i b l ea st ob ei n t e l l i g e n c el a c k - i n gw i t ht h er e s u l to fl e s s e n i n gt h ep a i n s t a k i n gh e a v yb r a i n - l a b o r i ti sa f l e wd e v e l o p m e n to r i e n t a t i o ni nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e rt o c o n d u c ts c i e n c ec a l c u l a t i o nb yc o m p u t e r f o ra l o n gt i m e , t h e m a t h e m a t i c i a n sa n dc o m p u t e rs c i e n t i s t sh a v ed r e a m e do fr e p h e i n g h u m a nb r a i nw i t hc o m p u t e rt oc o n d u c ts y m b o l i co p e r a t i o na n da n yk i n d o fm a t h e m a t i c a lp f o c 骼s ，l e a d i n gt h em a t h e m a t i c st oam e c h a n i z i n g w a y n o w a d a y s , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sp l a y i n gam o r ea n dn l c 嘴 i m p o r t a n tr o l ei nm o d e r ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n gf i e l d ，a n da tt h e , g a m e t i m e ，i np r a c t i c e ，m o s ts o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l ee x t r e m e l y s o p h i s t i c a t e db u tc r u c i a l s e e k i n g f o rt h e s i m p l ea n dp r a c t i c a b l e c o m p u t a t i o nm e t h o di so fg r e a tc o n c e r ni nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o na n d r e s e a r c ho f t h es o l u t i o no f t h em o d e lo f t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , i tr e s e a r c h e st h et h e o r i e s ，m e t h o d sa n dc o m p u t a t i o n m e c h a n i z a t i o no fs o l v i n gt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hc o m p u t e ra l g e b r a k n o w l e d g ea n dc o m p u t e ra l g e b r as y s t e m s w er e s e a r c ht h et a n h - m e t h o d o nt h eb a s eo fw u - c h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ，a n dg i v et h ei n t e r c h a n g e a b l e p r o c e s so fs o l v i n gt h em o r ec o m p l i c a t e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t h et h i r dc h a p t e r f l l r t h e r m o r e , w eg i v et h ea l g o r i t h mo ft h ei n i t i a l p r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hi n c h d cs i n g u l a r i t ya n di t s p r o c e d u r ei nm a p l eb yt h eu s eo ft h em e t h o do fa d o m i a nd e c o m p o s i t i o n a n da c c o m p l i s ht h es o l u t i o nw h i c hi su n a b l et oa c h i e v eb yh a n d - w o r ki n t h et h i r dc h a p t e r w r er e s e a r c ht h ep o w e rs e r i e sa n dt h ep a d es e r i e s a p p r o m m a t e ds o l u t i o no fd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n si