北師版九年級上冊圖形的相似教案導學案.doc

1 34 第一章第一章 圖形的相似圖形的相似 第一節(jié)第一節(jié) 成比例線段成比例線段 學習目標學習目標 1 認識形狀相同的圖形 2 結合實例能識別出現(xiàn)實生活中形狀相同 大小 位置不同的圖形 3 了解線段的比和比例線段的概念 掌握兩條線段的比的求法 4 理解并掌握比例的基本性質 能通過比例形式變形解決一些實際問題 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 全等的圖形 能夠完全 的兩個圖形叫做全等圖形 2 分式的基本性質 分式的分子與分母 乘 或除 以 的整式 分式的值不 變 學習引入學習引入 一 觀察圖片 體會相似圖形 1 同學們 請觀察下列幾幅圖片 你能發(fā)現(xiàn)些什么 你能對觀察到的圖片特點進行歸納嗎 2 小組討論 交流 得到相似圖形的概念 什么是相似圖形 3 思考 如圖 27 1 3 是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像 它們相似嗎 2 歸納總結 知識點 1 相似的圖形 一般而言 形狀相同 大小 位置不一定相同的圖形就是相似圖形 但是全等圖形也是 相似圖形 注意注意 形狀相同的圖形的對應線段的條數(shù)相同 對應線段長的比值相等 因此可以看做 的把其中一個圖形放大或者縮小一點的倍數(shù)得到另外一個 知識點 2 兩條線段的比 如果選用同一個長度單位量得兩條線段 AB CD 的長度分別是 m n 那么這兩條線段的 2 34 比就是它們的長度之比 即 AB CD m n 或寫成 其中 線段 AB CD 分別叫做這個 n m CD AB 線段比的前項和后項 如果把表示成比值 k 那么 或者 AB k CD n m k CD AB 注意 注意 1 求兩條線段的比的時候兩條線段的長度單位要統(tǒng)一 當長度單位不統(tǒng)一時 要先 化成同一單位長度 2 兩條線段的比是一個沒有單位的正實數(shù) 與所選線段的單位無關 只要選取相同 的長度單位即可 知識點 3 成比例線段 對于四條線段 a b c d 如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比 即 那么這四條線 d c b a 段是成比例線段 簡稱比例線段 注意注意 1 如果 那么 b 叫做 a 和 c 的比例中項 c b b a 2 在比例式 a b c d 中 d 叫做 a b c 的第四比例項 3 成比例線段是有順序的 即 a b c d 是成比例線段 則是 a b c d 知識點 4 比例的性質 1 比例的基本性質 如果 那么 ad bc d c b a 如果 ad bc a b c d 都不等于 0 那么 d c b a 2 等比性質 如果 那么 0 ndb n m d c b a b a ndb mca 例題解析例題解析 例 1 觀察下列圖形 指出 是相似圖形 例 2 線段 AB 被點 M 分成 則 3 2 BM AM MB AB AM MB 例 3 如果的值 求 x y y yx 5 4 3 34 例 4 如圖所示 且 EF BE AD AB AB 10cm AD 2cm BC 7 2cm E 是 BC 的中點 求 EF BF 的長 例 5 已知0 2 fdb f e d c b a 且 1 求的值 2 若 a 2c 3e 5 求 b 2d 3f 的值 fdb eca 綜合練習綜合練習 1 1 2 3 4 在上述各種符號中 形狀相同的符號有幾組 A 一組 B 二組 C 三組 D 四組 2 下面各組中的兩個圖形 是形狀相同的圖形 是形狀不同的圖形 3 矩形 ABCD 中 AB CD 8 AD BC 6 矩形 EFGH 中 EF GH 3 EH FG 4 這兩個矩形 4 ABC 的三條邊之比為 2 5 6 與其相似的另一個 A B C 最大邊長為 18cm 則另兩邊長的和為 4 34 5 兩個相似三角形的一對對應邊長分別為 20cm 25cm 它們的周長差為 63cm 則這兩個三 角形的周長分別是 6 ABC 與 DEF 中 A 65 B 42 D 65 F 73 AB 3 AC 5 BC 6 DE 6 DF 10 EF 12 則 DEF 與 ABC 7 下列所給的條件中 能確定相似的有 1 兩個半徑不相等的圓 2 所有的正方形 3 所有的等腰三角形 4 所有的等 邊三角形 5 所有的等腰梯形 6 所有的正六邊形 A 3 個 B 4 個 C 5 個 D 6 個 8 把 mn pq mn 0 寫成比例式 寫錯的是 A B C D mq pn pn mq qn mp mp nq 8 在一張比例尺為 1 15000 的平面圖上 一塊多邊形地區(qū)的其中一邊長為 5cm 那么這塊 地區(qū)實際上和這一邊相對應的長度應為 A 750cm B 75000cm C 3000cm D 300cm 9 下列說法中 正確的是 A 正方形與矩形的形狀一定相同 B 兩個直角三角形的形狀一定相同 C 形狀相同的兩個圖形的面積一定相等 D 兩個等腰直角三角形的形狀一定相同 10 經歷平移 旋轉 軸對稱變化前后的兩個圖形 A 形狀大小都一樣 B 形狀一樣 大小不一樣 C 形狀不一樣 大小一樣 D 形狀大小都不一樣 11 在平面坐標系中 一個圖形各點的橫坐標 縱坐標都加上或減去同一個非零數(shù) 得到一 組新的對應用點 則連接所得到點的圖形與原圖形形狀 