冪級(jí)數(shù)的典型應(yīng)用畢業(yè)論文

本科畢業(yè)論文 題 目 : 冪級(jí)數(shù)的典型應(yīng)用 院 系 ： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) ： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名 ： 羅云云 學(xué) 號(hào) ： 091901301030 指導(dǎo)教師 ： 管 毅 教師職稱 ： 講 師 填寫日期： 2013年 5月 2日貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 I 摘要 冪級(jí)數(shù)是 一類形式簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,應(yīng)用非常廣泛 .在一些運(yùn)算中，很難用初等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算 .這時(shí) ,可以借助冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、展開式等把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化 .本文通過(guò)歸納的方法 ,從冪級(jí)數(shù)的定義出發(fā) ,接著給出冪級(jí)數(shù)的收斂域、重要定理及冪級(jí)數(shù)的展開式 ,總結(jié)了冪級(jí)數(shù)的四點(diǎn)應(yīng)用 :第一 ,在近似計(jì)算中的應(yīng)用 ；第二 ,在不等式證明中的應(yīng)用 ；第三 ,在微分方程中的應(yīng)用 ；第四 ,在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 . 關(guān)鍵詞 :冪級(jí)數(shù) ；微分方程 ；不等式 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 II Abstract Power Series is a kind of series of functions with a simple format； its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expansion of power series. Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate calculation； Second, in the application of inequality proof； Third, in the application of differential equations； Last, in the application of the determinant calculation. Keywords: Power series； Differential equations； Inequality 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 III 目 錄 摘 要 . 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 Abstract . II 第一章 前言 . 1 第二章 冪級(jí)數(shù)的基本知識(shí) . 2 第一節(jié) 定義 . 2 第二節(jié) 和函數(shù) . 2 第 三節(jié) 冪級(jí)數(shù)收斂域 . 4 第四節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 . 5 一、函數(shù)的泰勒展開式 . 5 二、常見函數(shù)的麥克勞林展開式 . 6 第三章 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 . 7 第一節(jié) 在近似計(jì)算中的應(yīng)用 . 7 第二節(jié) 在不等式證明中的應(yīng)用 . 7 第三節(jié) 在微分方程中的應(yīng)用 . 9 第四節(jié) 在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 . 11 致謝 . 14 參考文獻(xiàn) . 15 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 1 第一章 前言 級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)體系的重要組成部分 ,它是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的推動(dòng)下逐步形成和發(fā)展起來(lái)的 .中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元 263 年就創(chuàng)立了“割圓術(shù)” ,其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓 ,從而求得圓的面積 .這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級(jí)數(shù)的思想方法 ,即無(wú)限多個(gè)數(shù)的累加問(wèn)題 .印度的馬德哈瓦在 14 世紀(jì)就提出了函數(shù)展開成無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 ,他首先提出了冪級(jí)數(shù)的概念 ,并對(duì)泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)、 無(wú)窮級(jí)數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究 .