nt h ef o u r t h c h a p t e r i tg i v e st h es o l v i n gp r o c e s sb yc o m p u t e ra n di t sf i g u r e so fe x a c t s o l u t i o na n da p p r o x i m a t e dn u m e r i c a ls o l u t i o no fp a d es e r i e su n d e rt h e s a m ec o o r d i n a t ea x i sa n dw eg i v et h ea n a l y s i sa n dc o m p a r i s o na b o u t a s y m p t o t i ca p p r o x i m a t i o no ft h e m i nt h ef i f l hc h a p t e r , w eg i v et h e m e t h o do fs o l v i n gt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h ec o m b i n eu s e o fs y m b o l i ca n dn u m e r i c a lm e t h o d ，w h i c hi san e ww a yo fs o l v i n gt h e e x t r e m e l yc o m p l i c a t e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i t ss i g n i f i c a n c ei st o c o n d u c tu st os e e k i n gf o rt h en e wi d e aa n dn e ws i g h to fs o l v i n gt h e c o m p l i c a t e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ep r o c e s so fs o l v i n g ，w e u s et h ec o m p u t e ra l g e b r ak n o w l e d g ea n dm a p l eo rm a p l es o f t w a r eo f c o m p u t e rs y s t e m s b yt h ec o m p a r i s o n o f s o l v i n g t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hc o m p u t e ra n dh a r t d w o r k , t h et r e m e n d o u sa d v a n t a g ei s o p e n e do u ta n dt h eg r e a tp r a c t i c a lv a l u ei sr e f l e c t e db yt h el l s i n go f c o m p u t e ra l g e b r a k e yw o r d s c o m p u t e ra l g e b r a , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s o l v e ，m e t h o d , c o m p u t a t i o n m e c h a n i z a t i o n 原創(chuàng)性聲明 本人聲明，所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工 作及取得的研究成果。論文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得 中南大學(xué)或其他單位的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料。與我共同工作的 同志對(duì)本研究所作的貢獻(xiàn)，已在論文的致謝語(yǔ)中作了說(shuō)明。 作者簽名：盤(pán)杰絲日期：z 壁年衛(wèi)月笪日 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)說(shuō)明 本人了解中南大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有 權(quán)保留學(xué)位論文，允許學(xué)位論文被查閱和借閱：學(xué)校可以公布學(xué)位論 文的全部或部分內(nèi)容，可以采用復(fù)印、縮印或其他手段保存學(xué)位論文； 學(xué)?？筛鶕?jù)國(guó)家或湖南省有關(guān)部門(mén)的規(guī)定，送交學(xué)位論文。對(duì)以上規(guī) 定中的任何一項(xiàng)，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者簽名：藍(lán)恥導(dǎo)師簽名：盥日期：坐羔l 年月型日 碩士學(xué)位論文第一章緒論 1 1 背景知識(shí) 第一章緒論 計(jì)算機(jī)代數(shù)是一門(mén)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉學(xué)科，又稱符號(hào)與代數(shù)計(jì)算( 或 數(shù)學(xué)機(jī)械化) ，它研究如何使用計(jì)算機(jī)來(lái)表示和處理數(shù)學(xué)概念、符號(hào)和知識(shí)、進(jìn) 行數(shù)學(xué)的計(jì)算和推理、顯示和分析數(shù)據(jù)與圖形等問(wèn)題。