A 不能夠互相重合 B 形狀相同 大小也一定相同 C 形狀不一樣 D 形狀相同 大小不一定相同 12 如圖 四邊形 ABCD 和 EFGH 相似 求角 的大小和 EH 的長度 x 13 已知四邊形 ABCD 與四邊形 A1B1C1D1相似 且 A1B1 B1C1 C1D1 D1A1 7 8 11 14 若四邊形 ABCD 的周長 為 40 求四邊形 ABCD 的各邊的長 5 34 第第 2 2 節(jié)節(jié) 平行線分線段成比例平行線分線段成比例 學習目標學習目標 1 探索理解平行線分線段成比例定理及其推論 2 會熟練運用平行線分線段成比例定理及其推論計算線段的長度 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 成比例線段 2 若 3x 5y 則 x y 若 x y 7 2 則 x x y 學習引入學習引入 一 如圖 任意畫兩條直線l1 l2 再畫三條與l1 l2 相交的 平行線l3 l4 l5 分別量度l3 l4 l5 在l1 上截得的兩條線段 AB BC 和在l2 上截得的兩條線段 DE EF 的長度 AB BC 與 DE EF 相 等嗎 任意平移l5 再量度 AB BC DE EF 的長度 AB BC 與 DE EF 相等嗎 二 問題 AB AC DE BC AC DF 三 歸納總結 知識點 1 平行線分線段成比例定理 兩條直線被一組平行線所截 所得到的對應線段成比例 知識點 2 平行線分線段成比例定理的推論 平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交 截得的對應線段成比例 例題解析例題解析 例 1 如圖所示 直線 l1 l2 l3 AB 3 DE 2 EF 4 求 BC 的 長 例 2 如圖所示 在 ABC 中 點 D E 分別在 AB AC 邊上 DE BC 6 34 若 AD AB 3 4 AE 6 則 AC 等于 例 3 如圖所示 在 ABC 中 AD 平分 BAC 求證 AC AB DC BD 經典練習經典練習 1 如圖 已知直線 a b c 直線 m n 與直線 a b c 分別交于點 A C E B D F AC 4 CE 6 BD 3 則 BF A 7B 7 5 C 8D 8 5 2 如圖 點 F 是平行四邊形 ABCD 的邊 CD 上一點 直線 BF 交 AD 的延長線與點 E 則下列 結論錯誤的是 A B C D 3 如圖所示 ABC 中 DE BC AD 5 BD 10 AE 3 則 CE 的值為 A 9B 6C 3D 4 4 如圖所示 DE BC DF AC AD 4cm BD 8cm DE 5cm 求線段 BF 的長 5 如圖 設 M N 分別是直角梯形 ABCD 兩腰 AD CB 的中點 DE 上 AB 于點 E 將 ADE 沿 DE 翻折 M 與 N 恰好重合 則 AE BE 等于 A 2 1B 1 C 3 2D 2 3 6 如圖 已知 AB CD EF 那么下列結論正確的是 A B C D 7 如圖 直線 l1 l2 l3 另兩條直線分別交 l1 l2 l3于點 A B C 及點 D E F 且 7 34 AB 3 DE 4 EF 2 則 A BC DE 1 2B BC DE 2 3 C BC DE 8D BC DE 6 8 如圖 直線 AB CD EF 若 AC 3 CE 4 則的值是 BF BD 9 如圖 已知 ABC 中 DE BC AD 3 DB 6 AE 2 則 EC 10 如圖所示 一條河的兩岸有一段是平行的 在河的南岸邊每隔 5 米有一棵樹 在北岸邊 每隔 50 米有一根電線桿 小麗站在離南岸邊 15 米的點 P 處看北岸 發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電 線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住 并且在這兩棵樹之間還有三棵樹 則河寬為 米 11 如圖 梯形 ABCD 中 則 EFBC 3 2 GC AG AD GF 12 如圖所示 設 M 是 ABC 的重心 過 M 的直線分別交邊 AB AC 于 P Q 兩點 且 m n 則 PB AP QC AQ n 1 m 1 13 如圖 AB CD AD CE F G 分別是 AC 和 FD 的中點 過 G 的直 線依次交 AB AD CD CE 于點 M N P Q 求證 MN PQ 2PN 14 已知 平行四邊形 ABCD 的對角線交于點 O 點 P 是直線 BD 上任意一點 異于 B O D 三點 過 P 點作平行于 AC 的直線 交直線 AD 于 E 交直線 AB 于 F 若點 P 在線段 BD 上 如圖所示 試說明 AC PE PF 8 34 第三節(jié)第三節(jié) 相似多邊形相似多邊形 學習目標學習目標 1 了解相似多邊形和相似比的概念 2 能根據(jù)條件判斷出兩個多邊形是否為相似 3 掌握相似多邊形的性質 能根據(jù)相似比進行簡單的計算 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 相似圖形 相同 但是 不一定 的圖形 2 多邊形 由若干條 的線段 組成的封閉平面圖形 學習引入學習引入 一 在相似多邊形中 最簡單的就是相似三角形 在 ABC 與 A B C 中 如果 A A B B C C 且 我們就說 