同時(shí) ,他開始探究無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性方法 .到了 19 世紀(jì)，高斯、歐拉、柯西分別得出了各種判別級(jí)數(shù)斂散性的方法 ,使得級(jí)數(shù)理論全面發(fā)展起來(lái) .中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在冪級(jí)數(shù)理論研究上可謂一枝獨(dú)秀 ,清代數(shù)學(xué)家董祐誠(chéng)、坎各達(dá)等運(yùn)用具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的方法對(duì)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開進(jìn)行了深入的研究 .而今 ,級(jí)數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)豐富和完整 ,級(jí)數(shù)既可以用來(lái)表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì) ,也可以作為進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具 .它在自然科學(xué)、工程技術(shù)等方面都有廣泛的作用 . 冪級(jí)數(shù)是一類形式簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,應(yīng)用非常廣泛 .在 一些運(yùn)算中 ,很難用初等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算 .這時(shí) ,可以借助冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、展開式等把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化 .本文通過(guò)歸納的方法 ,從冪級(jí)數(shù)的定義出發(fā) ,接著給出冪級(jí)數(shù)的收斂域、重要定理及冪級(jí)數(shù)的展開式 ,總結(jié)了冪級(jí)數(shù)的四點(diǎn)應(yīng)用 :第一 ,在近似計(jì)算中的應(yīng)用 ；第二 ,在不等式證明中的應(yīng)用 ；第三 ,在微分方程中的應(yīng)用 ；第四 ,在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 . 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 2 第二章 冪級(jí)數(shù)的基本知識(shí) 第一節(jié) 定義 在函數(shù)級(jí)數(shù)中有一類結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、應(yīng)用廣泛的特殊的函數(shù)級(jí)數(shù) 0n na (y a )n = 0a 1a (y a ) 2a (y a )2 na (y a )n , 稱為冪級(jí)數(shù)，其中0a， 1a ， ，na， 都是常數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù) .特別地，當(dāng) y a x ，上述冪級(jí)數(shù)就化為最簡(jiǎn)單形式的冪級(jí)數(shù) nn nxa0 0a xa1 22xa nnxa . 第二節(jié) 和函數(shù) 設(shè) nn nxa0的收斂半徑為 R (R 0 ), xS nn nxa0為和函數(shù)，則有以下定理成立： 定理 81 若冪級(jí)數(shù)0nnnax與 101()nnnna x n a x 的收斂半徑分別是正數(shù) 1r 與 2r , 則12rr. 證明 首先 證明12rr.0 0 1:0x x r ,1 0 1 1:x x x r . 已 知 級(jí) 數(shù)10 nnn ax收斂 . nN,有 nnnnn xaxxxnxna110010 , 已知極限 001lim 0nnxnxx ,從而數(shù)列 001nxnxx有界 ,即 0,M n N ,有 001.nxnMxx 于是 , 10nnna x 1nnM a x. 根據(jù)比較判別法， 級(jí)數(shù) 101 nn nxna 絕對(duì)收斂，即 12rr . 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 3 其次 證明 , 21 rr .200 0: rxx ,2101 : rxxx . 已 知 級(jí) 數(shù) 111nnnxna 收斂 . n N ,有 1111000 nnnnn xnaxxnxxa . 已知極限 0lim 1100 nn xxnx ，所以數(shù)列 1100nxxnx 有界，即 ,0 NnM 有 Mxxnx n 1100 . 于是 , 110 nnnn xnaMxa. 根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù) nn nxa 00絕對(duì)收斂，即12rr. 綜上所證 ,12rr. 定理 82 若冪級(jí)數(shù)0nnnax的收斂半徑 0r , 則 ( , )x r r ,它的和函數(shù) xS 由 0 到x 可積 ,且可逐項(xiàng)積分 ,即 000()xxnnnS t d t a t d t 10 1 nnn xna. 證明 ( , )x r r , 0,使 ,x r r .