計(jì)算機(jī)代數(shù)自2 0 世紀(jì)6 0 年代就得到了深入的研究，并不斷發(fā)展，發(fā)展至今，這門(mén)學(xué)科已經(jīng)相對(duì)成熟，它 的理論、方法、軟件的應(yīng)用都已經(jīng)比較完善。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于與數(shù) 學(xué)計(jì)算有關(guān)的眾多學(xué)科對(duì)現(xiàn)代科研與教學(xué)產(chǎn)生了積極影響。它的發(fā)展始終與代 數(shù)計(jì)算和軟件開(kāi)發(fā)聯(lián)系在一起，并受到物理計(jì)算的激勵(lì)，其主要分支包括計(jì)算機(jī) 代數(shù)與分析、幾何計(jì)算、自動(dòng)推理與編程等符號(hào)計(jì)算強(qiáng)調(diào)構(gòu)造性理論的建立與 發(fā)展、有效算法的設(shè)計(jì)與實(shí)施、軟件系統(tǒng)的研制與開(kāi)發(fā)，以及它們?cè)诳茖W(xué)工程中 的應(yīng)用符號(hào)計(jì)算、自動(dòng)推理與吳文俊院士開(kāi)創(chuàng)并倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)機(jī)械化密切相關(guān) 值得一提的是我國(guó)學(xué)者在符號(hào)計(jì)算的這些領(lǐng)域都有突出的研究成果，證明幾何定 理的吳方法更是我國(guó)的獨(dú)創(chuàng)。 眾所周知，計(jì)算機(jī)科學(xué)和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的快速發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)研究的觀念和 方法已經(jīng)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)中的一個(gè)新的發(fā)展方向就是通 過(guò)計(jì)算機(jī)去傲科學(xué)計(jì)算的研究。在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)工作者都?jí)?想著用計(jì)算機(jī)取代人類的大腦去處理各種復(fù)雜的符號(hào)計(jì)算和任何種類數(shù)學(xué)運(yùn)算 過(guò)程，也就是讓數(shù)學(xué)的研究走向機(jī)械化的過(guò)程。從而計(jì)算機(jī)本身更加智能化，這 就直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的機(jī)械化這門(mén)課題的誕生與發(fā)展。數(shù)學(xué)機(jī)械化這門(mén)研究課題， 就是極力地將各類數(shù)學(xué)問(wèn)題付諸于建設(shè)性的、可行的、算法化的方式來(lái)處理。這 樣便使得數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)械化和自動(dòng)化成為現(xiàn)實(shí)，從而人類可以將大量繁瑣的計(jì)算 問(wèn)題交給計(jì)算機(jī)去處理。數(shù)學(xué)機(jī)械化是人類科學(xué)歷史上的一次重大的改革，它將 人類從繁復(fù)的計(jì)算工作中解放出來(lái)，使人類能將自己的聰明才智與創(chuàng)造能力貫注 到更有意義的腦力勞動(dòng)上去 碩士學(xué)位論文 第一章緒論 1 2 課題來(lái)源及研究意義 微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的學(xué)科，如今它己廣泛應(yīng)用于物 理，化學(xué)，生物，經(jīng)濟(jì)，動(dòng)力系統(tǒng)，工程力學(xué)等領(lǐng)域，研究微分方程的重要性不 言而喻。本文研究用計(jì)算機(jī)代數(shù)去求解微分方程的理論與方法。這一研究課題源 于微分方程應(yīng)用的廣泛性和日益顯著的重要性，很多實(shí)際問(wèn)題的解決都取決于相 應(yīng)的微分方程模型的求解，從而使得微分方程的求解問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中顯得尤為 重要。一方面，微分方程模型的求解在實(shí)際問(wèn)題的研究和應(yīng)用中的重要性日益顯 著，而與此同時(shí)鍰分方程的求解問(wèn)題歷來(lái)又成為困繞人類解決實(shí)際問(wèn)題的一大障 礙，這一切都是因?yàn)楹芏辔⒎址匠痰那蠼膺^(guò)程是很繁瑣和枯燥的，人們迫切需要 找到微分方程的簡(jiǎn)便可行的求解方法。在這方面的研究領(lǐng)域中，大量的科學(xué)工作 者投入其中，并作出了相應(yīng)的貢獻(xiàn)，在此不一一列舉但已有的研究成果很不完 著，很多實(shí)際問(wèn)題仍然無(wú)法得以解決。伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的發(fā) 展。數(shù)學(xué)研究的觀念和方法已經(jīng)發(fā)生了一場(chǎng)空前的變革，過(guò)去很多只能用手工處 理的復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，如今可以通過(guò)利用計(jì)算機(jī)非常便利快捷的解決伴隨著計(jì) 算機(jī)科學(xué)事業(yè)的飛速發(fā)展，過(guò)去的一些利用手工過(guò)程計(jì)算起來(lái)非常繁瑣枯燥的計(jì) 算問(wèn)題，如今交給計(jì)算機(jī)去處理可以非常簡(jiǎn)便快速的解決。