ABC 與 A B C 相似 記作 ABC ABC k AC CA CB BC BA AB A B C A B C k 就是它們的相似比 反之如果 ABC A B C 則有 A A B B C C 且 AC CA CB BC BA AB 二 問題 如果 k 1 這兩個三角形有怎樣的關系 9 34 三 歸納總結 知識點 1 各角分別相等 各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形對應邊的比叫做相似比 知識點 2 相似多邊形的性質 對應角相等 對應邊成比例 相似多邊形的判定 邊數(shù)相等 對應角相等 對應邊成比例 判斷兩個多邊形相似 這三個條件缺一不可 例題解析例題解析 例 1 下列判斷中正確的是 A 兩個矩形一定相似 B 兩個平行四邊形一定相似 C 兩個正方形一定相似 D 兩個菱形一定相似 例 2 如圖 ABC DCA AD BC B DCA 1 寫出對應邊的比例式 2 寫出所有相等的角 3 若 AB 10 BC 12 CA 6 求 AD DC 的長 例 3 某機械廠承接了一批焊制矩形鋼板的任務 已知這種矩形鋼板在圖紙上 比例尺 1 400 的長和寬分別為 3cm 和 2cm 該廠所用原料是邊長為 4m 的正方形鋼板 那么焊制一 塊這樣的矩形鋼板要用幾塊邊長為 4m 的正方形鋼板才行 例 4 如圖所示 把一個矩形分割成四個全等的小矩形 要使小矩形與原矩形相似 則原矩 形的長和寬之比為 A 2 1 B 4 1 C D 1 21 2 經典練習經典練習 1 下列各組圖形中 肯定相似的是 A 兩個腰長不相等的等腰三角形 B 兩個半徑不相等的圓 C 兩個面積不相等的平行四邊形 10 34 D 兩個面積不相等的菱形 2 兩個相似多邊形邊長的比為 3 它們的周長差為 4cm 則較大多邊形的周長是 2 A 8cm B 12cm C 20cm D 24cm 3 已知平行四邊形與平行四邊形相似 對應邊 若平行四邊ABCDDCBA 3 AB4 B A 形的面積為 18 則平行四邊形的面積為 ABCDDCBA A B C D 2 27 8 81 2432 4 如圖 正五邊形與正五邊形是相似形 若 則下列結論正ABCDEFGHMN3 2 FGAB 確的是 A B C D MNDE32 MNDE23 FA 23FA 32 5 如圖 在梯形 將梯形分成兩個相似梯形和梯ABCDADEFBCEFABCDAEFD 形 若求的值 EBCF 4 3 BCAD EB AE 6 一個五邊形的各邊長為另一個與它形似的五邊形的最長邊的長為 12 則最短邊 6 5 4 3 2 的長為 A 4 B 5 C 6 D 8 7 在梯形 ABCD 中 AD 平行于 BC AC BD 交于點 O S AOD S COB 1 9 則 S DOC S BOC 8 在比例尺為的地圖上 A B 兩城的距離為 7 2 則 A B 兩城的實際距離是1000000 1cm km 9 四邊形 ABCD 四邊形 與是對應對角線 若則DCBA ACCA 2 3 BAAB DCBAABCD CC 四邊形四邊形 DCBAABCD SS 四邊形四邊形 10 在平行四邊形 ABCD 中 AB 6 AD 4 EF AD 若 ABCD EFDA 求 AE 的長 F G B HM N D A B C E A BC D EF 11 34 11 如圖所示 已知矩形 ABCD 中 AB 1 在 BC 上取一點 E 沿 AE 將 ABE 向上折疊 使 B 點落在 AD 上的 F 點處 若四邊形 EFDC 與矩形 ABCD 相似 則 AD 第四節(jié)第四節(jié) 相似三角形的判定相似三角形的判定 學習目標學習目標 1 理解相似三角形的定義 2 熟練掌握三角形相似的判定方法 并能靈活運用判定方法判斷兩個三角形是否相似 3 能運用三角形相似的判定方法進行有關的計算和證明 4 理解黃金分割的概念 5 能做出線段黃金分割點 并會求滿足黃金分割的線段的長 體會黃金分割的美 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 全等三角形的判定條件 2 相似多邊形 各角 各邊 的兩個多邊形叫做相似多邊形 3 線段的比 如果選用 量的兩條線段 AB CD 的長度分別的 m n 那么就說兩 條線段 AB CD m n 學習過程學習過程 一 討論 什么是相似三角形 知識點 1 相似三角形 三角分別相等 三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形 如圖所示 ABC 與相似 記做 ABC CBA 其中 k 為相似比 CBA k CA AC CB BC BA AB 注意 注意 1 1 對應性 兩個三角形相似時通常把表示對應頂點 的字母寫在對應的位置上 這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊 2 2 順序性 相似三角形的相似比是有順序的 如 ABC 它們的相似 CBA 12 34 比為 k 則 如果寫成 ABC 它們的相似比為 則 CA AC CB BC BA AB k CBA k 因此 AC CA BC CB AB BA k k k 1 3 3 傳遞性 若 ABC 則 CBA CBA CBA ABC CBA 二 探索 如何判斷兩個三角形相似 知識點 2 相似三角形的判定方法 1 兩角分別相等的兩個三角形相似 即 已知 ABC 和 若 A A B