已知冪級(jí)數(shù)內(nèi)閉一致收斂 .和函數(shù)xS 由 0 到 x 可積 , 且可逐項(xiàng)積分 ,即 dttadttS nnxnx 0 00)( 10 1 nnn xna. 根據(jù)定理 1,此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也是 r . 定理 83 若冪級(jí)數(shù)0nnnax的收斂半徑 0r ,則它的和函數(shù) xS 在區(qū)間 ,rr 可導(dǎo) ,且可逐項(xiàng)微分 ,即 ( , )x r r ,有 xS ( nn nxa0) 10nn nxna . 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 4 證明 根據(jù)定理 1,冪級(jí)數(shù) 10nnnna x 的收斂半徑也是 r . ( , )x r r , 0, 使 ,x r r .已知冪級(jí)數(shù)內(nèi)閉一致收斂 .和函數(shù) xS 在 x 可導(dǎo) ,從而和函數(shù) xS 在區(qū)間 ,rr 可導(dǎo) ,且可逐項(xiàng)微分 ,即 ( , )x r r ,有 xS ( nn nxa0) 10nn nxna . 第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)收斂域 已知冪級(jí)數(shù) 22100xaxaaxa nn n nnxa. 1 現(xiàn)在討論冪級(jí)數(shù) 1 的收斂問(wèn)題，顯然冪級(jí)數(shù) 1 在 0x 處總是收斂的，我們有以下定理： 定理 4 若冪級(jí)數(shù) 1 在 000 xxx收斂，則對(duì)滿足不等式0xx 的任何 x ，冪級(jí)數(shù)1 收斂而且絕對(duì)收斂；冪級(jí)數(shù) 1 在 000 xxx 時(shí)發(fā)散，則對(duì)滿足不等式 0xx 的任何x ，冪級(jí)數(shù) 1 發(fā)散 . 證明 設(shè)冪 級(jí)數(shù) nn nxa 00收斂，從而數(shù)列 nnxa 0收斂于零且有界 .即存在某正數(shù) M ，使得 ,2,1,00 nMxa nn .另一方面對(duì)任意一個(gè)滿足不等式 0xx 的 x ，設(shè) 10 xxr ，則 nnnnnnnnnn Mrxxxaxxxaxa 0000. 由于級(jí)數(shù) 0nnMr 收斂，故冪 級(jí)數(shù) 1 當(dāng) 0xx 時(shí)絕對(duì)收斂 . 現(xiàn)在證明定理的第二部分 .設(shè)冪級(jí)數(shù) 1 在0xx是發(fā)散，如果存在某一個(gè) 1x ，它滿足不等式0xx ，且使級(jí)數(shù) 0 1nnnxa 收斂，則由定理的第一部分知道，冪級(jí)數(shù) 1 應(yīng)在 0xx 時(shí)絕對(duì)收斂 .這與假設(shè)矛盾，所以對(duì)一切滿足不等式0xx 的 1x 冪 級(jí)數(shù) 1 都發(fā)散 . 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 5 則可知道冪級(jí)數(shù) 1 的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間，若以 R2 表示區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱 R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .事實(shí)上，它就是使得冪級(jí)數(shù) 1 收斂的那些收斂點(diǎn)的絕對(duì)值的上確界，所以： 當(dāng) 0R 時(shí)，冪級(jí)數(shù) 1 僅在 0x 處收斂； 當(dāng) R 時(shí)，冪級(jí)數(shù) 1 在 , 上收斂； 當(dāng) R0 時(shí)，冪級(jí)數(shù) 1 在 , 內(nèi)收斂；至于 Rx ，冪級(jí)數(shù) 1 可能收斂也可能發(fā)散 .我們稱 , 為冪級(jí)數(shù)的 1 收斂區(qū)間 . 第四節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 一、函數(shù)的泰勒展開 式 定義 71 若函數(shù) xf 在點(diǎn)0x存在 n 階導(dǎo)數(shù) ,則有 nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 00200000 !2!1 nxxo 0 2 這里 nxxo0為 佩亞諾型余項(xiàng) ,稱 2 為 xf 在點(diǎn)0x的泰勒公式 . 當(dāng) 00x時(shí) ,2 式變成 nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 2 nxo ,稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的 )麥克勞林公式 . 定義 72 若函數(shù) xf 在點(diǎn)0x的某領(lǐng)域內(nèi)為存在直至 1n 階 的連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,則 nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 00200000 !2!1 xRn 3 這里 xRn為拉格朗日余項(xiàng) 101!1 nnn xxnfxR ,其中 在 x 與 0x 之間 ,稱 3 為 xf 在點(diǎn)0x的泰勒公式 . 