因此對(duì)于過(guò)去用手工 過(guò)程計(jì)算，非常煩瑣復(fù)雜的微分方程模型的求解問(wèn)題，如今借助于計(jì)算機(jī)通過(guò)編 制算法程序或利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)褥以便捷的解決成為可能。盡管計(jì)算機(jī)代數(shù)自 2 0 世紀(jì)6 0 年代就得到了深入的研究。也有大量的科學(xué)工作者投身于數(shù)學(xué)的機(jī)械 化的研究工作中( 這方面最突出的貢獻(xiàn)便是我國(guó)吳文俊院士開(kāi)創(chuàng)并倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)機(jī) 械化) ，但數(shù)學(xué)的機(jī)械化是個(gè)需要不斷發(fā)展和成長(zhǎng)的研究領(lǐng)域，過(guò)去的科學(xué)研究 者所作的工作并不完善，需要不斷的補(bǔ)充和完善。在此大環(huán)境下，我們研究了利 用計(jì)算機(jī)代數(shù)去求解微分方程的闖題，通過(guò)利用計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程和手工 過(guò)程求解微分方程的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)利用計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的極大優(yōu) 勢(shì)和巨大潛力。用計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的方法使得過(guò)去無(wú)法求解的復(fù)雜的微 分方程模型，如今借助計(jì)算機(jī)通過(guò)編制算法程序或借助已有計(jì)算機(jī)代數(shù)軟件得以 實(shí)現(xiàn)。過(guò)去利用手工過(guò)程求解非常繁瑣枯燥的微分方程模型如今借助計(jì)算機(jī)代數(shù) 去求解交得非常便捷。用計(jì)算機(jī)代數(shù)去研究微分方程的求解問(wèn)題，使得我們從過(guò) 去枯燥繁瑣的手工計(jì)算中得以解放，很多過(guò)去無(wú)法想象的微分方程模型的求解問(wèn) 題如今得以圓滿解決成為可能。這使我們可以將更多的智慧和精力投諸于更有意 義的工作中去。由此可見(jiàn)，這一研究課題迎合時(shí)代發(fā)展的脈搏，具有重大的現(xiàn)實(shí) 意義和實(shí)際價(jià)值 碩士學(xué)位論文 第一章緒論 1 3 本文的結(jié)構(gòu)、思想方法 本文的研究課題為計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的方法研究及其機(jī)器實(shí)現(xiàn)。全文 正文部分共分五章來(lái)完成課題的論述。第一章為緒論，主要介紹課題的背景知識(shí)、 來(lái)源、研究意義以及全文的結(jié)構(gòu)和研究成果。第二章為預(yù)備知識(shí)，主要介紹了計(jì) 算機(jī)代數(shù)在求解微分方程中運(yùn)用到的相關(guān)知識(shí)和理論，這些知識(shí)分別包含微分方 程的知識(shí)和計(jì)算機(jī)代數(shù)的相關(guān)知識(shí)。有關(guān)微分方程的知識(shí)主要介紹微分方程求解 的理論依據(jù)b a n a c h 空間中解的存在唯一性以及解對(duì)初值的連續(xù)依賴性。有 關(guān)計(jì)算機(jī)代數(shù)部分的知識(shí)主要分紹吳r i t t 特征列方法。從第三章到第五章為 論文的主體部分。第三章介紹計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的符號(hào)計(jì)算方法，主要內(nèi) 容包括用計(jì)算機(jī)代數(shù)知識(shí)吳r i t t 特征列方法來(lái)處理求解微分方程中遇到的難 點(diǎn)，給出了基于吳r i t t 特征列方法求解微分方程的通用求解方法( 雙曲正切 函數(shù)展開(kāi)法) 的求解過(guò)程以及用 d o m i a n 分解方法來(lái)求解一類特殊的奇異初值問(wèn) 題的理論、算法、程序和算例；在第三章中還簡(jiǎn)要介紹了求解微分方程的比較經(jīng) 典的其他方法一用對(duì)稱變換方法求解微分方程的機(jī)器實(shí)現(xiàn)方法。第四章為用計(jì) 算機(jī)代數(shù)求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法，主要內(nèi)容包含用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法和p a d e 級(jí)數(shù)法來(lái)求解微分方程的理論、算法、程序和算例；并給出了相應(yīng)的p a d e 級(jí)數(shù) 近似解和精確解的函數(shù)圖形，作出了相應(yīng)的比較。全文的第五章為用符號(hào)數(shù)值 混合計(jì)算方法來(lái)求解偏微分方程。