B 則 ABC CBA CBA 注意 注意 1 在兩個三角形中 只需找到有兩組角分別相等 就可以判定兩個三角形相似 2 這種方法說明我們不用邊就可以判定兩個三角形相似 相似三角形常見構圖方式相似三角形常見構圖方式 1 平行線型 若 DE BC 則ABCADE 2 相交線型 若 AED B 則ABCAED 3 子母 型 若 ACD B 則ABCACD 知識點知識點 3 3 相似三角形的判定方法 2 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 即 已知 ABC 和 若 A A 則 ABC CBA CA AC BA AB CBA 13 34 注意 注意 通過此法判定三角形相似類似于判定三角形全等中的 SAS 知識點 4 相似三角形的判定方法 3 三邊成比例的兩個三角形相似 即 已知 ABC 和 若 則 ABC CBA CA AC CB BC BA AB CBA 知識點知識點 5 5 黃金分割 如圖所示 點 C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC 若 那么就稱線段 AB 被點 C 黃 AC BC AB AC 金分割 點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點 AC 與 AB 的比叫做黃金 比 記憶口訣 大 全記憶口訣 大 全 小 大小 大 注意 注意 1 由黃金分割的意義可知 BCABAC 2 2 黃金比618 0 2 1 5 AC BC AB AC 3 線段 AB 有兩個黃金分割點 其中一個點 D 靠近 A 點 有 另一點 2 15 AB BD 靠近點 B 有 并且 AD BC AC BD 2 15 AB AC 例題解析例題解析 例 1 依據(jù)下列條件判斷三角形是否相似 若相似請給出證明 若不相似請說明理由 1 ABC 和中 A 40 AB 8 AC 15 A 40 A B 16 A C CBA 30 則 ABC 和是否相似 CBA 2 ABC 和中 B 50 AB 4 AC 3 2 B 50 A B 2 A C CBA 1 6 則 ABC 和是否相似 CBA 3 如圖所示 已知 AC 和 BD 相交于點 E CE AE BE DE 則 ABE 與 DCE 是否相似 4 如圖所示 D 是 ABC 的邊 BC 上的一點 AB 2 BD 1 DC 3 ABD 與 CBA 是否相似 14 34 例 2 已知在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上一點 且 BP 3PC Q 是 CD 的中點 求證 ADQ QCP 例 3 已知 DE BC DF AC AD 4 BD 8 DE 5 求線段 BF 的長 例 4 ABC 是等邊三角形 CE 是外角平分線 點 D 在 AC 上 連接 BD 并延長與 CE 交于點 E 1 求證 ABD CED 2 若 AB 6 AD 2CD 求 BE 的長 例 5 已知在 ABC 中 點 D E F 分別是邊 AB AC BC 上的點 DE BC EF AB 且 AD DB 3 5 那么 CF CB 等于 例 6 ABC 為等邊三角形 D E 分別是 AC BC 上的點 不與頂點重合 BDE 60 1 求 證 DEC BDA 2 若等邊三角形的邊長為 4 并設 DC x BE y 試求 y 與 x 之間的函數(shù)關系式 15 34 例 6 在 ABC 中 AC 8cm BC 16cm 點 P 從點 A 出發(fā) 沿著 AC 邊向點 C 以 1cm s 的速度 運動 點 Q 從點 C 出發(fā) 沿著 CB 邊向點 B 以 2cm s 的速度運動 如果 P 與 Q 同時出發(fā) 那 么經過幾秒 PQC 與 ABC 相似 經典練習經典練習 1 如圖 1 1 若 則 OAC OBD A OB OA 2 若 B 則 OAC OBD 與 是對應邊 3 請你再寫一個條件 使 OAC OBD 2 如圖 2 若 BEF CDF 則 1 2 3 3 如圖 3 已知 A 3 0 B 0 6 且 ACO BAO 則點 C 的坐標為 AC 4 已知 如圖 4 ABC 中 DE BC DF AC 則圖中共有 對相似三角形 5 下列各組圖形一定相似的是 A 有一個角相等的等腰三角形 B 有一個角相等的直角三角形 C 有一個角是 100 的等腰三角形 D 有一個角是對頂角的兩個三角形 6 如圖 5 AB BC CD DE B 90 則 1 2 3 等于 A 45 B 60 C 75 D 90 16 34 4 5 6 7 如圖 6 若 ACD B 則 對應邊的比例式為 ADC 8 如圖 在 ABC 中 CD AE 是三角形的兩條高 寫出圖中所有相似的三角形 簡要說明 理由 9 如圖 D E 是 AB 邊上的三等分點 F G 是 AC 邊上的三等分點 寫出圖中的相似三角 形 并求出對應的相似比 10 如圖 在直角坐標系中 已知點 A 2 0 B 0 4 在坐標軸上找到點 C 1 0 和點 D 使 AOB 與 DOC 相似 求出 D 點的坐標 并說明理由 11 如圖 四邊形 ABCD 是平行四邊形 點 F 在 BA 的延長線上 連接 CF 交 AD 于點 E 1 求證 CDE FAE 2 當 E 是 AD 的中點且 BC 2CD 時 求證 F BCF 12 如圖 等腰直角三角形 ABC 中 頂點為 C MCN 45 