當(dāng) 00x時(shí) ,(3)式變成 nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 2 xRn ,稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的 )麥克勞林公式 . 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 6 二、常見 函數(shù)的麥克勞林展開式 1. nnx xonxxxe !2!112 ； 2. 12123!121!3s in nnn xonxxxx ； 3. nnn xonxxx 222!21!21c o s ； 4. nnn xonxxxxx 132 1321ln ； 5. nnn xoxxxxx 111 1 32 . 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 7 第三章 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 在近似計(jì)算中的應(yīng)用 1 當(dāng) xf 的原函數(shù)不能用初等函數(shù) 表示 出來(lái) ,計(jì)算 xf 的定積分就遇到了困難 .現(xiàn)在 ,我們可以利用冪級(jí)數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值 .具體計(jì)算時(shí) ,要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù) ,且積分區(qū)間必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi) ,然后利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來(lái)計(jì)算定積分的值 . 例 3.1.12 計(jì)算定積分 dxx 5.00 41 1的近似值 ，要求誤差不超過(guò) 0001.0 . 解： dxxxxxx nn 5.00 412845.00 4 111 1 1395 211312191215121 , 上式右端為一交錯(cuò)級(jí)數(shù) ,有 41343 10000009.021131 ur ， 故取前 3 項(xiàng)作為定積分的值 ,并在計(jì)算時(shí)取五位小數(shù) ,可得 4940.021912151211 1 955.00 4 dxx. 例 3.1.23 計(jì)算積分 dxx x10 sin的近似值，精確到 410 . 解 : !121!7!5!31s in2642nxxxxxx nn, dxx x10 sin !1212 1!77 1!55 1!33 11 nnn, 因?yàn)榈谒捻?xiàng)的絕對(duì)值 41030001!77 1 , 取前三項(xiàng)作為定積分的近似值，得 9461.0!55 1!33 11s in10 dxx x. 第二節(jié) 在不等式證明中的應(yīng)用 在一些不等式的證明中，用初等數(shù)學(xué)方法往往很難證明，但是利用冪級(jí)數(shù)展開式能巧妙地將問(wèn)題化難為易 . 例 3.2.1 證明當(dāng) 0x 時(shí)， xxx c o s2sin3 . 證 明 : 由三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式易知 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 8 !53!23!5!33s in35353 xxxxxxx ， 0x xxxxxx !6!4!212c o s2642 !6!4!23753 xxxx ， 0x 要 !53!6!4575 xxx ，即 2!61!53!41 x, 則 12!6!52!6!53!412 x, 所以 ,當(dāng) 120 x 時(shí)，不等式成立 . 又 xx sincos2 , xx s in912c o s2 , xcocx s in3122 ， 所以 ,當(dāng) 12x 時(shí) ,不等式成立 . 綜上所證，當(dāng) 0x 時(shí) ,不等式成立 . 例 3.2.2 證明不等式 222 xxx eee ， ,x . 證明 : nx xnxxxe !1!31!211 32 0 !nnnx ,x . !1!3!2132xxxxxennx !10 nx nnn ,x . 02!22 nnxxnxee ， 022!2222nnxnxe ， 由于 !2!222nxnx nn ， 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 9 所以就可以得到 222 xxx eee . 第三節(jié) 在微分方程中的應(yīng)用 有些微分方程的解不能用初等函數(shù)或積分來(lái)表示 ,此時(shí)常常用冪級(jí)數(shù)求出它的解 .5 如果所求方程 yxfdxdy , 4 滿足初始條件00 yy xx 的特解 ,其中函數(shù) xf 是 0xx 、 0yy的多項(xiàng)式 ,那么可以設(shè)所求特解可展開為0xx的冪級(jí)數(shù) : nn xxaxxaxxaxayy 030320210, 5 其中 , 21 naaa 是待定的系數(shù) .把 5 帶入 4 , 便得一個(gè)恒等式 ,比較所得恒等式兩端0xx 的同次冪的系數(shù) ,就可定出常數(shù) , 21 naaa ,以這些常數(shù)為系數(shù)的級(jí)數(shù) 5 在其收斂區(qū)間內(nèi)就是方程 4 滿足初始條件00 yy xx 的特解 . 6 如果方程 0 yxQyxPy 中的 xP 與 xQ 可在 RR , 內(nèi)展成 x 的冪級(jí)數(shù) ,那么在 RR , 內(nèi)方程 0 yxQyxPy 必有形如 nn nxaxy 0 的解 . 例 3.3.13 求 2yxdxdy 滿足 0|0xy的特解 . 