其主要思想方法是將計(jì)算機(jī)代數(shù)知識(shí)中經(jīng)典的 吳 l i t t 特征列方法和b a n a c h 空間中改進(jìn)的n e w t o n 方法相結(jié)合來(lái)求解比較復(fù) 雜的偏微分方程其思想方法是首先將一個(gè)比較復(fù)雜的偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù) 方程組( 比如利用雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法) ，然后對(duì)代數(shù)方程組中的代數(shù)多項(xiàng)式組， 利用吳r i t t 特征列方法( 又稱作吳r i t t 整序原理) 加以整理變換，求得此 代數(shù)多項(xiàng)式組的特征列多項(xiàng)式組，這時(shí)原偏微分方程的解就等價(jià)于新的特征列多 項(xiàng)式方程組的解。如果待求解的特征列方程組形式比較簡(jiǎn)單( 譬如所含變量較少 的情形) ，那么我們就可以直接求得其精確解，如果待求解的特征列方程組為含 多變量多參數(shù)的復(fù)雜代數(shù)方程組，那么我們就不易求得其精確解。在實(shí)際應(yīng)用中， 在精度允許的范圍內(nèi)，求得難于求解精確解的偏微分方程的近似數(shù)值解已經(jīng)足夠 基于此，符號(hào)一數(shù)值混合計(jì)算求解偏微分方程的方法就很值得我們?nèi)ヌ剿骱脱?究。在己求得原偏微分方程的等價(jià)特征列多項(xiàng)式方程組的基礎(chǔ)上，我們?cè)僖敫?進(jìn)的n e w t o n 迭代法( 在b a n a c h 空間中，對(duì)經(jīng)典n e w t o n 迭代法加以改進(jìn)，從而 經(jīng)典n e w t o n 迭代法中只對(duì)連續(xù)實(shí)值函數(shù)成立的情形拓展到對(duì)抽象函數(shù)也成立) ， 利用b a n a e h 空問(wèn)中改進(jìn)的n e w t o n 迭代法可以求得等價(jià)的待求解的特征多項(xiàng)式方 碩士學(xué)位論文第一章緒論 程組的近似數(shù)值解，通過(guò)對(duì)初值和參數(shù)的調(diào)整，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，就可以求得滿 足精度要求的近似數(shù)值解，( 理論上，精度可以依人為設(shè)想而具任意精確度，但 實(shí)際中限于計(jì)算機(jī)內(nèi)存只能具備有限精確度，但在一般情況下，這已經(jīng)符合要 求) 。從而求得原偏微分方程滿足精度要求的近似數(shù)值解。 1 4 本課題的研究成果和展望 本課題研究用計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程的理論與方法及其機(jī)器實(shí)現(xiàn)。本文 的第三章研究了基于吳特征列方法的雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法，給出了求解比較復(fù)雜 的偏微分方程的通用求解過(guò)程；在第三章，我們?cè)?d o m i a n 分解原理的基礎(chǔ)上， 給出了利用a d o m i a n 分解原理求解一類奇異初值問(wèn)題的算法及其m a p l e 環(huán)境下的 程序，解決了用手工過(guò)程求解無(wú)法實(shí)現(xiàn)的求解問(wèn)題：本文的第四章研究了微分代 數(shù)方程的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法和p a d e 級(jí)數(shù)近似解，給出了相應(yīng)的機(jī)器求解過(guò)程，并給出 了p a d e 級(jí)數(shù)的精確解和近似數(shù)值解在同一坐標(biāo)系下的圖形，給出了二者的逼近 比較：第五章作出了將符號(hào)計(jì)算方法( 吳一r i t t 特征列方法) 和數(shù)值計(jì)算方法 ( b a n a c h 空間中改進(jìn)的n e w t o n 迭代法) 結(jié)合起來(lái)求解微分方程的研究工作，這是 求解比較復(fù)雜的偏微分方程的新途徑。我們還可以嘗試將其他符號(hào)方法和數(shù)值方 法相結(jié)合來(lái)求解微分方程的途徑。這一章的意義在于引導(dǎo)我們求解復(fù)雜的偏微分 方程的新思維和新視角。這一研究方向值得我們?nèi)ヌ剿?。本文在求解過(guò)程中，運(yùn) 用了計(jì)算機(jī)代數(shù)的有關(guān)知識(shí)并且借助了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)中的m a p l e 和m a t l a b 軟 件。求解過(guò)程相對(duì)手工過(guò)程而言，具有極大優(yōu)勢(shì)。本人在文中所作的研究工作只 是一個(gè)初步探索，在計(jì)算機(jī)代數(shù)求解微分方程這一領(lǐng)域中有大量的工作等著我們 去探索和研究。希望有更多的人關(guān)注這一領(lǐng)域的研究工作，為數(shù)學(xué)機(jī)械化事業(yè)作 出應(yīng)用的貢獻(xiàn)。 碩士學(xué)位論文 第二章預(yù)備知識(shí) 第二章預(yù)備知識(shí) 2 1 抽象函數(shù)的積分與微分 本節(jié)簡(jiǎn)要介紹一下抽象函數(shù)的積分與微分，本節(jié)的主要內(nèi)容取之于文獻(xiàn) 1 】， 有關(guān)引理和定理的證明過(guò)程均可在文中找到，從略。 