試說明 BCM ANC 13 在ABCD 中 M N 為對角線 BD 的三等分點 連接 AM 交 BC 于 E 連 A 17 34 接 EN 并延長交 AD 于 F 1 試說明 AMD EMB 2 求的值 FN NE 14 如圖 在 ABC 中 AB AC A 36 BD 平分 ABC DE BC 那么在下列三角形中 與 ABC 相似的三角形是 A DBE B ADE C ABD D BDC 15 如第 14 題圖 已知等腰三角形 ABC 中 頂角 A 36 BD 平分 ABC 則 的值 AD AC 為 A B 1 2 5151 1 22 CD 16 如圖 ABC 和 DEF 均為正三角形 D E 分別在 AB BC 上 請找出一個與 DBE 相似 的三角形并證明 第第 5 5 節(jié)節(jié) 利用相似三角形測高利用相似三角形測高 學習目標學習目標 1 掌握幾種測量旗桿高度的方法與原理 解決一些相關的生活實際問題 2 通過設計測量旗桿高度的方案 學會將實物圖形抽象成幾何圖形的方法 體會將實際問 題轉化成數(shù)學模型的轉化思想 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 相似三角形的定義 三角 相等 三邊 的兩個三角形叫做相似三角形 2 三角形相似的判定 學習引入學習引入 一 探索 問題 1 學校操場上的國旗旗桿的高度是多少 你有什么辦法測量 18 34 問題 2 世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個國家 叫什么金字塔 胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔 被喻為 世界古代七大奇觀之一 塔的 個斜面正對東南西北四個方向 塔基呈正方形 每邊長約 230 多米 據(jù)考證 為建成大金 字塔 共動用了 10 萬人花了 20 年時間 原高 146 59 米 但由于經過幾千年的風吹雨打 頂端被風化吹蝕 所以高度有所降低 在古希臘 有一位偉大的科學家叫泰勒斯 一天 希臘國王阿馬西斯對他說 聽說你 什么都知道 那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧 這在當時條件下是個大難題 因 為是很難爬到塔頂?shù)?你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎 二 學生討論 三 總結歸納 知識點知識點 1 1 利用陽光下的影子測量旗桿的高度 利用陽光下的影子測量旗桿的高度 讓一名同學恰好站在旗桿影子的頂端 然后一部分同學測量該同學的影長 另一部分同 學測量同一時刻旗桿的影長 原理 太陽是平行光線 AB CD B DCE ACB DEC 90 ACB DEC BC CEAC DE CE BC DE AC 即 結論 同一時刻 參照物體影子的長度 參照物體高度 被測物體影子長度 被測物體實際高度 據(jù)史料記載 古希臘數(shù)學家 天文學家泰勒斯曾經利用相似三角形的原理 在金字塔影 子的頂部立一根木桿 借助太陽光線構成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度 如圖 如果木桿 EF 長 2 m 它的影長 FD 為 3 m 測得 OA 為 201 m 求金字塔的高度 BO 分析 根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點 可知在同一時刻的陽光下 豎直的兩個 物體的影子互相平行 從而構造相似三角形 再利用相似三角形的判定和性質 根據(jù)已知條 件 求出金字塔的高度 解 知識點知識點 2 2 利用標桿測量旗桿的高度 利用標桿測量旗桿的高度 工具 皮尺 標桿 步驟 1 測量出標桿 CD 的長度 測出觀測者眼部以下高度 EF 2 讓標桿豎直立于地面 調整觀測者 EF 的位置 當旗桿頂部 標桿頂端 觀 19 34 測者的眼睛三者在同一條直線上 測出觀測者距標桿底端的距離 FD 和距旗桿底部的距離 FB 3 根據(jù) 求得 AH 的長 再加上 EF 的長即為旗桿 AB 的高度 EH EG AH CG 依據(jù) 如圖 過點 E 作 EH AB 于點 H 交 CD 于點 G CD AB ECG EAH CEG AEH ECG EAH EH EG AH CD EG FD EH FB CG CD GD CD EF 且 FD FB CD EF 可測 可求 AH 的長度 AB AH HB AH EF 知識點知識點 2 2 利用鏡子的反射桿測量旗桿的高度 利用鏡子的反射桿測量旗桿的高度 工具 皮尺 鏡子 步驟 1 在觀測者與旗桿之間放一面鏡子 在鏡子上做一個標記 2 測出觀測者眼睛到地面的距離 3 觀測者看著鏡子來回移動 直至看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記 重合 此時測出鏡子上標記 O 到人腳底 D 的距離 OD 及鏡子上的標記 O 到旗桿底部的距離 OB 4 把測得的數(shù)據(jù)代入 即可求得旗桿的高度 OB OD AB CD AB 依據(jù) 在 COD 與 AOB 中 COD AOB CDO ABO 90 COD AOB OB OD AB CD CD OD OB 皆可測得 AB 可求 例題解析例題解析 例 1 如圖所示 從點 A 0 2 