解 : 0x ， 0y ，設(shè) nn xaxaxaxaxy 33221 123121 32 nn xnaxaxaaxy 將 xy 、 xy 代入原方程得 123121 32 nn xnaxaxaa 24433221 xaxaxaxax 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 10 即 42122321221 22 xaaaxaaxax . 根據(jù)恒等式兩端 x 的同次冪的系數(shù)，得 01 a，212 a， 03a， 04a ，2015 a， 所以，原式的解為： 5220121 xxxy. 例 3.2.24 求方程 0 yxyy 的解 . 解：設(shè)微分方程的解是處處收斂的冪級(jí)數(shù)，即 nn nxaxy 0. 求微分方程的解，實(shí)質(zhì)上就是求級(jí)數(shù) nn nxa0的未定系數(shù)0a， 1a ， 2a ， .逐項(xiàng)微分兩次，即 10 nnnxanxy ， 201 nnnxannxy . 代入方程之中，有 201 nnnxann 10nnnxanx nn nxa00 , 即 nnnxann 2012 10nnnxanx 00nn nxa , 01120 2 nnnn xanann . 22 naa nn， 0n ， 1 ， 2 ， . 由遞推公式有 202 aa ,313 aa ,804 aa ,1515 aa , , 202 aa ,804 aa , ,kk kaa 2! 02 , 1k ,2 ,3 , , 313 aa ,1515 aa , , !12 112 kaa k, 1k ,2 ,3 , , 所以，原方程的解為： 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 11 0121020 !122! nnn nnnxanxaxy ，其中 0a 、 1a 是任意常數(shù) . 第四節(jié) 在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 若一個(gè)行列式可看作 X 的函數(shù)（一般是 x 的 n 次多項(xiàng)式） ,記作 xf ,按泰勒公式在某處0x展開 ,用這一方法可求得一些行列式的值 .還可以利用冪級(jí)數(shù)的變換計(jì)算行列式 ,當(dāng)利用冪級(jí)數(shù)的變換計(jì)算行列式時(shí) ,往往要找到行列式序列的遞推關(guān)系式 ,設(shè)出與行列式序列對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù) ,根據(jù)遞推關(guān)系出現(xiàn)的具體情況 ,對(duì)假設(shè)出的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)運(yùn)算 ,最后求出冪級(jí)數(shù) ,通過(guò)比較冪級(jí)數(shù)的系數(shù)可得到 n 階行列式nD的值 . 例 3.4.1 求 n 階行列式 xzzzyxzzyyxzyyyxD . 解 : 記 Dxfn )(,按泰勒公式在 z 處展開： nnnnnnn zxn zfzxzfzxzfzfxf )(! )()(!2 )()(!1 )()()( )(2 , 6 易知 1)(00000000000000kkyzzyzyyzyyzyyzyyzD階 . 7 由 7 得 , nkyzzzf kk ,2,1,)()( 1 時(shí)都成立 . 對(duì)行列式求導(dǎo) ,有 )(1)(),(2)(,),()1()(),()( 11122 11 xxfxfxfxfxfnxfxnfxf nnnn . 于是 )(xfn在 zx 處 的各階導(dǎo)數(shù)為： 21 )()(|)()( nnzxnn yznzznfzfzf； 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 12 31 )()1()(|)()( nnzxnn yzznnznfzfzf； znnzfnnfzfzxnnnn 2)1()(2)1(|)( 111 ； 12)1()()( nnzf nn, 把以上各導(dǎo)數(shù)代 入 6 式中 ,有 ,)(!12)1()()!1(2)1()()(!2)1()()(!1)()(12321nnnnnnzxnnnzxznnnzxyzznnzxyzznyzzxf 若 yz ,有 )1()()( 1 ynxyxxf nn , 若 yz ,有 yzzxyyxzxf nnn )()()( . 例 3.4.2 計(jì)算行列式110000111000001110000111100001110000111000011nD. 解 : 當(dāng) 1n 時(shí) , 11D ；當(dāng) 2n 時(shí) , 22 D ；當(dāng) 2n 時(shí) ,將nD按第一列展開，即得 21 nnn DDD, 此行列式序列 1D , 2D ,3D, 是著名的斐波那契數(shù)列 ,開始兩項(xiàng)為 1 ,2 ,以后各項(xiàng)均為前兩項(xiàng)之和 ,即 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， .數(shù)列的 構(gòu)造規(guī)則可表示為差分方程 5,4,3021 nDDD nnn 8 貴陽(yáng)學(xué)院 畢業(yè)論文 13 初始值條件為 11D , 22 D . 設(shè) nn xDxDxDxF 221, 9 分別用 x ， 2x 乘以 9 式得： 13221 nn xDxDxDxxF, 10 ,242312 nn xDxDxDxFx 11 由 9 1110 可得： nnnn xDDDxDDxDxxxF 21212121, 由 8 可知： 11 11 222 xxxx xxxF, 解方程 21 xx 0 ，得2 511 x，2 512