設(shè)e 是b a n a c h 空間自變量為實(shí)數(shù)t 【口，6 】，而函數(shù)值為川) e 的函數(shù)稱 為抽象函數(shù)或向量函數(shù)，記為雄) ：【口，川專e 定義2 1 1 設(shè)川) ：阮6 】斗e f 【口，6 】如果對(duì)任意s o ，存在萬(wàn)= 聯(lián)s ，f ) o 使 得： i 砸+ a f ) 一加) 8 0 使得 l + ( t ) - x ( t 9 1 e ，當(dāng)f ，f e k 西l i f t 1 8 定義2 1 3 設(shè)f ) ：h 6 】e 是一個(gè)抽象函數(shù)，如果存在z e ，使得：對(duì)p ，翻的 任一分法 t ：a = t e - l 0 ，x = 鼢陋) o ，使得 擴(kuò)( 磅一，u ) l 足l x y a ，、慨j ，母。 ) ( 2 2 6 ) 那么： ( i ) 對(duì)任意滿足： 。 艿 t o ( n = r c 0 存在 ，= ，g ) = ，p ，t o ，c ，“) 使得當(dāng)v e e ，i v - u 0 使得對(duì)任意的 f ，= i t 一礦，t + 礦】及相應(yīng)的= x ( r , t o ，“) ，如果9 v 一l ，則在，上存在 x ( t , r , o 滿足 i h f ，f ，v ) - x ( t ，t o ，”) 2 肛一8 ，v t 6 1 ， 2 3 計(jì)算機(jī)代數(shù)相關(guān)預(yù)備知識(shí)：特征列方法 本節(jié)主要介紹計(jì)算機(jī)代數(shù)中的特征列方法，本節(jié)的主要內(nèi)容取之于文獻(xiàn) 2 和 3 ，讀者可以從文獻(xiàn) 2 和 3 中找到更詳盡的討論，相關(guān)定理和引理的證明 在此從略。 2 3 1 三角列與特征列 設(shè)x 是一特征為零的可計(jì)算數(shù)域。我們將交元工排成固定的次序 毛 0 ，稱x ，為多項(xiàng) 式p 的導(dǎo)元，記為i v ( p ) ，d e g ( p , x ，) 為p 的導(dǎo)次數(shù)，- 記為i d e g ( p ) ，f f f f l c ( p , x ，) 為尸的初式，記為加f ( p ) 定義2 3 1 1k x 】中非常數(shù)多項(xiàng)式組成的有限非空有序集合 t = 【石，互，z 】 稱為三角列或非矛盾擬升列，如果烈寫(xiě)) c 釵乏) 幽乃) ， 可將任意三角列寫(xiě)成如下形式 碩士學(xué)位論文 第二章預(yù)備知識(shí) 這里 t = 五“，k ) 瓦( 毛，h ，) 乃瓴，h ，弋，) 0 p l p 2 p ，1 , 只= c b ( 互) h = z ) ，f = l ， ( 2 3 1 ) 設(shè)t 為億3 d 式所示的三角列而p 為任一多項(xiàng)式- 如果d 嗷只善。) ，d e g ( 霉) ， 對(duì)所有的i 成立，則稱p 對(duì)瑙是約化的 將多項(xiàng)式r = p r e m ( p r e m ( p , t , ，靠) ，寫(xiě)，h ) 簡(jiǎn)記為p r e m ( p , t s ) 并稱其為p 對(duì)稻的偽余式。有如下偽余公式 p 妒p = q 石+ 墨 ( 2 3 ，2 ) t = l 這里呸是非負(fù)整數(shù)，而 = 嗍) q 1 司，i = l ， 明顯地在p 對(duì)稻是約化的情形有p r e m ( p , 鰳= p 對(duì)任意多項(xiàng)式組鼢 p r e m ( p s ，卿代表 朋研( 只卿l p 雕 引理2 3 1 2 對(duì)研司中的任意三角列囂與多項(xiàng)式p ，如果p r e m ( p , t s ) = 0 ，則 勱。d ( 稻，打以巒) ) cz e r o ( p ) 一 定義2 3 1 3 三角列t = 【五，瓦，c 】c 足m 稱為非矛盾升列，如果對(duì)所有的 2 f s ，巧對(duì)【五，五，z - 。1 都是約化的每個(gè)單個(gè)非零常數(shù)構(gòu)成的集合都稱為矛 盾升列 定義2 3 1 4 升列c s 稱為非空多項(xiàng)式組儺c 研司的特征列，如果 岱c ( 雕) ，p r e m ( p s ，母) = ( o ) 命題2 3 1 5 設(shè)c 苫= 【c l ，c 】為多項(xiàng)式方程組船c 研胡的特征列，且命 碩士學(xué)位論文第二章預(yù)各知識(shí) = 加f ( c ) 魍= e s u l i , ，j = l ， i s = i n i ( c s ) = “， 則 z e r o ( c s i i s ) c z e r o ( p s ) c z e r o ( c s ) ， z e r o ( p s ) = z e r o ( c s i s ) u u z e r o ( m , ) 在足以及k 的任意擴(kuò)域中成立。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 ，4 ) 2 3 2 秈i t t 算法 定義2 3 ，2 1 稱研司中的非零多項(xiàng)式f 比g 有較低酌秩，記作f g 或f 卜g ， 如果出( f ) o ，且l d e g ( f ) ，且墨，z c ，則稱t 比t 有較高的秩，記作t - t 或t t 。此 時(shí)，也稱t 比t 有較低的秩。如果t - t + 和t t 都不成立，則稱t 和f 具有耜 同的秩，記作t t 這時(shí)有 ，= r 且五，c 考慮任意非空多項(xiàng)式組彤設(shè)m 為所有包含于，s 的升列構(gòu)成的集合。由于每個(gè) 多項(xiàng)式都構(gòu)成升列，所以m a 稱m 的任意極小升列為船的基列，這樣的基列 存在，并按如下步驟進(jìn)行： 從p s = f s t 開(kāi)始，我們?cè)谄渲羞x取一個(gè)秩最低的多項(xiàng)式，譬如盡若 c 如 ) = o ，則【置1 ；足z p s 的一基列否則，命 鷦= f 弱、 罵 擴(kuò)對(duì)琶是約化的 。 