發(fā)出的一束光 經 x 軸反射 過點 B 4 3 則這束光從點 A 到點 B 所經過路徑的長為 例 2 王華在晚上由路燈 A 下的 B 處走到 C 處 測得影子 CD 的長為 1m 繼續(xù)往前走 3m 到達 E 處時 測得影子 EF 的長為 2m 已知王華的身高是 1 5m 那么路燈 A 的高度 AB 等于 A B 20 34 例 3 學校的圍墻外的服裝廠有一旗桿 AB 甲在操場上直立 3m 高的竹竿 CD 乙從 C 處退 到 E 處恰好看到竹竿頂端 D 與旗桿頂部 B 重合 量的 CE 3m 乙的眼睛到地面距離為 1 5m 丙在 C1處直立 3m 高的竹竿 C1D1 乙從 E 處退后 6m 到 E1處 恰好看到竹竿頂端 D1與旗桿頂端 B 也重合 量的 C1E1 4m 求旗桿 AB 的高度 例 4 如圖 一圓柱形油桶 高 1 5 米 用一根長 2 米的木棒從桶蓋小口 A 處斜插桶內另一端 的 B 處 抽出木棒后 量得上面沒浸油的部分為 1 2 米 求桶內油面的高度 經典練習經典練習 1 在同一時刻同一個地點物體的高度與自身的影長的關系是 A 成反比例 B 成正比例 C 相等 D 不成比例 2 如圖 DE EB AB EB DCE ACB DE 12 m EC 15 m BC 30 m 則 AB m 3 如圖 大正方形中有 2 個小正方形 如果它們的面積分別是 S1 S2 那么S1 S2的大 小關系是 A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D S1 S2 的大小關系不確定 4 某一時刻 測得旗桿的影長為 8 m 李明測得小芳的影長為 1 m 已知小芳的身高為 1 5 m 則 旗桿的高度是 m 21 34 5 如圖 鐵道口的欄桿短臂長 1m 長臂長 16m 當短臂端點下降 0 5m 時 長臂端點升高 m 桿的寬度忽略不計 第 2 題 第 3 題 第 5 題 6 如圖所示是用杠桿撬石頭的示意圖 C 是支點 當用力壓杠桿的 A 端時 杠桿繞 C 點轉動 另 一端 B 向上翹起 石頭就會被撬動 現(xiàn)有一塊石頭 要使其滾動 杠桿的 B 端必須向上翹起 10 cm 已知杠桿的動力臂 AC 與阻力臂 BC 之比為 5 1 則要使這塊石頭滾動 至少要將杠桿的 A 端下壓 A 100 cm B 60 cm C 50 cm D 10 cm 7 如圖所示 要測量河兩岸相對的兩點 A B 的距離 先從 B 處出發(fā)與 AB 成 90 角方向 向前走 80 米到 C 處立一標桿 然后方向不變向 前 走 50 米至 D 處 在 D 處轉 90 沿 DE 方向走 30 米 到 E 處 使 A 目標物 C 標桿 與 E 在同一條直線上 那么可測得 A B 間的距離 8 如圖 為了測量一棵樹 CD 的高度 測量者在 B 點立一高為 2 米的標桿 觀測者從 E 處可以 看到桿頂 A 樹頂 C 在同一條直線上 若測得 BD 23 6 米 FB 3 2 米 EF 1 6 米 求樹高 9 如圖 射擊瞄準時 要求槍的標尺缺口上沿中央 A 準星尖 B 和瞄準點 C 在一條直線上 這樣 才能命中目標 已知某種沖鋒槍基線 AB 長 38 5 cm 如果射擊距離 AC 100 m 當準星尖在缺 口內偏差 BB 為 1 mm 時 彈著偏差 CC 是多少 BB CC 22 34 10 如圖 AB 是斜靠在墻壁上的長梯 梯腳 B 距墻 80 cm 梯上點 D 距墻 70 cm BD 長 55 cm 求 梯子的長 11 一位同學想利用樹影測量樹高 AB 他在某一時刻測得小樹高為 1 米 樹影長 0 9 米 但當 他馬上測量樹影時 因樹靠近建筑物 影子不全落在地上 有一部分落在墻上 如圖 他先測得 地面部分的影子長 2 7 米 又測得墻上的影高 CD 為 1 2 米 試問樹有多高 12 如圖 零件的外徑為16cm 要求它的壁厚x 需要先求出內徑AB 現(xiàn)用一個交叉鉗 AD 與 BC 相等 去量 若測得OA OD OB OC 3 1 CD 5cm 你能求零件的壁厚x 嗎 13 如圖 梯形 ABCD 中 AD BC E F 分別在 AB CD 上 且 EF BC EF 分別交 BD AC 于 M N 1 求證 ME NF 2 當 EF 向上平移至 各個位置時 其 他條件不變 1 的結論是否還成立 請分別證明你的判斷 M M N E M BC F D A NE BC F D A N E BC F D A N M E BC F D A 23 34 第第 6 6 節(jié)節(jié) 相似三角形的性質相似三角形的性質 學習目標學習目標 1 理解并熟練應用相似三角形的性質 2 類比相似三角形的周長比與面積比 猜想相似多邊形的周長比與面積比 體驗類比思想 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 相似三角形的定義 三角 相等 三邊 的兩個三角形叫做相似三角形 2 全等三角形的性質 全等三角形的對應角 對應邊 對應角的平分線 對應邊上的中線 對應邊上的高 學習過程學習過程 24 34 知識點 1 相似三角形的性質 相似三角形的對應角相等 對應邊成比例 相似三角形的對應高之比 對應角平分線之比 對應中線之比都等于相似比 相似三角形的周長比等于相似比 相似三角形的面積比等于相似比的平方平方 注意 注意 1 相似三角形的面積比等于相似比的平方 在計算時平方切記不可忘 2 性質中的高 中線 