如果碼= g ，那么舊】是耶。= p s 的一基列，由旦的選取可知，踴中的所有 多項(xiàng)式都比最有較高的秩?，F(xiàn)設(shè)島為碣中秩最低的多項(xiàng)式，且命 ，墨= f 磣、( 馬) i f 對(duì)馬是約化的 碩士學(xué)位論文 第二章預(yù)備知識(shí) 若颶= a ，則【b 。，b ：】為朋的一基列。否則，從凰中選取一秩最低的多項(xiàng)式島， 并按上述方式繼續(xù)進(jìn)行。由于 幽倔) 幽( 懇) 似馬) o 如果曰是一對(duì)嬲約化的非零多項(xiàng)式， 那么p s u b ) 有一基列，其秩比儺的秩低 1 1 碩士學(xué)位論文 第二章預(yù)備知識(shí) 可將算法c h a r s e t 圖示如下： p s = f s tc 磣c c 堿 uuu b s lb s z b s = c s 磷r s 2 堿= a 其中 飚= p r e m ( f s 。磚，磚) o ) ， f s , “= f s , u r s , ， 且磷是f s , 的基歹i j 。 整序原理：設(shè)c s 為多項(xiàng)式p s 的一個(gè)特征列，則 z e r o ( c s i l p ) cz e r o ( p s ) cz e r o ( c s ) ,l z e r o ( p s i p ) = z e r o ( c s 1 e ) , z e r o ( p s ) = z e r o ( c s l l p ) + 1 3 ，z e ，d ( 船十“) ) j 此式中，l 為c s 中多項(xiàng)式c 的初式，i p 是c s 的初式積此外，c s 的序不會(huì)高 于p s 的序。 2 3 3 多項(xiàng)式組的零點(diǎn)分解 定理2 3 3 1 ( 零點(diǎn)分解定理i ) 存在一個(gè)算法，使得對(duì)于給定的多項(xiàng)式集p s ， 可在有限步內(nèi)得到有限個(gè)升列c s , ，使得 z e r o ( p s ) = u z e r o ( c s j 碼) ，( ，) r e m d r ( p s 岱，) = o ) ( 2 3 5 ) ( ，) 中的每個(gè)毋為相應(yīng)升列珊，的初式積。此外，( 2 3 5 ) 中的每個(gè)，的序都 不高于p s 的序。 定理2 3 3 2 ( 零點(diǎn)分解定理i i ) 存在一個(gè)算法，使得對(duì)于給定的多項(xiàng)式集p s ， 可在有限步內(nèi)計(jì)算出有限多個(gè)升列c s ，滿足 z e r o ( p s ) = uz e r o ( c s ki i s p k ) ，( 們 r e 耐，哦) = o ( 2 3 6 ) ( i i ) 中的每個(gè)餿是相應(yīng)的升列c & 的初式隔離子積。此外，( 2 3 6 ) 中的每 個(gè)c 鼉的序不高于船的序 定義2 3 3 3 上述定理2 3 3 1 和定理2 3 3 2 中給出的升列c 薯組成的集合稱 碩士學(xué)位論文第二章預(yù)備知識(shí) 作p s 的一個(gè)特征序列。 2 3 4 三角列的性質(zhì) 引理2 3 4 1 設(shè)稻為j q z 】中的不可約三角列，而f 為稻的一般零點(diǎn)，那么對(duì)任 意多項(xiàng)式p k z 】，p r e m ( p , 幫) = 0 戶偕) = 0 命題2 3 4 2 對(duì)盟明中的任意不可約三角列t s 與多項(xiàng)式p ， p r e m ( p , t s ) = 0 z e r o ( r s i n i ( 稻) ) c7 塵m ( p 1 在足的擴(kuò)域中成立 推論2 3 4 3 設(shè)l f ，= ( c s ，c s , ) 為研蝴中的任一多項(xiàng)式組戶苫的不可約特征序 列，那么在置的擴(kuò)域中 z e r o ( p s ) = a 緲= a ， z e r o ( p s ) c z e r o ( p ) c ，e m ( p , c s ) = o , v i o f 力 引理2 3 4 4 設(shè)t s = 【五，z 】為赳司中的三角列，p 為任一多項(xiàng)式，而 r = r e s ( p , t s ) ，那么在研蝴中可求得多項(xiàng)式q 和q i ，q r 。使得 q e = q t 寫(xiě)4 - + q r z + 足 命題2 3 4 5 設(shè)t s = i t , ，c 1 ，為研z 】中的正則列，那么對(duì)任意l s i o ，使p r e m ( p 4 , 姆) = o 定理2 ，3 4 7 設(shè)只s 為研司中的任一多項(xiàng)式組，r s , ，r s , 為研明中的不可約三 角列，而c 礴，v s 為研z 】中的多項(xiàng)式組，使得 _ l z e r o ( p s ) = 0 z e r o f f s , ，瀝( 碣) u 【堿) ， t=l 【p r e m ( u ，t s , ) o , v u 呱，l s i e 成立。那么 碩士學(xué)位論文 第二章預(yù)備知識(shí) p r e m ( p s ，囂) = o ) ，1 i p ， z e r o ( p s ) 2u z e r o ( t s f i n i ( t s ) ) 定義2 3 4 8 量【硝中的正則列t s = 哆，霉】稱為簡(jiǎn)單列，如果對(duì)所有 1 i 提出利用吳消元法在符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)上攉導(dǎo)非線性發(fā)展方程的孤 立波解，使得雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法能夠應(yīng)用于更為復(fù)雜或一般的非線性發(fā)展方 程為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下面我們以一個(gè)未知函數(shù)，兩個(gè)自變量的方程為例介紹雙曲正 切函數(shù)展開(kāi)法對(duì)多個(gè)自變量以及方程組的情形，求解步驟完全類似 考慮l + l 維非線性演化方程： f ( u ，虬，k ，”) = o ( 3 0 1 ) 其中f 是變?cè)?，坼，夠。，的多?xiàng)式，方程( 3 0 1 ) 描述孤立波u ( x , t ) 的 動(dòng)態(tài)演化過(guò)程對(duì)給定的f ，如果( 3 0 1 ) 有雙曲正切函數(shù)多項(xiàng)式形式的孤立 波解甜化f ) ，則根據(jù)以下步驟必可求得這些解。 ( 1 ) 孤立波是一種特殊的行波，因此首先對(duì)方程( 3 0 1 ) 施行行波變換 = ( 孝) ，善= k ( x c ”+ 磊 ( 3 0 2 ) 其中k ( 波數(shù)) 和c ( 波速) 為待定常數(shù)，而彘為任意常數(shù)，通?？扇? 通過(guò) 導(dǎo)數(shù)代換 碩士學(xué)位論文 第三章符號(hào)計(jì)算方法 旦_ 詘旦旦一| 旦 瓦寸詘面瓦一露面 可將方程( 3 0 1 ) 化為變量f 的常微分方程 f 似，：盯- ”) = 0 ( 3 0 3 ) ( 2 ) 假設(shè)方程( 3 0 3 ) 具有雙曲正切函數(shù)多項(xiàng)式形式的解，即： 停) = 口i ，r = t a l i h ( 亭) ( 3 0 4 ) t = 0 其中系數(shù)q o = o ，冊(cè)) 為待定參數(shù)。由于雙曲正切函數(shù)丁滿足關(guān)系 ，= 1 一嚴(yán) 故“g ) 的導(dǎo)數(shù)依然是r 的多項(xiàng)式。若以o ( u ( o ) 記甜g ) 關(guān)于r 的多項(xiàng)式的最高冪 次，則d d 善的最高冪次為 o ( = 塒十b p = l 2 ， 而u e d p u d p 的最高冪次為 o ( u 9 吡+ 1 ) 脅+ n g = 嚙肛l 扣 將( 3 0 4 ) 代入方程( 3 0 3 ) ，并平衡所得方程中線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與最高階 非線性項(xiàng)的冪次，可以確定參數(shù)塒，稱m 為孤立波解的階數(shù)。 ( 3 ) 將階數(shù)確定的( 3 0 4 ) 代入方程( 3 0 3 ) ，合并r 的同次冪系數(shù)并令其 為0 ，即得關(guān)于待定參數(shù)q o = o ，m ) ，k , c 的非線性代數(shù)方程組。 ( 4 ) 利用吳消元法求解非線性代數(shù)方程組，確定待定參數(shù)q o = 0 ，r e ) 和后，c 然后返回原來(lái)的變量，最終可以給出方程( 3 0 1 ) 的孤立波解 甜“力= a 。m n h i 【七0 一講) 】 ( 3 0 5 ) 在正常情況下i w 應(yīng)為正整數(shù)，于是由上面的算法可以求出方程( 3 0 1 ) 的 閉合解析解( 3 0 5 ) 。然而在有些情況下，平衡方程( 3 0 3 ) 時(shí)可能出現(xiàn)m 為 分?jǐn)?shù)或負(fù)整數(shù)的情形。在這種情況下可引入變換 塑墮生 卻g ) = v g ) 4 將原方程化為v 偕) 的方程，這里d 表示柳的分母，s s n ( m ) 表示取肼的符號(hào)( 若m 碩士學(xué)位論文 第三章符號(hào)計(jì)算方法 為正整數(shù)，則s g n ( m ) = l d = 1 ) 。這樣，h 刀的階為塒的分子( 一定是正整數(shù)) 對(duì)變換后的方程應(yīng)用上述方法求解，此時(shí)v g ) 的階為掰的分子( 正整數(shù)) 。 3 1 用特征列方法解決微分方程求解過(guò)程中的難題 特征列的概念是j f r i t t 在其有關(guān)微分代數(shù)的工作中對(duì)( 微分) 多項(xiàng)式理 想引進(jìn)的，但r i t t 的概念和方法未曾引起人們的注意2 0 世紀(jì)7 0 年代末，吳文 俊在創(chuàng)立他的幾何定理機(jī)器證明方法時(shí)注意到了r i t t 的工作，并以此作為完善 其機(jī)械化方法的構(gòu)造性代數(shù)工具。吳在理論、算法、效率和實(shí)用上都大大發(fā)展了 特征列方法，并將其用于各種幾何推理和計(jì)算問(wèn)題，從而引發(fā)了大量后續(xù)工作， 大量學(xué)術(shù)論著相繼出現(xiàn)吳方法在于計(jì)算多項(xiàng)式組( 而非理想) 的特征列，它避 免了r i t t 算法中的不可約性限制，因而使得從任意多項(xiàng)式組有效地構(gòu)造特征列 成為可能吳瓶t t 特征列方法有著非常廣泛的用途，可以處理很多復(fù)雜的闞 題。它使得大量繁瑣的符號(hào)計(jì)算闖題的機(jī)械化實(shí)現(xiàn)成為可箍。本文旨在利用吳一 r i t t 特征列方法來(lái)解決求解微分方程中遇到的問(wèn)題 考慮如下k d v 方程 以+ 呶+ 刪。= 0 ( 3 t 1 ) 我們先給出行波變換 越= 材( 孝) 善= k ( x - c 磅+ 磊， ( 3 1 2 ) 在上述行波交換下，方程( 3 1 1 ) 化為： 餓+ l 雄+ (