角平分線必須是對應邊上的 要一一對應 3 面積比是相似比的平方切記不可與等底或等高的兩個三角形面積比等于高或底之 比想混淆 知識點 2 相似多邊形的性質 相似多邊形的對應角相等 對應邊成比例 相似多邊形的周長比等于相似比 面積比等于相似比的平方 平方 相似多邊形對應對角線的比等于相似比 相似多邊形被對角線分成的對應三角形相似 其相似比等于相似多邊形的相似比 例題解析例題解析 例 1 在 ABC 中 已知 DE BC AE 3EC S ABC 48 求 ADE 及四邊形 BCED 的面積 例 2 已知甲 乙兩個多邊形相似 其相似比為 2 5 若多邊形甲的周長為 24 則多邊形乙 的周長為 若兩個多邊形的面積之和為 174 則多邊形甲的面積為 例 3 路邊有兩根電線桿相距 4m 分別在高為 3m 的 A 處和 6m 的 C 處用鐵絲將兩桿固定 求 鐵絲 AD 與鐵絲 BC 的交點 M 處離地面的高度 25 34 例 4 某生活小區(qū)的居民籌集資金 1600 元 計劃在一塊上 下兩底分雖為 10m 20m 的梯形 空地上種植花木 如圖所示 AD BC AC 與 BD 相交于 M 1 他們在 AMD 和 BMC 地帶上種植太陽花 單價為 8 元 m2 當 AMD 地帶種滿花后 共 花了 160 元 請計算種滿 BMC 地帶所需的費用 2 在 1 的條件下 若其余地帶有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇種 單價分別為 12 元 m2和 10 元 m2 問應選擇種哪種花可以剛好用完所籌集的資金 例 5 如圖所示 某校計劃將一塊形狀為銳角三角形 ABC 的空地進行生態(tài)環(huán)境改造 已知 ABC 的邊 BC 長 120 米 高 AD 長 80 米 學校計劃將它分割成 AHG BHE GFC 和矩形 EFGH 四部分 如圖 其中矩形 EFGH 的一邊 EF 在邊 BC 上 其中兩個頂點 H G 分別在邊 AB AC 上 現(xiàn)計劃在 AHG 上種草 在 BHE GFC 上都種花 在矩形 EFGH 上興建噴 泉 當 FG 長為多少米時 種草的面積與種花的面積相等 經典練習經典練習 1 如果兩個相似三角形對應邊的比為 3 5 那么它們的相似比為 周長的比為 面積的比為 2 如果兩個相似三角形面積的比為 3 5 那么它們的相似比為 周長的比為 3 連結三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于 面積比等于 4 兩個相似三角形對應的中線長分別是 6 cm 和 18 cm 若較大三角形的周長是 42 cm 面 積是 12 cm2 則較小三角形的周長為 cm 面積為 cm2 26 34 P A B C D 5 如圖 在正方形網格上有 A1B1C1和 A2B2C2 這兩個三角形相似嗎 如果相似 求出 A1B1C1和 A2B2C2的面積比 6 在 ABC 中 AB AC A 36 B 的平分線交 AC 于 D BCD 且 BC 7 ABC A1B1C1 AB 4 A1B1 12 則它們對應邊上的高的比是 若 BC 邊上的中線為 1 5 則 B1C1上的中線 A1D1 8 如果兩個相似三角形的周長為 6cm 和 15cm 那么兩個相似三角形的相似比為 9 在 ABC 中 BC 54cm CA 45cm AB 63cm 若另一個與它相似的三角形的最短邊長為 15cm 則其周長為 10 在 Rt ABC 中 CD 是斜邊 AB 上的高 若 BD 9 DC 12 則 AD BC 11 ABC A1B1C1 且 ABC 的周長與 A1B1C1 的周長之比為 11 13 又 A1B1 AB 1cm 則 AB cm A1B1 cm 12 在梯形 ABCD 中 AD BC 對角線 BD 分成的兩部分面積的比是 1 2 EF 是中位線 則被 EF 分成的兩部分面積的比 S四邊形 AEFD S四邊形 BCEF 13 如圖 要在底邊 BC 160cm 高 AD 120cm 的 ABC 鐵皮余料上截取一個矩形 EFGH 使點 H 在 AB 上 點 G 在 AC 上 點 E F 在 BC 上 AD 交 HG 于點 M 此時有 AM AD HG BC 1 設矩形 EFGH 的長 HG y 寬 HE X 確定 y 與 X 的函數(shù)關系式 2 當 X 為何值時 矩形 EFGH 的面積 S 最大 A A G GH H C C B B D D E E M M F F 14 如圖 ABC 中 AB 6 BC 4 AC 3 點 P 在 BC 上運動 過 P 點作 DPB A PD 交 AB 于 D 設 PB x AD y 1 求 y 關于 x 的函數(shù)關系式和 x 的取值范圍 2 當 x 取何值時 y 最小 最小值是多少 第 3 題 27 34 15 已知 如圖 ABC 中 DE BC 1 若 求的值 求的值 3 2 EC AE AC AE ABC ADE S S 若 求 ADE 的面積 5S ABC 2 若 過點 E 作 EF AB 交 BC 于 F 求 BFED 的面積 SS ABC 3 2 EC AE 3 若 過點 E 作 EF AB 交 BC 于 F 求 BFED 的面積 k EC AE 5 ABC S 第七節(jié)第七節(jié) 圖形的位似圖形的位似 學習目標學習目標 1 熟記位似圖形的概念及性質 2 知道利用位似的性質可以將一個圖形放大或縮小 3 會畫一個簡單圖形的位似圖形 掌握位似圖形坐標的變化規(guī)律 相關知識鏈接相關知識鏈接 1 相似多邊形 的兩個多邊形叫做相似多邊形 2 相似多邊形的性質 學習過程學習過程 28 34 一 觀察下列幾幅圖片 二 問題 上圖幾幅圖形有什么特征 學生活動 學生通過觀察了解到有一類相似圖形 除具備相似的所有性質外 還有其 特性 學生自己歸納出位似圖形的概念 如果兩個圖形不僅是相似圖形 而且是每組對應點 連線相交于一點 對應邊互相平行 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形 這個點叫做位似中位似中 心心 這時的相似比又稱為相似比 位似中心可在形上 形 外 形內 每對位似對應 點與位似中心共線 不經 過位似中心的對應線段平 行 三 歸納總結 知識點知識點 1 1 位似多邊形的概念 如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點 P P 所在的直線都經過同一點 O 且有 OP k OP k 0 那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形 點 O 叫做位似中心 k 就是 相似比 例如下圖 知識點知識點 2 2 位似多邊形的性質 位似多邊形的性質 位似多邊形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比 位似多邊形上對應點和位似中心在同一條直線上 位似多邊形上的對應線段平行或在同一條直線上 位似多邊形是特殊的相似圖形 因此位似圖形具有相似圖形的一切性質 注意 對某一圖形進行放大 或縮小 使得放大 或縮小 前后的兩個圖形是位似圖形 知識點知識點 3 3 位似多邊形的畫法 29 34 步驟 1 確定位似中心 2 確定原圖形的關鍵點 通常是多邊形的頂點 3 確定相似比 4 找出新圖形的對應關鍵點 5 順次連接各點 得到放大或縮小的圖形 知識點知識點 4 4 平面直角坐標系中的位似變換 平面直角坐標系中的位似變換 1 1 位似多邊形對應點的坐標變化規(guī)律 位似多邊形對應點的坐標變化規(guī)律 在平面直角坐標系中 將一個多邊形每個頂點的橫縱坐標都乘以同一個數(shù) k k 0 所對應的圖形與原圖形位似 位似中心是坐標原點 它們的相似比是 k 注意 注意 1 這是以原點為位似中心的位似變換中圖形的變化規(guī)律 2 當位似圖形在原點同側時 其對應頂點的坐標的比為 k 當位似圖形在原點兩 側時 其對應頂點的坐標的比為 k 3 當 k 1 時 圖形擴大為原來的 k 倍 當 0 k 1 時 圖形縮小為原來的 k 2 2 位似與平移 軸對稱 旋轉三種變換的聯(lián)系與區(qū)別 位似與平移 軸對稱 旋轉三種變換的聯(lián)系與區(qū)別 位似 平移 軸對稱 旋轉都是圖形變換的基本形式 它們的本質區(qū)別在于 平移 軸對稱 旋轉三種圖形變換都是全等變換 而位似變換是相似 擴大 縮小或不變 變換 3 3 平移 軸對稱 旋轉 位似變換的坐標變化規(guī)律 平移 軸對稱 旋轉 位似變換的坐標變化規(guī)律 1 平移變換 對應點的橫 縱坐標加上或減去平移的單位長度 2 軸對稱變換 以 x 軸為對稱軸 則對應點的橫坐標相等 縱坐標互為相反數(shù) 以 y 軸為對稱軸 則對應點的縱坐標相等 橫坐標互為相反數(shù) 3 旋轉變換 一個圖形繞原點旋轉 180 則旋轉前后兩個圖形對應點的橫 縱 坐標都互為相反數(shù) 4 位似變換 當以原點為位似中心時 變換前后兩個圖形對應點的橫 縱坐標之 比的絕對值等于相似比 例題解析例題解析 例 1 ABC 與關于點 O 位似 BO 3 CBA 6 OB 1 若 AC 5 求的長 CA 2 若 ABC 的面積為 7 求面積 CBA 例 2 把圖 1 中的四邊形 ABCD 縮小到原來的 2 1 分析 把原圖形縮小到原來的 也就是使新圖形上各頂點到位似 2 1 中心的距離與原圖形各對應頂點到位似中心的距離之比為 1 2 作法一作法一 1 在四邊形 ABCD 外任取一點 O 2 過點 O 分別作射線 OA OB OC OD 3 分別在射線 OA OB OC OD 上取點 A B C D 30 34 使得 2 1 OD DO OC CO OB BO OA AO 4 順次連接 A B B C C D D A 得到所要畫的四邊形 A B C D 如 圖 2 問 此題目還可以如何畫出圖形 作法二作法二 1 在四邊形 ABCD 外任取一點 O 2 過點 O 分別作射線 OA OB OC OD 3 分別在射線 OA OB OC OD 的反向延長線上取點 A B C D 使得 2 1 OD DO OC CO OB BO OA AO 4 順次連接 A B B C C D D A 得到所要畫的 四邊形 A B C D 如圖 3 作法三作法三 1 在四邊形 ABCD 內任取一點 O 2 3 4 例 3 畫圖 將圖中的 ABC 作下列運動 畫出相應的圖形 1 沿 y 軸正向平移 2 個單位 2 關于 y 軸對稱 3 以 B 點為位似中心 放大到 2 倍 經典練習 1 用作位似形的方法 可以將一個圖形放大或縮小 位似中心 A 只能選在原圖形的外部 B 只能選在原圖形的內部 C 只能選在原圖形的邊上 D 可以選擇任意位置 2 已知 E 4 2 F 1 1 以 O 為位似中心 按比例尺 1 2 把 EOF 縮小 31 34 則點 E 的